ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1299-1304
УДК 519.633
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
© 2015 г. Е. Е. Мышецкая, В. Ф. Тишкин
(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: kuleshov@imamod.ru; v.f.tishkin@mail.ru Поступила в редакцию 09.02.2015 г.
Предлагаются оценки для разности решений уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии. Оценки получены в норме L2 для уравнения анизотропной теплопроводности и в норме C для одномерного случая и постоянных коэффициентов. Библ. 14. Фиг. 1.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, гиперболизация, оценки влияния гиперболизации, разностные схемы.
DOI: 10.7868/S004446691508013X
ВВЕДЕНИЕ
Особенности современных супер-ЭВМ в значительной мере ограничивают эффективность логически сложных вычислительных алгоритмов. В связи с этим приобретает интерес разработка явных схем, допускающих почти 100% распараллеливание. Для уравнений параболического типа с этой целью в настоящее время успешно используется гиперболизация уравнений (см. [1]—[12]), позволяющая ослабить условия устойчивости явных алгоритмов.
В работе получены оценки для разности решений анизотропного уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии. Показано, что величина этой разности пропорциональна второй производной по времени от решения невозмущенного уравнения и по порядку малости совпадает с величиной гиперболизирующей добавки.
1. ОЦЕНКА ДЛЯ УРАВНЕНИИ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим начально-краевую задачу для анизотропного уравнения теплопроводности
— = div A(X) grad u + f (x, t), dt (1.1)
u(x,0) = u0(X), x e D с Rn.
Здесь D — область, в которой ищется решение, A( X) — симметричная положительно определенная матрица n х n. На границе области D могут быть заданы граничные условия I или III рода:
u(X, t) = u1(X, t) (1.2)
или
(A(X) grad u, n) = a(X) u + u2(X, t), (13)
a(X) > 0, X e ÖD;
здесь u1(X, t), u2(X, t) — заданные функции, n — вектор внешней нормали. Отметим, что для а(Х) = 0 условие (1.3) переходит в условие II рода.
1299 2*
Одновременно рассмотрим сингулярно возмущенную задачу
+ — = Шу А(х) grad и + / (х, г),
дг дг
и(х,0) = и0(х), (1.4)
—(х, 0) = div А(х) grad и0 (х) + /(х, 0)
дг
с граничными условиями (1.2)—(1.3), в которых вместо функции и(х, г) используется функция и(х, г). Обозначим через 8(х, г) разность решений гиперболизированной и невозмущенной задачи
8(х, г) = и(х, г) - и(х, г). Вычитая (1.1) из (1.4), получаем уравнение для 8(х, г):
+ 55 = div А(х) grad 8-8% дг дг дг2 (1.5)
5(х,0) = 0, — (х ,0) = 0.
дг
На границе области Б либо
либо
8( х,0) = 0, (1.6)
(А(х)grad8, п) = а(х)8, х е дБ. (1.7)
Получим оценку для 5(х, г) в норме ^(Б х (0,7)). Для этого умножим (1.5) на дЪ/дг и проинтегрируем по области Б и по времени в пределах от 0 до Т:
т , т т
у --дг ^дгг г
Б 0 " 0 Б 0 Б
дг дг \дг Используя тождества
дЬ+ (() = Ш^**)gradьш,(1.8)
58528 = 1 д_ дг дг2 2 дг
д82 дг
—длу(А(х)grad8) = Шу (—А(х)gradз) - (А(х)grad8,grad— дг \дг ! \ дг
= ё1у Ш А(х) grad з) -1—(А(х) grad 8, grad 8),
\дг ! 2дг
с учетом начальных условий преобразуем (1.8) к виду
2 Т 2
е ёх\ г=т + 11(8) ёхёг +1 |(А(х) grad 6,grad 8» | г=т -
т
2
2*\дг/ и=т •>•>\дг) 2
Б 0 Б Б
(1.9)
(| (А(х) grad 8, п)ё8ёг = -еЦ^ — ёхёг.
0Б 0 0 Б
Контурный интеграл в левой части (1.9) обращается в 0 на тех участках границы, где задано условие (1.6), а на участках Г с дБ, где задано условие (1.7), он равен
-|]а(х)8^ё8ёг = ДАОС^= -рШ^ > 0.
