научная статья по теме ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1299-1304

УДК 519.633

Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского

ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

© 2015 г. Е. Е. Мышецкая, В. Ф. Тишкин

(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: kuleshov@imamod.ru; v.f.tishkin@mail.ru Поступила в редакцию 09.02.2015 г.

Предлагаются оценки для разности решений уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии. Оценки получены в норме L2 для уравнения анизотропной теплопроводности и в норме C для одномерного случая и постоянных коэффициентов. Библ. 14. Фиг. 1.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, гиперболизация, оценки влияния гиперболизации, разностные схемы.

DOI: 10.7868/S004446691508013X

ВВЕДЕНИЕ

Особенности современных супер-ЭВМ в значительной мере ограничивают эффективность логически сложных вычислительных алгоритмов. В связи с этим приобретает интерес разработка явных схем, допускающих почти 100% распараллеливание. Для уравнений параболического типа с этой целью в настоящее время успешно используется гиперболизация уравнений (см. [1]—[12]), позволяющая ослабить условия устойчивости явных алгоритмов.

В работе получены оценки для разности решений анизотропного уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии. Показано, что величина этой разности пропорциональна второй производной по времени от решения невозмущенного уравнения и по порядку малости совпадает с величиной гиперболизирующей добавки.

1. ОЦЕНКА ДЛЯ УРАВНЕНИИ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим начально-краевую задачу для анизотропного уравнения теплопроводности

— = div A(X) grad u + f (x, t), dt (1.1)

u(x,0) = u0(X), x e D с Rn.

Здесь D — область, в которой ищется решение, A( X) — симметричная положительно определенная матрица n х n. На границе области D могут быть заданы граничные условия I или III рода:

u(X, t) = u1(X, t) (1.2)

или

(A(X) grad u, n) = a(X) u + u2(X, t), (13)

a(X) > 0, X e ÖD;

здесь u1(X, t), u2(X, t) — заданные функции, n — вектор внешней нормали. Отметим, что для а(Х) = 0 условие (1.3) переходит в условие II рода.

1299 2*

Одновременно рассмотрим сингулярно возмущенную задачу

+ — = Шу А(х) grad и + / (х, г),

дг дг

и(х,0) = и0(х), (1.4)

—(х, 0) = div А(х) grad и0 (х) + /(х, 0)

дг

с граничными условиями (1.2)—(1.3), в которых вместо функции и(х, г) используется функция и(х, г). Обозначим через 8(х, г) разность решений гиперболизированной и невозмущенной задачи

8(х, г) = и(х, г) - и(х, г). Вычитая (1.1) из (1.4), получаем уравнение для 8(х, г):

+ 55 = div А(х) grad 8-8% дг дг дг2 (1.5)

5(х,0) = 0, — (х ,0) = 0.

дг

На границе области Б либо

либо

8( х,0) = 0, (1.6)

(А(х)grad8, п) = а(х)8, х е дБ. (1.7)

Получим оценку для 5(х, г) в норме ^(Б х (0,7)). Для этого умножим (1.5) на дЪ/дг и проинтегрируем по области Б и по времени в пределах от 0 до Т:

т , т т

у --дг ^дгг г

Б 0 " 0 Б 0 Б

дг дг \дг Используя тождества

дЬ+ (() = Ш^**)gradьш,(1.8)

58528 = 1 д_ дг дг2 2 дг

д82 дг

—длу(А(х)grad8) = Шу (—А(х)gradз) - (А(х)grad8,grad— дг \дг ! \ дг

= ё1у Ш А(х) grad з) -1—(А(х) grad 8, grad 8),

\дг ! 2дг

с учетом начальных условий преобразуем (1.8) к виду

2 Т 2

е ёх\ г=т + 11(8) ёхёг +1 |(А(х) grad 6,grad 8» | г=т -

т

2

2*\дг/ и=т •>•>\дг) 2

Б 0 Б Б

(1.9)

(| (А(х) grad 8, п)ё8ёг = -еЦ^ — ёхёг.

0Б 0 0 Б

Контурный интеграл в левой части (1.9) обращается в 0 на тех участках границы, где задано условие (1.6), а на участках Г с дБ, где задано условие (1.7), он равен

-|]а(х)8^ё8ёг = ДАОС^= -рШ^ > 0.

