УДК 551.571.2
Параметрическая аппроксимация плотности распределения относительной влажности атмосферного воздуха в условиях континентального климата
Е. В. Капля*
Получен параметрический закон распределения относительной влажности атмосферного воздуха по результатам обработки данных многолетних измерений. Установлено наличие двух максимумов плотности многолетнего распределения относительной влажности воздуха в условиях континентального климата. Показана возможность выделения составляющих плотности распределения относительной влажности воздуха.
Ключевые слова: относительная влажность воздуха, плотность распределения вероятности, бимодальное распределение, аппроксимация плотности распределения.
Введение
Влажность воздуха — одна из наиболее существенных характеристик погоды и климата [2, 3]. Учет влажности необходим для решения задач метеорологии и при эксплуатации некоторых технических систем: холодильных установок, систем кондиционирования, био- и ветроэнергетических уста но вок.
Относительная влажность воздуха — это отношение парциального давления Рп водяного пара в воздухе к парциальному давлению Рн насыщенного водяного пара при той же температуре. Обычно относительную влажность Н нормируют к отрезку [0; 100%] и представляют формулой
Р
Н = —^ • 100%.
Рн
Температура воздуха в заданной точке, атмосферное давление и парциальное давление водяного пара имеют нормальные распределения с разными математическими ожиданиями и дисперсиями.
Известно [1] распределение влажности по высоте над уровнем моря для разных широт. В задачах ветро-, биоэнергетики и сельского хозяйства представляют особый интерес годовое и многолетнее распределения относительной влажности по величине вблизи поверхности земли. Аппрокси-ма ция плот нос ти рас преде ле ния влаж нос ти по зволя ет вос пол нить недостаток данных при использовании математических моделей для выбора
* Волжский филиал Московского энергетического института; e-mail: ev-kaple@yandex.ru.
места строительства энергетических установок или сельскохозяйственного возделывания определенной культуры.
Цели исследования состоят в следующем: анализ и аппроксимация экспериментальных данных о приземной относительной влажности воздуха в условиях континентального климата за многолетний период; аналитическая формулировка плотности многолетнего распределения относительной влажности воздуха вблизи поверхности земли.
Статистический анализ данных
Архивы метеоданных [5] содержат значения приземной (на высоте 2 м над поверхностью земли) относительной влажности, округленной до целых значений в процентах. В результате анализа данных [5] об относительной влажности в аэропортах нескольких десятков городов (наблюдения с интервалом 3 ч за 8-летний период 1 января 2006 г. — 31 декабря 2013 г.) построены экспериментальные гистограммы Ек плотности распределения вероятности приземной относительной влажности атмосферного воздуха. В качестве примера рассмотрим гистограмму, построенную по данным метеостанции аэропорта г. Волгоград (рис. 1а). Величина к — среднемноголетняя относительная влажность. Гистограмма имеет два локальных максимума, расположенных по разные стороны от среднего значения относительной влажности к.
Аналогичное распределение относительной влажности с двумя вершинами получается по данным метеостанций нескольких регионов России и со сед них стран с кон ти нен таль ным кли матом (ме те ос тан ций Астрахани, Саратова, Казани, Оренбурга, Еревана, Актобе, Уральска, Акжола, Атырау, Тегерана). В умеренных широтах континентальный климат характеризуется сравнительно большими годовой и суточной амплитудами температуры возду ха, жар ким ле том и холод ной зи мой.
Правый максимум плотности распределения влажности соответствует осени, зиме и весне, а левый — летним месяцам. Степным районам свойственно засушливое лето с малой влажностью. Плотность распределения от но си тель ной влаж нос ти в со отве тству ю щие ме ся цы вось ми лет не го интервала наблюдений в г. Волгоград представлена на рис. 16, в. На примере двух месяцев видно, что максимум плотности распределения влажности в августе расположен слева от среднемноголетнего значения к, а в ноябре — справа от среднего.
Наличие двух локальных максимумов (рис. 1, 2) плотности распределения вероятности предполагает использование бимодального закона распределения [4].
Вид плот нос ти рас преде ле ния от но си тель ной влаж нос ти ат мосфер но го воздуха зависит от типа климата и ландшафта местности. В местах с морским кли матом плот ность рас преде ле ния влаж нос ти име ет мо нотон но возрастающий вид или содержит один явный максимум в области большой влажности. Необходима регрессионная зависимость, аппроксимирующая экспериментальное распределение и сглаживающая шумы, возникающие из-за малого количества годовых измерений.
Искомая функция плотности вероятности имеет ограниченную область определения к е [0; 100%] в соответствии с физически возможными зна-
Рис. 1. Плотность распределения относительной влажности атмосферного воздуха по данным метеостанции аэропорта г. Волгоград за год (а), в августе (6) и ноябре (в).
Пояснения к рисункам приведены в тексте.
чениями относительной влажности. На основе анализа данных измерений можно ввести природную нижнюю границу относительной влажности, ниже кото рой плот ность рас преде ле ния ве роятнос ти влаж нос ти будет близка к 0 (рис. 1, 2) в конкретной местности.
