ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 6, с. 685-694
УДК 66.067.1
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ И МЕМБРАННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НА ДИНАМИКУ
ПРОНИЦАЕМОСТИ И СЕЛЕКТИВНОСТИ УЛЬТРА- И МИКРОФИЛЬТРАЦИОННЫХ МЕМБРАН С ПОМОЩЬЮ ОБЪЕМНО-ФИЛЬТРАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
© 2009 г. Ю. С. Поляков
Компания "Юсполиресерч", Эшланд, Пенсильвания 17921, США ypolyakov@uspolyresearch.com Поступила в редакцию 4.03.2009 г.
Теоретически исследованы зависимости проницаемости и селективности ультра- и микрофильтрационных мембран с порами одинакового радиуса в ходе процесса их постепенного закупоривания от трансмембранного давления, начального радиуса пор и их длины, концентрации взвешенного вещества во входном растворе и захватывающей способности стенок пор. Исследование проведено с помощью ранее разработанной объемно-фильтрационной модели, учитывающей неравномерность захвата частиц по глубине поры. Показано, что рассмотренные параметры процесса постепенного закупоривания оказывают существенное влияние на изменение проницаемости и селективности мембраны со временем. Предложены простые аналитические формулы для оценки проницаемости и селективности мембраны, а также времени достижения диаметра "отсечки" (момента перехода к фильтрованию с образованием осадка на поверхности мембраны), позволяющие использовать экспериментальную кривую селективности мембраны для оценки значений фильтрационного коэффициента (захватывающей способности стенок пор мембраны) и диаметра "отсечки". Продемонстрировано, что применение классической модели постепенного закупоривания Хермии при описании экспериментальных данных по проницаемости мембран может приводить к большим ошибкам, вызванным ее допущением о равномерной толщине профиля слоя частиц, захваченных внутри поры.
ВВЕДЕНИЕ
Процесс постепенного закупоривания пор - захват взвешенных частиц стенками пор по мере прохождения очищаемого раствора через поры мембраны - является одним из наиболее распространенных процессов в мембранной технологии [1-4]. Теория этого процесса особенно важна для проектирования мембранных модулей, используемых в составе биотехнологических систем [2].
Наиболее часто этот процесс описывают с помощью традиционной модели постепенного закупоривания, предполагающей равномерное осаждение взвешенных частиц по глубине поры [2, 3]. Более реалистичная модель, предполагающая ступенчатый профиль осадка на стенках поры вследствие ухода частиц из раствора по мере его движения вглубь поры, была предложена в середине 90-х [4]. Недостатком обеих моделей является то, что они не включают в себя описание процесса захвата частиц стенками пор, приводящего к падению концентрации взвешенных частиц по глубине поры, что непосредственно делает поры селективными и формирует уменьшающийся по глубине поры профиль осадка (рис. 1).
Для учета такого механизма захвата частиц в мембранной теории постепенного закупоривания был предложен объемно-фильтрационный подход [5], основанный на макроскопической теории фильтрования через глубокие насыпные слои коллекторов частиц [6-8]. Согласно этому подходу частицы захватываются стенками пор и скорость захвата (осаждения) частиц определяется значением фильтрационного коэффициента (коэффициента осаждения), площадью поверхности, доступной для осаждения частиц внутри поры, и локальной концентрацией частиц в поре [5]. Так как вследствие захвата частиц стенками поры концентрация частиц по глубине поры убывает, профиль осадка частиц внутри поры снижается от ее входа к выходу (рис. 1). Заменяя непрерывный профиль с помощью последовательности тонких кольцевых слоев с толщинами, равными диаметру частицы, была получена формула, описывающая объемный поток жидкости через селективную цилиндрическую пору [5]:
(*) = п РI 8 ||
\-1
[ г (а)]4
(1)
суспензия
Было принято, что уменьшение фильтрационного коэффициента X определяется только сокращением площади поверхности, доступной для осаждения частиц внутри поры:
Х(а) = Хо
(7)
пермеат
Рис. 1. Схематическое изображение процесса постепенного закупоривания поры ультра- и микрофильтрационных мембран.
г (а)
= 1--
(2)
Э(ес) д . ч да \ + -г (си) = ----, дг д г дг
й а л , ч — = Х(а)ис, йг
с = с0, при г > 0, г = 0 с = 0, а = 0, при г = 0, г > 0.
ео
(3)
(4)
(5)
(6)
где и = w —2 - линейная скорость течения жидко-
П Го
сти через пору.
Вышеприведенные уравнения были записаны в предположении, что мембрана имеет круглые цилиндрические поры с одинаковыми радиусами и длинами, концентрация взвешенных сферических частиц одинакового радиуса в растворе достаточно мала, диффузией частиц внутри поры можно пренебречь, вязкость раствора внутри поры остается постоянной и раствор идеально перемешивается по поперечному сечению поры.
