ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2015, том 51, № 3, с. 54-63
— МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ —
ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ И ЭФФЕКТИВНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИРОДНЫХ АЛМАЗОВ
© 2015 г. Л.Г. Бабат, А.А. Фридман
(Москва)
Исследуются вложения пар пересекающихся правильных «-мерных симплексов с противоположно направленными внешними нормалями. Симплекс А вложен параллельно в В, если внешние нормали А и В одинаково направлены. Их пары вложены параллельно, если симплексы одной пары параллельно вложены в симплексы другой. С парой связываются п + 3 параметра. Сформулирована и доказана теорема: пара А или ее зеркальное отражение параллельно вкладывается в пару В тогда и только тогда, когда параметры А не превосходят параметров В. Теорема применяется для анализа эффективности использования алмазов.
Ключевые слова: внешняя нормаль, звезда, зеркальное отражение, параллельное вложение, правильный симплекс.
Классификация JEL: С60, С69.
1. ВВЕДЕНИЕ
Алмаз является стратегическим сырьем высочайшей удельной ценности: цена высококачественного алмаза весом в 1 карат (0,2 г) в 1000 раз выше цены 1 карата золота, а цена хорошего бриллианта весом в 1 карат превосходит ее уже в 5-8 тысяч раз. Поэтому важно эффективно использовать алмазы1. Особенно актуально это при производстве из высококачественных (наиболее ценных) алмазов круглых бриллиантов (доля круглых бриллиантов в мировом производстве около 85%). Цена алмаза и бриллианта (при прочих равных условиях) растет с увеличением веса, причем при переходе через границы фиксированных весовых интервалов этот рост имеет скачкообразный характер. Отсюда возникает задача получения из высококачественного алмаза круглого бриллианта максимального веса (размера).
При рассмотрении этой задачи удобно использовать следующую терминологию. Вложение одного «-мерного симплекса в другой назовем параллельным, если направления внешних нормалей (« - 1)-мерных граней вложенного симплекса совпадают с направлениями внешних нормалей (« - 1)-мерных граней объемлющего. Под «-мерной звездой будем понимать пару правильных «-мерных симплексов, которые имеют общую точку и расположены относительно друг друга так, что направления внешних нормалей (« - 1)-мерных граней одного симплекса противоположны направлениям внешних нормалей (« - 1)-мерных граней другого. Пересечение симплексов звезды назовем ее ядром. Вложение звезды {А; В} в звезду {Е; Г} договоримся считать параллельным, если один из симплексов А или В параллельно вложен в Е, а другой - в Г.
Высококачественным считается алмаз, имеющий форму восьмигранника, который можно получить из правильного октаэдра (идеального кристалла алмаза), смещая плоскости его граней параллельно самим себе. Заметим, что правильный октаэдр можно вложить в куб так, что его вершины станут центрами граней куба. При этом октаэдр будет пересечением двух симметричных относительно центра куба правильных тетраэдров, ребра которых служат диагоналями граней куба, т.е. правильный октаэдр - это ядро 3-мерной звезды. Это означает, что любой высококачественный алмаз представляет собой ядро 3-мерной звезды.
1 Актуальность проблемы усиливается тем, что месторождения алмазов редки, в последние 30 лет не было открыто ни одного крупного месторождения алмазов (Фридман, 2011).
Если бриллиант можно получить из алмаза, то этот бриллиант вкладывается в алмаз. Представим себе, что бриллиант D вложен в высококачественный алмаз, т.е. в ядро A + B 3-мерной звезды {А; B}, где A и B - составляющие ее симплексы. Подвинем каждую из граней симплексов A и B параллельно самой себе до касания с D. Получится меньшая звезда {Ар; BD}, параллельно вложенная в {А; В}. Возникает задача о параллельном вложении (вложимости) одной звезды в другую. Круглый бриллиант - фигура зеркально симметричная. Поэтому с точки зрения получения из ядра звезды {А; В} круглого бриллианта Р возможности параллельного вложения в {А; В} звезды {Ар; Вр} или ее зеркального отражения эквивалентны друг другу. Это означает, что задача о параллельном вложении одной звезды в другую превращается в задачу о параллельном вложении с точностью до зеркального отражения.
В работе показывается, что для выяснения возможности параллельного вложения с точностью до зеркального отражения одной я-мерной звезды в другую достаточно сравнить я + 3 линейных параметра этих звезд. Важное свойство этих параметров состоит в следующем. В 3-мерном случае, когда ядро звезды - высококачественный алмаз (т.е. восьмигранник), параметры звезды достаточно просто найти, располагая только алмазом (Бабат, Фридман, 2008). Важность данного обстоятельства связана с тем, что на практике всегда имеется только высококачественный алмаз.
Используя линейные параметры звезд, удалось построить алгоритм, который с любой наперед заданной точностью находит для высококачественного алмаза максимальный вложимый в него круглый бриллиант, одновременно определяя возможное положение в алмазе найденного бриллианта (Бабат, 2010). Алгоритм позволяет создать технологический процесс переработки высококачественных алмазов в круглые бриллианты максимальной стоимости. На основе алгоритма удалось разработать метод оценки высококачественных алмазов с точки зрения стоимости получаемых из них бриллиантов (Бабат, 2010).