Синтез закона распределения приземной относительной влажности
Экспериментальные гистограммы плотности распределения вероятности приземной относительной влажности атмосферного воздуха могут иметь два максимума (рис. 1, 2), экспоненциальные и степенные участки. Син тез би модаль но го рас преде ле ния це ле со об раз но реали зо вать с помощью трех со став ля ю щих: би модаль ной, экс по нен ци аль ной и сте пен ной. В этом случае плотность распределения влажности воздуха аппроксимируем суммой трех функций:
/(Н, Я) = ЯН, Ьи й1, А, Ъг, й2, А) + + /2(Н, а, 51, S2, Но) + /з(Н, и, К, I),
(!)
где Я = {Ъ1, ц1, £1, Ъ2, й2, В2, а, 5Ь 52, Н0, и, К, I} — вектор климатических параметров, характеризующих тип климата и ландшафта,
/1(Н, Ъь й1, £1 , Ъг , йг , А>) =
= Ъ1ехр
(Н -й 1)2 2Б1
+ Ъ2 ехр
(Н -йг)2 2Б,
(2)
/г(Н, а, 51, ¿2, Но) =
= а
1 +
ехр
5 5,
Н-Н
Ч У
ехр
Н-Н
5 5,
2 У
(3)
если Н0 < Н < Н,
/2(Н, а, 51, 52, Н0) = 0 в остальных случаях,
К(Н - I)", если I < Н < Н, 0 при других условиях.
/з(Н, и, К, I) =
(4)
Здесь Ъ1 и Ъ2 — амплитуды нормальных составляющих плотности распределения; й1 и й2 — смещения нормальных составляющих относительно Н = 0; В1 и В2 — дисперсии нормальных составляющих; а — амплитуда экспоненциальной монотонной составляющей; 51 и 52 — параметры формы экспо нен ци аль ной мо но тон ной со став ляю щей; Н0 — сме ще ние экс по нен -циальной монотонной составляющей; Н= 100% — максимальное значение относительной влажности; К — коэффициент степенной составляющей плотности распределения; и — показатель степени; I — смещение степенной со став ляю щей от но си тельно Н = 0.
Монотонная экспоненциальная составляющая плотности распределения (1) пред став ле на раз нос тью (з) двух экс по нен ци аль ных функ ций. Функция (3) является частным решением линейного дифференциального уравнения
2
5152 —Т /2(...) + (51 + 52) — /2(...) + /2(...) = аХ(Н - Н0), —Н —Н
(5)
где х(.) — функция Хевисайда:
х(Н - Н0) =
1, если Н > Н0, 0, если Н < Н .
Степенная составляющая закона распределения влажности задана степенной функцией К(Н - I)". Функция (4) равна нулю при Н < I, что позволяет не вводить комплексные значения параметров закона распределения и обеспечивает действительные значения плотности распределения. Функция /(Н, Я) имеет экспоненциальный вид в области Н < I.
5
5
2
Рис. 2. Плотность распределения относительной влажности воздуха по данным метеостанции аэропорта г. Астрахань (а) и г. Ереван (6).
Поскольку множество значений влажности является полным, то функция /к, К) плотности вероятности должна обладать интегральным свойством нормированности: н
| / (к, К )йк = 1. (6)
0
В результате численного интегрирования равенство (6) принимает вид:
Дк¿/(к, К) = 1. (7)
к = 0
В рассмотренном случае Дк = 1%.
Задача поиска значений параметров закона (1)—(4) сводится к минимизации ошибок аппроксимации плотности распределения влажности в каждой точке эмпирических данных. Эмпирическая зависимость ввиду малого интервала наблюдений имеет высокую степень зашумленности. В каждой дискретной точке данных необходимо рассмотреть и минимизировать несоответствие эмпирических и аппроксимированных значений плотности распределения:
е2(Я) = (Ек - /(к, Я))2 для каждого к = 0,1, •••, Н, (8)
где Ек — экспериментальная вероятность равенства округленного (до целого) значения относительной влажности величине к; ек — разность эмпирического и теоретического значения плотности распределения. Уравнение (8) эквивалентно системе из (Н + 1) уравнений, составленных для каждого целого значения влажности к = 0, 1, ..., Н.
Значения параметров закона распределения найдены в результате минимизации целевой функции С(Я), составленной на основе метода наименьших квадратов применительно к выражениям (6) и (8):
/ Н \2
С(Я) = X (Ек - I(к, Я))2 + 1 - |/(к, Я)йк
(9)
Первое слагаемое целевой функции (9) равно сумме квадратов отклонения экспериментальной плотности распределения от гипотетической плотности. Второе слагаемое введено с целью выполнения условия нормировки плотности распределения Кк, Я).
Минимизация целевой функций (9) выполнена с помощью метода Ле-венберга — Марквардта. Функция Кк, Я) должна удовлетворять условию Дк, Я) > 0 на отрезке 0 < к < Н. На искомые параметры наложены дополнительные условия: Ь1 > 0, Ь2 > 0,0 < щ < Н,0 < ц2 < Н, й1 > 0, й2 >0, 51 > 0,
52 > 0.
В результате минимизации функции (9) найдены значения параметров закона распределения (1)—(4) относительной влажности воздуха в нескольких аэропортах. Значения параметров для трех городов приведены в табли це.
Положительные значения параметров а, 51 и 52 соответствуют монотонно возрас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.