Г 0 Г 0 Г

ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ С учетом этого приходим к неравенству

или

Далее, так как

Ж!1

0 Б

Г дЬаш

1Jдх2 дг

0 Б

< 6

12

Щ И Ш)

0 Б 10 Б

2

55

дг

< г

д и

дг2

8(х, ?) = Г^?,

дг

то имеем

| Ъ(х, г)| <л/г

0 )

Л!))

Возведя это неравенство в квадрат и проинтегрировав его по области Б и по времени в пределах от 0 до Т, получим

Дб2(х,г)ёг < Т2

2ГГ№\ ^ = т'

0 Б Б 0

что и дает требуемую оценку

д г

дЪ

дг

<8 Т

^г(Бх(0,Т))

д2и

дг2

¿2(Бх(0,Т))

||5(х, г)||

¿2(Бх(0,Т))

< гТ1

д и

дг2

¿2(Бх(0,Т))

2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ В РАВНОМЕРНОЙ НОРМЕ

Для задачи Коши одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами

ди = д-и- + / (х, г), и(х, 0) = и0(х)

дг дх2

можно получить оценку разности решения и( х, г) и решения возмущенной задачи й(х, г) в норме С. Здесь и(х, г) — решение задачи

гЩ + - = Щ + / (х, г),

дг2 дг дх2 и(х,0) = и0(х),

ди (х,0) = д^(х) +1

дг дх

Аналогично предыдущему, получим уравнение для

8(х, г) = и(х, г) - и(х, г),

£ д 25 + д5 _ д 25 с д 2и

дг2 дг ~ дх2 дх2'

5(х, 0) _ 0, ^(х,0) _ 0.

дг

(2.1)

Посредством замены

Д = ег/(2Е) 5, х = уГг х,

0

Фигура.

задача (2.1) приводится к виду

dt2 4е2

д 2Д 1 л д 2Д 215 2u Д = —т - e -

дх дД,

dt2

Д(х, 0) = 0, — (х,0) = 0.

дt

Решение задачи (2.2) имеет вид (см. [13])

г х+(г-т) т

А(х,t) = J J

■ д u dt2

fe T)10

V(t -T)2 - (x -^)2 28

d t,d t,

0 х-(г-т)

где 10(£) — модифицированная функция Бесселя I рода нулевого порядка. Возвращаясь к исходной функции 8( х, г), имеем

Здесь максимум |д 2и/дг 2| берется по характеристическому треугольнику с вершиной в точке (х, г): 0 < т < г; х - (г - т) х + (г - т) (см. фигуру).

В дальнейшем нам понадобится оценка для 10(£):

(2.2)

(2.3)

(2.4)

10®5 ('+.

Для получения этой оценки воспользуемся интегральным представлением (см. [13], [14]).

(2.5)

In(z) = 1 fezcostdt.

<0(z) =1 fe

n J

0

Из (2.6) непосредственно следует, что

10(z) < ez.

(2.6)

(2.7)

Далее, заменой cos t = т, приведем (2.6) к виду

2[ e

I0(z) = - < 1 \~f^==dт +1 \Jh=dx < 2 J"

n J -/1 — _2 П j x/l — т П J V l — т П«1-

-1 v

П ^ VT- т

0

п -1 л/Т- т

0

п ^ л/Г - т

0

d т.

(2.8)

т

t

I

П

ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ Сделав в (2.8) замену 2, = л/1 - т, получим

1

I0(г) < — [е

тг

и, наконец,

■Л &

т / \ ^ 4ег Г -%2,г . 4ег Г -|2 ,г 2ег I0(г) < —/= I ^ ^ £ < —- I е^й % = ->— пы г J пыг J л/пг

(2.9)

0 0 где | =

Умножая (2.7) на 1/(1 + л/г), а (2.9) на Тг/(1 + Л) и, складывая их, получаем искомую оценку (2.5). Оценим теперь интеграл в формуле (2.4).

г х+(г-т)

_(г-т)

е 2е I е 10

I- = 1 1

0 х-(г-т)

Для упрощения формул сделаем замены

г - т\ х - г

2е / \ 2е

й ^й т.

Т = и 1 = £-*.

2б 2е

При этом (2.10) перепишется в виде

2е т _

Iп = 4б21 |е10 (т2 2)т.

0 -т

Воспользовавшись оценкой (2.5), получим

(2.10)

1п = 4б211+

л/л)/1 ^ е -12+1й 1йт.