Решение сформулированной задачи было получено с помощью традиционного метода, используемого в феноменологической теории объемной фильтрации [6], и ряда упрощений на основе оценки вклада членов в уравнении массового баланса. Конечные выражения для вычисления профиля осадка захваченных частиц, концентрации взвешенных частиц внутри поры, селективности мембраны и ее проницаемости были записаны в виде [5]
-Г = ш
^аЛ (1-|у (Т)
С
со
1-Ш +ат&(1- NУ(т)
У(Т) У2(Т)
где удельная объемная концентрация осажденных частиц а является функцией времени и координаты. Используя классические допущения и подходы феноменологической теории течения взвеси через глубокие насыпные слои [6, 7], течение суспензии через одинаковые цилиндрические поры мембраны было описано с помощью следующих макроскопических уравнений [5]:
я (т) = 1-
4ехр Nх
2ехр N х + ^ (1-ехр N ,) у (т)
(8)
(9)
(10)
и (т) =
й21
ош'^ + атш (1-|у (т)
у(т) = | и (т)йт,
\ , (11)
(12)
йУ й Т
й21
оШ
( N ^4
+ агШ | 1 - у
-N1,21 -2- + ^ ^ 2
у(0) = 0,
-1
(13)
о
о
о
о
Т
о
где
т =
^-, г = |, N = ^I, и(т) = и(-)/и0.
п1г0
Критическое время закупоривания (момент, когда частицы больше не могут проникнуть вглубь мембраны - переход к фильтрованию за счет "отсечки" частиц у входа в пору) было найдено из уравнения [5]
N. г
Рсг = 1-у| и(т)йт,
(15)
о
и (т) =
1
(1 + < Я)т)
2'
= ^ (¿г ^,
(16)
(17)
В качестве "экспериментальных" данных для классической модели (16)-(17) использовали кривые, рассчитанные объемно-фильтрационным методом. В начале каждой серии расчетов, где варьировали значение только одного параметра, для его наименьшего значения методом наименьших квадратов определяли значение коэффициента К в уравнении
- = < Я) К* +-1
д ^о
(18)
Гсг ksa
где рсг = —, гсг = -------радиус отсечки частиц ,
Го 2
к5 > 1 - коэффициент, отвечающий за эффекты поверхностных сил и наклона траектории частицы у входа в пору [9].
Было теоретически показано, что для мембран с селективностью выше 90% кривые проницаемости, рассчитанные по классической модели постепенного закупоривания с учетом реальной селективности мембраны, усредненной по времени процесса - <Я) [5]:
где значение коэффициента <Я) - селективности, усредненной по времени данного "эксперимента" -было рассчитано с помощью объемно-фильтрационной модели. Объемный поток пермеата для классической модели рассчитывали с помощью уравнения
м =
^0
(1 + < Я) Км о - )2
(19)
Этим имитировали традиционный способ применения классической модели при обработке экспериментальных данных. Так как согласно классической модели коэффициент К прямо пропорционален входной концентрации, обратно пропорционален длине поры и квадрату ее начального радиуса и не зависит от давления и Х0, выражение для К можно записать в виде
К = К
могут сильно отклоняться от кривых, построенных с помощью намного более реалистичной объемно-фильтрационной модели, учитывающей изменение захвата частиц и, соответственно, толщины слоя осадка частиц по глубине поры. Это ставит под сомнение правильность результатов, полученных при оценке реальных экспериментальных данных с помощью классической модели. При этом остался невыясненным вопрос, насколько классическая модель может искажать зависимость проницаемости мембраны от основных параметров процесса мембранного фильтрования и характеристик мембраны, и как эти параметры могут влиять на селективность мембраны. Исследованию этого вопроса и посвящена настоящая статья.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
В настоящей статье для проведения расчетов использовали как объемно-фильтрационную, так и классическую модель при следующих базовых значениях параметров мембраны и процесса:
а = 20 нм, г0 = 100 нм, I = 0.3 мм, | = 10-3 Па с, Р = 0.2 МПа, с0 = 1 х 103, к, = 1.5, ^о = 9.5 х 103 1/м.
^ п1г0
(20)
где подгоночный коэффициент Щ отражает степень неадекватности классической модели по отношению к экспериментальным данным, полученным в данном случае с помощью объемно-фильтрационной модели. Согласно классической модели теоретическое значение этого коэффициента должно быть равно единице. Соответственно, в экспериментах с несколькими значениями входной концентрации, длины мембраны или ее начального радиуса значение коэффициента К, определенное для наименьшего значения исследуемого переменного параметра, пересчитывали по вышеприведенной формуле с учетом новой величины этого параметра. При этом использовали соответствующее новое значение усредненной селективности, рассчитанное с помощью объемно-фильтрационной модели, что позволяло в какой-то мере интегрально учесть изменение захватывающей способности стенок пор мембраны при расчетах проницаемости в рамках классической модели.
Зависимость проницаемости и селективности мембраны от времени для трех разных значений давления представлена на рис. 2а и 26. Рис. 2в иллюстрирует процедуру нахождения базового значения коэффициента К для этого случая.
т
т
сг
w х 1017, м3/с
3 -,
2
300
0
300
(а)
600
- х 10-1/, с/м3
- (в)
600
Я
0.950 0.925 0.900 0.875
900 г, с
0
г г0 1.00
0.75 0.50 0.25
900 г, с
0
(б)
300 600 (г)
900 г, с
0.25 0.50 0.75 1.00 7
Рис. 2. Влияние величины трансмембранного давления на проницаемость (а) и селективность (б) ультрафильтрационной мембраны, фильтрующей в режиме постепенного закупоривания пор: Р = 0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.