Г 0 Г 0 Г
ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ С учетом этого приходим к неравенству
или
Далее, так как
Ж!1
0 Б
Г дЬаш
1Jдх2 дг
0 Б
< 6
12
Щ И Ш)
0 Б 10 Б
2
55
дг
< г
д и
дг2
8(х, ?) = Г^?,
дг
то имеем
| Ъ(х, г)| <л/г
0 )
Л!))
Возведя это неравенство в квадрат и проинтегрировав его по области Б и по времени в пределах от 0 до Т, получим
Дб2(х,г)ёг < Т2
2ГГ№\ ^ = т'
0 Б Б 0
что и дает требуемую оценку
д г
дЪ
дг
<8 Т
^г(Бх(0,Т))
д2и
дг2
¿2(Бх(0,Т))
||5(х, г)||
¿2(Бх(0,Т))
< гТ1
д и
дг2
¿2(Бх(0,Т))
2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ В РАВНОМЕРНОЙ НОРМЕ
Для задачи Коши одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами
ди = д-и- + / (х, г), и(х, 0) = и0(х)
дг дх2
можно получить оценку разности решения и( х, г) и решения возмущенной задачи й(х, г) в норме С. Здесь и(х, г) — решение задачи
гЩ + - = Щ + / (х, г),
дг2 дг дх2 и(х,0) = и0(х),
ди (х,0) = д^(х) +1
дг дх
Аналогично предыдущему, получим уравнение для
8(х, г) = и(х, г) - и(х, г),
£ д 25 + д5 _ д 25 с д 2и
дг2 дг ~ дх2 дх2'
5(х, 0) _ 0, ^(х,0) _ 0.
дг
(2.1)
Посредством замены
Д = ег/(2Е) 5, х = уГг х,
0
Фигура.
задача (2.1) приводится к виду
dt2 4е2
д 2Д 1 л д 2Д 215 2u Д = —т - e -
дх дД,
dt2
Д(х, 0) = 0, — (х,0) = 0.
дt
Решение задачи (2.2) имеет вид (см. [13])
г х+(г-т) т
А(х,t) = J J
■ д u dt2
fe T)10
V(t -T)2 - (x -^)2 28
d t,d t,
0 х-(г-т)
где 10(£) — модифицированная функция Бесселя I рода нулевого порядка. Возвращаясь к исходной функции 8( х, г), имеем
Здесь максимум |д 2и/дг 2| берется по характеристическому треугольнику с вершиной в точке (х, г): 0 < т < г; х - (г - т) х + (г - т) (см. фигуру).
В дальнейшем нам понадобится оценка для 10(£):
(2.2)
(2.3)
(2.4)
10®5 ('+.
Для получения этой оценки воспользуемся интегральным представлением (см. [13], [14]).
(2.5)
In(z) = 1 fezcostdt.
<0(z) =1 fe
n J
0
Из (2.6) непосредственно следует, что
10(z) < ez.
(2.6)
(2.7)
Далее, заменой cos t = т, приведем (2.6) к виду
2[ e
I0(z) = - < 1 \~f^==dт +1 \Jh=dx < 2 J"
n J -/1 — _2 П j x/l — т П J V l — т П«1-
-1 v
П ^ VT- т
0
п -1 л/Т- т
0
п ^ л/Г - т
0
d т.
(2.8)
т
t
I
П
ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ГИПЕРБОЛИЗАЦИИ Сделав в (2.8) замену 2, = л/1 - т, получим
1
I0(г) < — [е
тг
и, наконец,
■Л &
т / \ ^ 4ег Г -%2,г . 4ег Г -|2 ,г 2ег I0(г) < —/= I ^ ^ £ < —- I е^й % = ->— пы г J пыг J л/пг
(2.9)
0 0 где | =
Умножая (2.7) на 1/(1 + л/г), а (2.9) на Тг/(1 + Л) и, складывая их, получаем искомую оценку (2.5). Оценим теперь интеграл в формуле (2.4).
г х+(г-т)
_(г-т)
е 2е I е 10
I- = 1 1
0 х-(г-т)
Для упрощения формул сделаем замены
г - т\ х - г
2е / \ 2е
й ^й т.
Т = и 1 = £-*.
2б 2е
При этом (2.10) перепишется в виде
2е т _
Iп = 4б21 |е10 (т2 2)т.
0 -т
Воспользовавшись оценкой (2.5), получим
(2.10)
1п = 4б211+
л/л)/1 ^ е -12+1й 1йт.