Отсюда и из очевидного неравенства

т -

л/х2 -12 > 12/2т

следует, что

I- < 4б2(1+

ЛП 1 14

^ 01 ^М2 +1

Сделав в (2.11) замену п = |/л/Й, получим

й 1 й Т = 86 211 + хШ

0 +1

й! й т.

1п < 8е211

± ||

„ \ 2е \ 2

е

= 8е2

„ N 2Е ' + ^

V— I I I I I

т2 - 2тп2 + 1

5^ -П ^

Г . е йп +

0 4/т2 - 2тп2 + 1 0.5^

й пйт =

-п

Оценим интегралы в квадратных скобках в (2.12):

^0.5т 2

4/т2 - 2тп2 + 1

й п

й т.

0.5^

Vт2 - 2тП2 +

-й п < 1 е п й п< 1 е 2 й п = -^е т/4, 1 0.5/Т 0.5/П Т

(2.11)

(2.12)

(2.13)

0

о.5ч/Т

о.5л/Т

Vт2 - 2т п

-dn< f 1 „

VT^ - л/т

(2.14)

Подставляя (2.13) и (2.14) в (2.12), получаем

t/(2е) .

1п < 8б2 (l + J=) | 12л/2е~4 + ^

d х =

= 8s2 (l + -2=) 8л/2(1

— е 8е) +

4Л421

2s

< 8s (l + 2)V2s + Si

vn

Отсюда и из (2.4) для 5(х, t) следует оценка

|5(x,t)|< Иг(l + -р) 8>/2s + T

где

И = max

i2 д u

dt2

& т)

0 < т < t, ■ - (t - t)/Vs < < x + (t - т)/Тб.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Давыдов А.А., Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 12. С. 2275-2284.

2. Chetverushkin B.N., ShilnikovE.V. Flux relaxation as an approach to the stability improvement for explicit finite difference schemes // CD proceedings of the II Internat. conference on Eng. Optimizat. (Eng0pt-2010). Lisbon, Portugal, September 2010.

3. Четверушкин Б.Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 11. С. 33-52.

4. Четверушкин Б.Н., Морозов Д.Н., Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Об одной явной схеме для решения задач фильтрации // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 4. С. 99-109.

5. Четверушкин Б.Н., Гулин А.В. Явные схемы и моделирование на вычислительных системах сверхвысокой производительности // Докл. АН. 2012. Т. 446. № 5. С. 501-503.

6. Chetverushkin B.N., Shilnikov E.V., Davydov A.A. Numerical simulation of continuous media problems on hybrid computer systems. Advances in Eng. Software, Elsevier, 2013. 60-61. p. 42-47. URL:http://dx.doi.org/ 10.1016/j.advengsoft.2013.02.003.

7. Репин C. И, Четверушкин Б.Н. Оценки разности приближенных решений задач Коши для параболического диффузионного уравнения и гиперболического уравнения с малым параметром // Докл. АН. 2013. Т. 451. № 3. С. 255-258.

8. Davydov A.A., Shilnikov E.V. Numerical simulation of the low compressible viscous gas flows on GPU-based hybrid supercomputers // Parallel Computing: Accelerating Computational Sci. Eng. (CSE). Advances in Parallel Comput. 2014. V. 25. Bader M., Bode A., Bungartz H.-J., Gerndt M., Joubert G.R., Peters F. (eds.) IOS Press. 2014. № 25. P. 315-323.

9. Trapeznikova M.A., Churbanova N.G., Lyupa A.A., Morozov D.N. Simulation of multiphase flows in the subsurface on GPU-based supercomputers // Parallel Computing: Accelerating Comput. Sci. Eng. (CSE), Advances in Parallel Comput. 2014. V. 25. Bader M., Bode A., Bungartz H.-J., Gerndt M., Joubert G.R., Peters F. (eds.) IOS Press. 2014. № 25. P. 324-333.

10. Шильников Е.В. Моделирование течений вязкого газа на основе КГД системы уравнений на неортогональных индексных сетках. Препринты ИПМ. № 33. 20 с. М., 2014.

11. Морозов Д.Н., Трапезникова М.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Использование явных схем для моделирования процесса двухфазной фильтрации // Матем. моделирование. 2011. Т. 23. № 7. С. 52-60.

12. Исупов Н.В., Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Моделирование процессов просачивания многофазных жидкостей в слои

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком