ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 4, с. 371-378
УДК 519.87:532.246:530.145.6
ОЦЕНКА СКОРОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОНЦЕНТРАЦИОННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ
© 2007 г. Б. М. Мухин
ООО "ЛУКОЙЛ-ВолгоградНИПИморнефтъ" BMukhin@mail.ru Поступила в редакцию 4.09.2006 г.
Предложен метод оценки скорости конвективных нестационарных волн концентрации в химически активных дисперсных средах. Рассмотрены теоретические основы метода, которые продемонстрированы на примере волнового переноса растворенного газового компонента в неоднородном потоке всплывающих капель в условиях взаимодействия газа в сплошной фазе.
Многие волновые процессы в химически активных средах протекают в условиях неоднородности полей концентраций реагирующих компонентов и состава дисперсных частиц. В этих условиях структура волнового профиля и скорость его продвижения в пространстве меняются во времени. Возможны проявления ряда осложняющих процесс явлений: переход волны в режим потери устойчивости, остановка волны и смена направления ее движения, формирование опережающих волн возмущения.
Скорость волны в нестационарных задачах из-за деформаций ее профиля часто становится условным параметром, а ее значения не поддаются корректной оценке. Тем не менее поиск волновых решений для подобных задач привлекателен и рационален, поскольку во многих случаях только он позволяет наилучшим образом отобразить существо рассматриваемых процессов. При решении нестационарных задач широко применяются численные методы [1, 2]. Но в силу значительной трудоемкости вычислительных исследований с их помощью затруднительно получить обобщающие результаты, позволяющие охарактеризовать особенности процесса в целом. Попытки применения аналитических методов наталкиваются на необходимость в каждом конкретном случае разрабатывать индивидуальный подход. Так, например, в работе [3] рассмотрен метод, основанный на отождествлении перемещений волны с продвижением в пространстве определенного заданного уровня параметра. Недостатками данного подхода являются возможная неоднозначность значений скорости возмущенного профиля волны, а также его абсолютная непригодность в случае асимптотически неустойчивого, размывающего профиля. Там же приводится результат определения скорости профиля волны на стадии ее формирования [4]. В теории горения методом
малых начальных возмущений температуры среды оценивались ускорения (замедления) фронта горения [5].
В данной статье рассмотрен метод оценки скорости нестационарных концентрационных волн применительно к процессам, в которых имеется конвективный перенос компонентов. Рассмотрение проведено на примере переноса газового компонента в составе капель, всплывающих в вертикальном канале большой протяженности (I ~ 3000 м). Предполагается, что канал исходно заполнен жидкой средой, в которой распределен специальный химический реагент, представляющий собой мелкодисперсный порошок. Жидкая среда обладает пластическими свойствами, поэтому перемещения частиц реагента в ней считаются пренебрежимо малыми. Газ, исходно растворенный в каплях, диффундирует в процессе их всплытия в сплошную фазу среды и вступает в ней в химическое взаимодействие с реагентом.
Для описания процессов переноса в двухфазных средах широко используют модели континуальной механики [6, 7]. В их основе лежит равномерное распределение каждой из фаз вдоль по потоку с усреднением параметров фаз и концентраций транспортируемых ими компонентов в поперечном потоку направлении. Перемещение фаз описывается уравнениями движения, учитывающими их взаимное влияние. В уравнениях массопереноса, записанных для компонентов среды, учитывают их конвективный транспорт в составе фаз, эффекты дисперсии масс в фазах за счет процессов диффузии и продольного смешения, межфазный массообмен и химическое взаимодействие. Эффективные параметры моделей определяют на основе данных специально организованных экспериментальных исследований
371
2*
или решения модельных задач, учитывающих особенности изучаемой дисперсной среды.
Рассмотрение процесса на больших линейных масштабах позволяет дополнительно упростить модель. Наличие данных по скоростям всплытия капель дает возможность отказаться в модели от уравнений движения за счет ввода для дисперсной фазы постоянной скорости движения, равной среднемассовой ее величине для потока частиц. Влияние неоднородности скоростей частиц (продольного перемешивания) в таких моделях учитывается введением в уравнения переноса дисперсионных членов.
Возможность существования волновых решений оценим с помощью краевой задачи о распространении начального разрыва концентрации газа в дисперсной фазе среды в условиях однородности, как сплошной фазы среды, так и потока дисперсных частиц в продольном направлении. Для этих условий задача сводится к решению следующей системы безразмерных балансовых уравнений массопереноса [8]:
д С1 = 1 Э2 С1 дт Ре1 ЭХ2
- Кг(С1, С2);
2
2- 1 | + В(СК2-С2) - шК/(Сх, С2>; (1)
Эх Ре2 ЭХ2
д С
V 2
Эт
+ V -
д Сь
_ = 1 э2 Ср
дХ Pev2 Э Х
+ В¥(С2- Cv2),
о < т < тт, о < х < 1,ЛС, С2) > о, А0, С2) =АСЬ 0)=о
с краевыми условиями
С1( 0, X) = 1; С2 (0, X) = ^2(0, X) = 0;
(2)
д С1
ЭС7
^(т, 0) = 1; гХ(т, 0) = (т, 0) = 0;
ЭХ'
д С, д С2 д СР 2
дХ(т-1> = Ж1 > = ТЕР2 (т'1> = 0-
(3)
ная. При получении ряда решений, приведенных, например, в [8], принимали, что реакция имеет второй порядок, т.е.С2) = С1С2. Этому закону соответствуют также принятые в статье обозначения безразмерных параметров. Использование же в (1) функции взаимодействия общего вида преследует своей целью показать, что отдельные результаты исследований не зависят от вида этой функции и поэтому имеют обобщающее значение.
В общем случае параболические уравнения с источниками, к которым, в частности, относятся уравнения системы (1), при определенных условиях могут иметь решения, описывающие необычные физические эффекты такие, как конечная скорость распространения [9], режимы с обострениями и локализацией [10], бегущие волны [11, 12]. Как правило, эти эффекты связаны с нелинейностью коэффициентов и функций источников уравнений, с конкретным их видом и вариантом краевых условий задачи. Существование волновых решений типа бегущей волны для параболических уравнений впервые было доказано в классической работе [11]. Там же методами анализа в фазовой плоскости исследована сходимость решений задачи Коши при неограниченном возрастании времени к волновым решениям. Необходимые условия существования волны в виде ограничений, накладываемых на функцию источника, сформулированы в комментариях Вольперта [12] по поводу результатов в работе [11].
Предположим, что для рассматриваемого процесса справедливы условия:
К (1 + т > > 1; В ¥ / (1 + ¥> > 1;
Ре1 > 1; Ре2 > 1;
Рер2 > 1.
(4)
В постановке (1), (2), (3) линейный масштаб соответствует длине канала 1т = I. Концентрация газа в дисперсной фазе приводится к условиям сплошной фазы. Принимается, что процессы сорбции в фазах подчиняются линейному закону Генри, а отношение их равновесных сорбционных емкостей сохраняется постоянным. Дисперсия компонентов в продольном направлении в обеих фазах подчиняется закону диффузии. Интенсивность массопередачи пропорциональна разнице концентраций газа в фазах среды, а коэффициент массопередачи в - постоянен.
Вид функции химического взаимодействия /(С1, С2) определяется типом реакции. Предполагается, что в общем случае эта функция нелиней-
Условия (4) свойственны в основном каналам большой протяженности. Выполнение условий означает, что продолжительность химических, массообменных и дисперсионных процессов незначительна по сравнению со временем всплытия капель и эти процессы закончатся значительно раньше, чем капли достигнут верхней границы канала. В данных условиях следует ожидать формирования в канале характерных зон наиболее существенных изменений концентраций, которые на определенных стадиях развития процесса перестают реагировать на изменения условий на границах канала. В случае волнового процесса распределение концентраций в указанных зонах будет близко к соответствующему стационарному решению [13].
В работе [8] получен ряд частных стационарных решений системы уравнений (1) для профиля фронта волны при течении процесса в кинетиче-
ской области. Для скорости фронта в той же работе приведено решение:
к, =_V_
к 1+ ¥ + т¥
(5)
Анализ имеющихся решений задачи для распределений концентраций по фронту волны [8] показывает, что отдельные из них характеризуются наличием области существования. Если сочетание параметров процесса соответствует этой области, профиль волны асимптотически устойчив, в противном случае - он неустойчив и, как следствие, размывается во времени. Выход за пределы области, как правило, обусловлен снижением значений (одного или одновременно нескольких) параметров процесса - К, В, Ре, т, В этом случае утрачивается стабилизирующее действие нелинейной химической реакции в сплошной фазе среды и волна начинает размываться за счет процессов дисперсии. В частности, при К = 0 и т = 0 (отсутствие химической реакции) волна становится сорбционной. Известно, что при линейных законах сорбции газа в фазах такая волна является дисперсионно размывающейся [14].
Анализ системы уравнений (1) и имеющихся решений показывает, что функции источников каждого из ее уравнений обращаются в нуль, как перед сформировавшейся зоной превращений (волной), так и за ней. Так, например,/(С1, С2) ~ 0,
поскольку за пределами зоны либо С1 ~ 0, либо С2 ~ 0; В(СК2 - С2) ~ 0, так как С2 ~ СГ2. В пределах зоны функции источников либо положительны: /Сь С2) > 0 при С1 ф 0 и С2 ф 0; В(СК2 - С2) > 0 при Су2 > С2; либо отрицательны: В¥(С2 - Ск2) < 0. Таким образом, функции источников каждого параболического уравнения системы (1) удовлетворяют необходимым условиям существования решения типа бегущей волны [12]. Это обстоятельство дает дополнительное основание рассматривать изучаемый процесс как волновой и применять для его исследования соответствующие методы [11-16].
Для неоднородных условий протекания процесса ра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.