Первое исследование параметров, позволяющих судить о параллельной вложимости звезд, было проведено в (Бабат, Фридман, 2008). Оно было громоздким и трудно читаемым. Данная работа существенно короче и проще. Авторы благодарят В.П. Гришухина, советы которого позволили изменить структуру статьи, начав с общих многомерных рассмотрений, а не с частных случаев. Это позволило при сохранении идей и схем доказательств сократить объем более чем в два раза. Авторы придают большое значение сокращению и упрощению рассуждений, полагая, что использование введенных параметров займет свое место в математических подходах к алмазной тематике.
2. ПОРОЖДАЮЩИЕ НАБОРЫ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ
В определении звезды используются внешние нормали граней составляющих ее симплексов. Это означает, что данные симплексы по умолчанию предполагаются невырожденными (отличными от точки). Однако дальнейшие рассмотрения становятся проще и нагляднее, если такие ситуации не исключать. В связи с этим дадим более общее определение звезды, при котором звезды, заданные прежним определением, будут представлять собой частные случаи более общего понятия.
Определение 1. Векторы А и В назовем положительно коллинеарными (соответственно отрицательно коллинеарными), если А = сВ, где с > 0 (соответственно с < 0).
Напомним, что евклидовым называется линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение (т.е. углы и расстояния).
Определение 2. В я-мерном пространстве н-гранью назовем пару {а; А}, где а -(я - 1)-мерная гиперплоскость, а А - выходящая из точки этой гиперплоскости ее нормаль. Гиперплоскость а делит пространство на два открытых полупространства: Н+А (куда направлен вектор А) и Н-А (откуда этот вектор направлен). Объединение а и Н-А (замыкание Н-А) - это собственное полупространство н-грани {а; А}. Результат применения евклидова преобразования Е к {а; А} - это пара {Е(а); Е(А)}. Результат применения Е к набору (упорядоченному набору) н-граней - это набор (упорядоченный) результатов применения Е к н-граням этого набора.
Лемма 1. Пусть {а; А} -н-грань, {3; В} - ее параллельный сдвиг на вектор положительно коллинеарный вектору d х (А/| А |). Предположим, что РА и РВ - собственные полупространства н-граней {а; А} и {3; В}. Тогда А и В положительно коллинеарны, а расстояние между а и 3 равно | d |, причем а С РВ \ 3 при d > 0, а = 3 при d = 0, 3 С РА \ а при d < 0.
Лемма 2. Если {а; А} и {3; А} - н-грани, РА и РВ - их собственные полупространства, то РА С РВ тогда и только тогда, когда А и В положительно коллинеарны, а а С РВ. При этом РА = (РВ \ Ь) и а, где Ь - замкнутый слой пространства, ограниченный плоскостями а и 3.
Лемма 3. Пусть {а; А} и {3; В} - н-грани, РА и РВ - их собственные полупространства. Если А и В отрицательно коллинеарны, то РА + РВ ^ 0 тогда и только тогда, когда а С РВ, а 3 С РА, причем в этом случае РА + РВ - это замкнутый слой пространства, ограниченный плоскостями а и 3.
Определение 3. Назовем н-грани родственными, если их векторы положительно коллинеарны. Скажем, что н-грани эквивалентны, если они родственны и их гиперплоскости совпадают.
Определение 4. Упорядоченные наборы н-граней назовем родственными (соответственно эквивалентными), если эти наборы имеют одинаковую длину и при этом н-грани одного набора родственны (соответственно эквивалентны) стоящим на тех же местах н-граням другого набора. Неупорядоченные наборы н-граней назовем родственными (соответственно эквивалентными), если их можно упорядочить так, что получившиеся упорядоченные наборы будут родственны (соответственно эквивалентны).
Определение 5. Пусть М - выпуклый «-мерный многогранник, с1, ..., ск - его
■> -> __
(« - 1)-мерные грани, а N1, ..., Ык - их внешние нормали. Предположим, что а1, ..., ак -(« - 1)-мерные гиперплоскости, содержащие с1, ..., ск. Наборы н-граней, эквивалентные набору {{а1; N1}, ...,{ак; Йк}}, назовем порождающими наборами многогранника М.
Определение 6. Набор и н-граней назовем «-мерным с-набором, если: а) и родствен порождающему набору «-мерного правильного симплекса; б) пересечение собственных полупространств н-граней и непусто.
Из леммы 2 вытекает: собственные полупространства н-граней совпадают тогда и только тогда, когда н-грани эквивалентны. Ввиду основного свойства выпуклых многогранников это означает, что выпуклый многогранник является пересечением собственных полупространств н-гра-ней своего порождающего набора. Пользуясь данным обстоятельством, обобщим приведенное во введении понятие звезды, позволив составляющим звезду симплексам быть точками.
Определение 7. Назовем «-мерной звездой пару {А; В} «-мерных с-наборов, удовлетворяющую двум условиям: а) пересечение собственных полупространств н-граней из А и В непусто; б) для каждой н-грани {сА; ЫА}} £ А имеется н-грань {св; ЫВ} £ В
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.