ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
УДК 614.84
© 2013 г. Шатов М.М.
ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ ПРЕДЕЛЬНОЙ РАСЧЕТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОТКАЗА, ОСНОВАННАЯ НА ОПЫТЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ КЛАССОВ КОНСТРУКЦИЙ
Рассматривается соотношение между оценками вероятности разрушения элементов конструкций и коэффициентами запаса прочности, используемыми в детерминированных расчетах. Показано, что определенные интерпретации терминов "минимальные значения механических характеристик" и "максимальные нагрузки" позволяют получить оценки уровней расчетных вероятностей разрушения, при которых конструкции, рассчитанные по вероятностным и детерминированным методикам, равноопасны. Даны числовые оценки соответствующих вероятностей.
Введение технических регламентов, нормирующих риск эксплуатации конструкций, потребовало количественных характеристик этого риска. В качестве такой характеристики часто называется произведение частоты опасного события на ущерб от него. Однако определение ущерба — сложная технико-экономико-социальная задача [1], поэтому в существующих нормативных документах (например, [2, 3]) используют упрощенный подход: аварии делят по тяжести на несколько категорий и нормируют вероятности, соответствующие различным категориям. Из социально-экономических соображений [4, 5 и др.] для катастроф и тяжелых аварий назначают допускаемую вероятность 10-5, ..., 10-6 в год на единицу оборудования. Возможность математически корректного вычисления столь малых вероятностей при практически достижимых объемах и достоверности исходной информации представляется сомнительной [6].
Противоречие между требованиями оценки безопасности, с одной стороны, и недостоверностью вычисляемых вероятностей, с другой, может быть преодолено подобно тому, как это делается в настоящее время при выполнении детерминированных расчетов, когда метод расчета содержит четко сформулированный набор гипотез, погрешности которых компенсируются коэффициентами запаса — своими для каждого метода, как можно видеть, например, из сравнения [7 и 8]. Представляется, что и в случае вероятностных расчетов ситуация должна быть схожей: предельная расчетная вероятность должна быть связана с методом расчета; эта вероятность не имеет частотной интерпретации, а является относительной характеристикой безопасности. Поэтому такая предельная вероятность может численно и не совпадать с допускаемой (10-5, ..., 10-6).
Одним из возможных способов назначения предельной расчетной вероятности является сопоставление расчетов по разным методикам — вновь предлагаемым и апробированным. В существующих детерминированных методах расчета такая апробация выражается в наличии проверенных практикой нормативных коэффициентов запаса, и назначаемая предельная вероятность разрушения должна обеспечивать ту же безопасность, что и коэффициент запаса — с учетом как особенностей методов расчета, так и разбросов характеристик материала и нагрузок, характерных для конкретных отраслей.
Рассмотрим один элемент конструкции, не учитывая его связи с другими элементами. Заключительный этап расчета на прочность сводится к сравнению двух величин: величины, характеризующей нагруженность, и величины, характеризующей проч-
ность. Для дальнейших рассуждений не принципиален характер этих величин (напряжение, усилие, деформация и пр.), важно лишь наличие нормативных документов, регламентирующих детерминированный способ расчета и коэффициент запаса для него. Будем считать, что на заключительном этапе вероятностного расчета имеются законы распределения этих двух величин, по которым определяется вероятность отказа [9]. На практике эти законы известны лишь с определенной точностью [6], но усложнениями, связанными с этим, будем пренебрегать. Влияние достоверности исходных данных (например, вероятности пропуска дефекта при дефектоскопии [10]) на значение предельной расчетной вероятности здесь также не рассматривается. Кроме того, приводимые рассуждения справедливы, строго говоря, если для конструкции рассматривается только одно предельное состояние и один режим (способ) нагружения, наличие перечня предельных состояний и разнородных режимов эксплуатации (например, [7]) не меняет общей идеи, но усложняет рассуждения.
В число параметров закона распределения случайной величины обязательно должны входить параметры сдвига т и масштаба ст. В общем случае выражение для вероятности разрушения имеет вид [9]
щ ст„р1Ъ, ...,р1п) т„ р^ ...,р,к)йуйх,
(1)
где/¡(х, т, ст, р3, ..., рп) — функция плотности распределения нагрузки, с параметрами сдвига т1 и масштаба ст¡, а также другими параметрами распределенияр¡3, ...,р¡п; п — общее число параметров закона распределения нагрузки; /(х, т., ст., р3, ..., р5к) — функция плотности распределения прочности, с параметрами сдвига т., и масштаба ст., а также другими параметрами распределенияр,3, ..., рк; к — общее число параметров закона распределения прочностной характеристики.
Параметры сдвига т и масштаба ст позволяют любой закон распределения записать в виде
f(x, m,ст,Pз, Рп) = 1Ч(Х
ст (
, Pз,
(2)
Покажем, что вероятность разрушения (1) не зависит от абсолютных значений параметров т¡, ст¡, т., ст., а зависит только от их соотношений. Перепишем (1) с учетом (2)
Р
= ^
ст,ст, J
,р3 ри
—да
Введем обозначения
У
ст
р,ъ> ра)йУйх.
