ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 3, с. 3-17
УДК 550.34
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ СИЛЬНЕИШИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ КАТАСТРОФ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ © 2014 г. В. Ф. Писаренко, М. В. Родкин, Т. А. Рукавишникова
Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, г. Москва
Поступила в редакцию 12.07.2013 г.
Статья содержит обзор результатов применения метода использования предельных распределений теории экстремальных значений: Обобщенного распределения Парето (Generalized Pareto Distribution, GPD) и Обобщенного распределения экстремальных значений (Generalized Extreme Value distribution, GEV) — для вывода распределения максимальных магнитуд землетрясений и величин ускорений, реализующихся в будущих интервалах времени заданной длительности. Приводятся результаты анализа мирового и региональных каталогов землетрясений, а также величин пиковых ускорений при землетрясениях. Показано, что часто используемый при оценке сейсмического риска параметр — величина максимально возможного землетрясения Мтах (и аналогичные характеристики для других видов данных) — является потенциально неустойчивым параметром. Предложена устойчивая альтернатива параметру Мтах в виде квантилей Qq(i) максимального землетрясения, которое произойдет в будущий интервал времени продолжительностью т. Полезным робастным скалярным параметром может быть также величина введенного ранее авторами характерного максимального события Мс. Все исследованные нами случаи аппроксимации хвоста эмпирических распределений оказались конечными, однако правая точка этих распределений Мтах часто оказывается плохо определяемым и неустойчивым параметром. Отсюда следует низкая практическая ценность параметра Мтах.
DOI: 10.7868/S0002333714030077
ВВЕДЕНИЕ
Основной закон сейсмологии — закон повторяемости землетрясений Гутенберга—Рихтера — отвечает степенной зависимости числа событий от величин сейсмической энергии и сейсмического момента. Такой степенной закон распределения типичен также и для многих других видов природных катастроф и для величин ущерба от катастроф. Достаточно часто [Писаренко, Родкин, 2007] такие распределения относятся к классу распределений с тяжелым хвостом, когда показатель степени распределения в < 1, и тогда среднее значение распределения бесконечно. Для конечных по объему выборок это проявляется в том, что величина единичного максимального события оказывается очень изменчивой (неустойчивой), а по величине близка (одного порядка величины) с суммарным эффектом от всех событий. В этих случаях закон больших чисел оказывается неприменимым, некорректным оказывается и использование таких привычных статистических характеристик, как среднее значение и дисперсия [Писаренко, Родкин, 2007].
При оценке риска природных катастроф основной интерес представляет определение статистических характеристик экстремально сильных событий и их повторяемости. При этом обычно нет уверенности, что максимально возможные события уже имели место за период наблюдений
и что невозможны существенно более сильные катастрофы. Статистически такая ситуация соответствует задаче определения квантилей высоких уровней, О > 1 — 1/^, где N размер выборки. Например, предположим, что при размере выборки N = 500, так что 1 — = 0.998, требуется определить величину сильнейшего события из 10000 событий, т.е., квантиль уровня О = 0.9999. Очевидно, что оценка квантилей из диапазона О > 1 — является задачей экстраполяции и может быть осуществлена только при тех или иных дополнительных предположениях.
Задачу оценки квантилей высокого уровня обычно решают, задаваясь тем или иным модельным законом распределения. При оценке сейсмического риска довольно часто предполагают выполнение обычного закона Гутенберга-Рихтера также и в области ранее не наблюдавшихся экстремально сильных землетрясений. В монографии [Рогожин, 2012] такой подход подкрепляется палеосеймологическими данными, свидетельствующими в пользу справедливости обычного закона Гутенберга—Рихтера также и для сильнейших палеоземлетрясений с повторяемостью один раз в несколько тысяч лет. Заметим, однако, что такой закон повторяемости землетрясений все равно должен где-то обрываться, так как иначе мы приходим к физически недопустимому выводу о бесконечности средних значений выде-
ляемой сейсмической энергии (и сейсмического момента), а соответственно и бесконечности средней по времени мощности источника энергии сейсмического процесса.
Чаще, однако, при оценке сейсмического риска принимается некоторая модель, изменяющая закон повторяемости Гутенберга—Рихтера в области редких сильнейших землетрясений таким образом, чтобы среднее значение выделенной сейсмической энергии (сейсмического момента) оказывалось конечным. Такому характеру поведения отвечает наблюдаемый в некоторых каталогах эффект "загиба вниз" графика повторяемости землетрясения в области редких сильнейших событий. Область возможных значений магнитуд при этом обычно (формально) полагается бесконечной. В монографиях [Писаренко, Родкин, 2007; Pisarenko, Rodkin, 2010] приводится обзор такого рода моделей и делается вывод, что ни одна из них не является вполне обоснованной, а различия при применении разных моделей довольно значительны. Учитывая это обстоятельство в статьях [Rodkin, Pisarenko, 2006; Писаренко, Родкин, 2007] предложено обобщение этого класса моделей, когда режим редких сильнейших землетрясений характеризуется величиной и повторяемостью так называемого характерного максимального возможного землетрясения Mc. По определению Мс соответствует границе двух областей: области закона повторяемости землетрясений с теоретически бесконечным средним значением (область выполнения обычного закона Гутенберга—Рихтера) и области редких сильнейших землетрясений с неким неизвестным законом распределения с конечным средним значением. Полезность такой модели подкрепляется тем, что, как показано в статье [Писаренко, Родкин, 2007], с землетрясениями магнитуды порядка Мс связан максимум выделения сейсмической энергии (возможно также и максимум величин ущерба). Там же предлагается алгоритм оценки величины Мс и периода повторяемости таких землетрясений.
В качестве альтернативы перечисленным выше подходам в работах [Pisarenko et al., 2004; Писаренко, Родкин, 2007; Pisarenko, Rodkin, 2010] нами был предложен метод определения квантилей высокого уровня на основе использования предельных распределений теории экстремальных значений: Обобщенного распределения Па-рето (Generalized Pareto Distribution, GPD) и Обобщенного распределения экстремальных значений (Generalized Extreme Value distribution, GEV). При этом предполагается, что для распределения магнитуд землетрясений исследуемого каталога справедливы предельные теоремы теории экстремальных значений (см. ниже). Предположение о справедливости выполнения этих условий является своего рода "платой" за получение оценок квантилей высокого уровня, соответ-
ствующих магнитудам, возможно еще и не наблюдавшимся ранее. Кроме выполнения достаточно общих математических условий для успешного применения этой методики требуется, чтобы имеющаяся эмпирическая выборка была достаточно представительной для того, чтобы оценить параметры предельного распределения величин максимумов. Естественно, эти требования выполняются далеко не всегда, но при их выполнении наш метод дает статистически обоснованный способ оценки распределения величин максимальных событий.
В качестве примера возможного невыполнения указанных требований укажем предполагаемый для ряда регионов сценарий формирования хвоста закона повторяемости землетрясений группой так называемых характеристических землетрясений [Ка§ап, 1992]. Такой сценарий не выявляется методом предельных распределений, пока длительность периода наблюдений не станет равной минимум 5—7 периодам повторяемости характеристического землетрясения. Отметим, однако, и то обстоятельство, что при недостаточной длительности периода наблюдений (что является типичным случаем) и сам факт существования характеристических землетрясений остается дискуссионным. Отметим также, что и саму гипотезу существования характеристических землетрясений нельзя считать вполне доказанной [Ка§ап, 1992].
К настоящему моменту авторами рассчитано уже довольно много примеров квантилей высокого уровня для разных сейсмоактивных регионов и по разным каталогам. Аналогично были рассчитаны квантили высокого уровня для пиковых значений ускорений при землетрясениях. Ниже кратко обсуждается методика и результаты расчетов квантилей высокого уровня. Совокупность рассчитанных примеров позволяет сделать предварительные выводы о типичном характере распределения магнитуд землетрясений и вызываемых ими ускорений грунта в области экстремально сильных редких событий.
МЕТОД
В теории экстремальных значений имеются две предельные теоремы. Для справедливости этих теорем нужно, чтобы функция распределения была непрерывна и существовали зависящие от объема выборки п константы центрирования ап, и нормировки сп такие, чтобы распределение случайной величины (хп — ап)/сп стремилось бы при неограниченном увеличении п к некоторому невырожденному распределению (это не всегда возможно).
В первой теореме для совокупности одинаково распределенных независимых случайных вели-
чин л, получен закон предельного распределения для значений x, превосходящих достаточно большой порог h. А именно, показано, что с ростом h распределение нормированных выбросов за порог h стремится к Обобщенному распределению Парето (Generalized Pareto distribution, GPD)
P{(xi -h)/s < z} ^ GPDh (z \%, s), h ^ zfln,
GPDh(z\%, s) = 1 - (1 + %(z - h)/s)-1/* , (1)
z > h; 1 + %(z - h)/s > 0.
Через zfin обозначена крайняя правая точка распределения, она равна бесконечности для неограниченных распределений и крайнему правому (максимально возможному) значению для ограниченных распределений. Функция распределения GPD зависит от двух параметров %, s и от величины порога h (параметр s в свою очередь зависит от h). Параметр % (-да < % < +да) называется параметром формы, параметр s (s > 0) — нормирующий параметр. При % = 0 GPD переход
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.