Отсюда и из очевидного неравенства
т -
л/х2 -12 > 12/2т
следует, что
I- < 4б2(1+
ЛП 1 14
2т
^ 01 ^М2 +1
Сделав в (2.11) замену п = |/л/Й, получим
й 1 й Т = 86 211 + хШ
2т
0 +1
й! й т.
1п < 8е211
± ||
„ \ 2е \ 2
е
= 8е2
„ N 2Е ' + ^
V— I I I I I
т2 - 2тп2 + 1
5^ -П ^
Г . е йп +
0 4/т2 - 2тп2 + 1 0.5^
й пйт =
-п
Оценим интегралы в квадратных скобках в (2.12):
^0.5т 2
4/т2 - 2тп2 + 1
й п
й т.
0.5^
Vт2 - 2тП2 +
-й п < 1 е п й п< 1 е 2 й п = -^е т/4, 1 0.5/Т 0.5/П Т
(2.11)
(2.12)
(2.13)
0
о.5ч/Т
о.5л/Т
Vт2 - 2т п
-dn< f 1 „
VT^ - л/т
(2.14)
Подставляя (2.13) и (2.14) в (2.12), получаем
t/(2е) .
1п < 8б2 (l + J=) | 12л/2е~4 + ^
d х =
= 8s2 (l + -2=) 8л/2(1
— е 8е) +
4Л421
2s
< 8s (l + 2)V2s + Si
vn
Отсюда и из (2.4) для 5(х, t) следует оценка
|5(x,t)|< Иг(l + -р) 8>/2s + T
где
И = max
i2 д u
dt2
& т)
0 < т < t, ■ - (t - t)/Vs < < x + (t - т)/Тб.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов А.А., Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 12. С. 2275-2284.
2. Chetverushkin B.N., ShilnikovE.V. Flux relaxation as an approach to the stability improvement for explicit finite difference schemes // CD proceedings of the II Internat. conference on Eng. Optimizat. (Eng0pt-2010). Lisbon, Portugal, September 2010.
3. Четверушкин Б.Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 11. С. 33-52.
4. Четверушкин Б.Н., Морозов Д.Н., Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Об одной явной схеме для решения задач фильтрации // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 4. С. 99-109.
5. Четверушкин Б.Н., Гулин А.В. Явные схемы и моделирование на вычислительных системах сверхвысокой производительности // Докл. АН. 2012. Т. 446. № 5. С. 501-503.
6. Chetverushkin B.N., Shilnikov E.V., Davydov A.A. Numerical simulation of continuous media problems on hybrid computer systems. Advances in Eng. Software, Elsevier, 2013. 60-61. p. 42-47. URL:http://dx.doi.org/ 10.1016/j.advengsoft.2013.02.003.
7. Репин C. И, Четверушкин Б.Н. Оценки разности приближенных решений задач Коши для параболического диффузионного уравнения и гиперболического уравнения с малым параметром // Докл. АН. 2013. Т. 451. № 3. С. 255-258.
8. Davydov A.A., Shilnikov E.V. Numerical simulation of the low compressible viscous gas flows on GPU-based hybrid supercomputers // Parallel Computing: Accelerating Computational Sci. Eng. (CSE). Advances in Parallel Comput. 2014. V. 25. Bader M., Bode A., Bungartz H.-J., Gerndt M., Joubert G.R., Peters F. (eds.) IOS Press. 2014. № 25. P. 315-323.
9. Trapeznikova M.A., Churbanova N.G., Lyupa A.A., Morozov D.N. Simulation of multiphase flows in the subsurface on GPU-based supercomputers // Parallel Computing: Accelerating Comput. Sci. Eng. (CSE), Advances in Parallel Comput. 2014. V. 25. Bader M., Bode A., Bungartz H.-J., Gerndt M., Joubert G.R., Peters F. (eds.) IOS Press. 2014. № 25. P. 324-333.
10. Шильников Е.В. Моделирование течений вязкого газа на основе КГД системы уравнений на неортогональных индексных сетках. Препринты ИПМ. № 33. 20 с. М., 2014.
11. Морозов Д.Н., Трапезникова М.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Использование явных схем для моделирования процесса двухфазной фильтрации // Матем. моделирование. 2011. Т. 23. № 7. С. 52-60.
12. Исупов Н.В., Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Моделирование процессов просачивания многофазных жидкостей в слои
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.