(3)
кт = , кI = ~~, к, = •
т
т
т
(4)
Выражение (3) с учетом (4) принимает вид
да х
У - т,кт
Р
— V'
1г.1г ■>
т1 ктк
т,к,
>р^ ри
т
ктк,
рз р,к) йУйх
Преобразуем (5) к виду ( х
Р=
^ - 1 т
) Г (у
, р3 р,п
- к Щ_
ктк,
, р,3, •••, р,к
йУ- йХх-.
т, т,
да
х
да
да
х
—да
да
да
да
—да
Сделав замену x/m¡ = ^ и y/m¡ = п , окончательно получим выражение
да 5 _ k
P = ák, p-..........^ * * (6)
—да —да
Таким образом, в случае, когда f и f есть двухпараметрические распределения, вероятность разрушения определяется тремя переменными (4). В общем случае, вероятность разрушения определяется (n + к — 1) переменными.
Детерминированные методики расчета на прочность при вычислении коэффициента запаса оперируют понятиями "минимальных свойств материала" и "максимальной нагрузки". Если свойства материала и нагрузки случайны и описываются соответствующими законами распределения, то понятия "минимальных свойств" и "максимальной нагрузки" нужно связать с параметрами законов распределения. Одним из способов является задание доверительного интервала. В приводимых далее рассуждениях рассматривается такой интервал, что вероятности выхода случайной величины за его правую или левую границу одинаковы и равны ptoler. Видно, что, например, для нормального распределенияptoler = 1,5 ■ 10-3 соответствует интервалу [m — 3ст, m + 3ст]. Таким образом, минимальные свойства материала и максимальные напряжения имеют смысл квантилей, которые можно представить в виде
°min = ms + As°s, °max = ml + APb (7)
где As и A¡ определяются из условий
AS да
J/,(x, 0, 1, p, з, ..., p,k) = / (X 0, 1, Pn, ..., pj = Ptoler-
-да A¡
Учитывая (7), коэффициент запаса можно представить формулой , 1 + A,k,
1 + Ak
(8)
Для получения выражения предельной расчетной вероятности отказа примем, что расчетный коэффициент запаса равен нормативному. Далее из (8) выразим кт и подставим в (6).
Если принять, что функции распределения нагрузки и прочности — двухпараметрические, то предельная расчетная вероятность — функция двух переменных к, к5.
Для случая, когда закон распределения для нагрузки и для прочности нормальный, изолинии предельной расчетной вероятности разрушения от коэффициентов вариации представлены на рис. 1. Видно, что в рассмотренном диапазоне коэффициентов вариации представлены на рис. 1. Видно, что в рассмотренном диапазоне коэффициентов вариации свойств материала и нагрузок минимальная вероятность равна примерно 10-5. Это означает, что требование не превышения вероятностью разрушения значения 10-5 обеспечивает создание конструкций не опаснее, чем удовлетворяющие существующим детерминированным методикам расчета. При некоторых значениях коэффициентов вариации требование Р < 10-5 может быть ослаблено, например, до Р < 10-3. Влияние коэффициента вариации характеристики прочности на предельную расчетную вероятность сильнее, чем коэффициента вариации нагру-женности; такая "несимметрия" связана с несимметричностью формулы (1) относительно £ и £
По рис. 2 и 3 можно качественно оценить влияние вида закона распределения нагрузки на предельную расчетную вероятность отказа. Качественный вид зависимости
0,1 0,2 0,3 0,4 к
0,2 0,, 0,4 к,
Рис. 1
Рис. 4
Рис. 1 и 4. Зависимость предельной расчетной вероятности (рис. 1) и минимальной предельной расчетной вероятности (рис. 4) отказа от коэффициентов вариации нагрузки к и прочности к.
10
10
10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 к,
0,1 0,2 0,3 0,4 к,
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 2 и 3. Зависимость предельной расчетной вероятности от вида закона распределения нагрузки и коэффициента вариации нагрузки (к. = 0,05, / — нормальное распределение): 1 — 2р1о[ег, 2 — /п — нормальное распределение, 3 — / — распределение равной плотности, 4 — / — распределение Рэлея, 5 — / — распределение Лапласа
0
предельной расчетной вероятности отказа от функции распределения характеристики нагруженности не зависит.
Часто достоверно определить вид закона распределения затруднительно, поэтому предельную расчетную вероятность отказа можно получить из нижней огибающей предельных расчетных вероятностей, определенных из различных сочетаний законов распределения. График полученной зависимости представлен на рис. 4 (закон распределения прочности нормальный, нагруженности — нормальное распределение, распределение Рэлея, Лапласа и равной плотности). На рис. 4 область минимальных значений предельной расчетной вероятности значительно шире, чем на рис. 1 для случая только одного (нормального) закона, но минимальное значение вероятности примерно то же. Видимо, и при других сочетаниях законов распределения прочности и нагруженности эта тенденция будет продолжена. Таким образом, если закон распределения неизвестен, то расчетная вероятность отказа должна быть ограничена величиной 10-5.
Рис. 5. Зав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.