536.6
Параметрическая идентификация нестационарных тепловых потоков с помощью
тепломеров «тонкого диска»
Н. В. ПИЛИПЕНКО, М. Г. ЗЕЛЕНСКАЯ
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,
механики и оптики, e-mail: m.zelenskaya@vir.nw.ru
Предложена унифицированная методика нестационарной теплометрии на базе одномерных приемников. Для получения оптимальных оценок использован алгоритм дискретного фильтра Калмана. Приведены результаты исследований тепломеров, принцип действия которых основан на методе тонкого диска.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, нестационарный тепловой поток, оптимальные оценки, фильтр Калмана, доверительный интервал.
The unified methodology of unstationary heat flow measuring on the base of one-dimensional receivers has been suggested. To attain the optimal estimations, the algorithm of the discrete filter of Calman is used. The results of the researches of heat flow meters based on the method of the thin disk are given.
Key words: parametrical identification, unstationary heat flow, optimal estimations, Calman's filter, confidence interval.
Методы восстановления полей температур и тепловых потоков по ограниченному числу точек измерения, основанные на решениях граничной обратной задачи теплопроводности, широко используют для исследования тепловых режимов объектов авиационной и ракетно-космической техники, в энергетике и ряде других отраслей [1, 2]. Заметные результаты были получены в энерго- и ресурсосберегающих технологиях при сжигании низкосортного топлива в псевдо-ожиженном слое, обжиге и сушке дисперсных материалов [3].
В статье представлена унифицированная методика решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ) с использованием различных типов датчиков. Для решения ОЗТ использован метод параметрической идентификации оцениваемого параметра — нестационарного теплового потока Я (т) [4, 5].
Для восстановления я (т) рассмотрим, в частности, тепломер, принцип действия которого основан на методе тонкого диска [6]. Тепловая схема тепломера приведена на рис. 1. Он представляет собой тонкий диск 1 радиусом Rд и толщиною h, теплоизолированный с тыльной стороны и закрепленный по периметру на массивном корпусе 2. В первоначальном и наиболее распространенном на практике варианте диск был выполнен из константана, а корпус — из меди.
Для их соединения чаще всего применяли пайку, что обеспечивало идеальный тепловой контакт = 0, — кон-
х КОН1 КОН1
тактное тепловое сопротивление между диском и корпусом), однако иногда использовали склеивание с помощью электропроводных клеев [7], при которых RКонT Ф 0. С помощью медьконстантановой дифференциальной термопары изме-
ряли перепад температуры А? между центром и периферией диска. Практически во всех известных случаях рассматривали установившийся температурный режим диска под воздействием постоянного теплового потока д0, для которого уравнение измерения при постоянных теплофизических свойствах материала имело вид [8]:
qo = ^ Ai,
где X — теплопроводность диска.
Распределение температуры при tHa4 = 0
(1)
R 2 _ r 2 f (r) = qo -fxr,
(2)
где г — текущий радиус диска.
В некоторых современных низкотемпературных вариантах тепломера диск выполнен из полимерной электроизолирующей пленки, на рабочую поверхность которой нанесена батарея пленочных дифференциальных микротермопар. В связи с наличием пленки и слоя клея под периферийными спаями термопар их температура не равна температуре основания (ЯКонт — значительное), которая к тому же остается неизвестной. Поэтому градуировка тепломера должна выполняться по месту измерений, что сопряжено со значительными сложностями и существенными неточностями.
Практически отсутствует информация о состоянии тепломеров под воздействием нестационарных тепловых потоков я (т); их динамических характеристиках за исключе-
д
Рис. 1. Схема тепломера, принцип действия которого основан на методе тонкого диска:
1 — диск; 2 — корпус; 3 — термоэлектроды
нием переходной; особенностях статических характеристик при д (г, т) = var и др. Для ответа на эти вопросы необходимо решать различные прямые и обратные задачи теплопроводности.
Для описания процесса теплопереноса в датчике и в дальнейшем — для решения модельных и реальных задач по
восстановлению неизвестного потока д (т) проведем построение дифференциально-разностной модели (ДРМ) (см. рис. 2). Для этого тепломер разобьем по радиусу на п блоков (в данном случае п = 11) линейным размером I и температурами ¿2, ..., ¿1Г Средние температуры блоков ¿п, отнесенные к их центрам, составляют вектор состояния Т(т). Далее для каждого блока записываем уравнение теплового баланса с учетом различных теплофизических свойств материалов слоев и без учета контактного термического сопротивления между слоями.
В результате теплоперенос в тепломере описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно составляющих вектора состояния Т(т), которая в векторно-матричной форме имеет вид [4]:
д^1 = F Т(т) + GU(т),
(3)
где ^ G — матрицы обратных связей и управления; и(т) — вектор управления.
Для рассматриваемого тепломера величины, входящие в (3), имеют вид:
F =
4а 12 4а !2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
а 212 2а /2 3а 2/2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 3а 4/2 2а /2 5а 4/2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 5а 6/2 2а /2 7а 6/2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 7а 8/2 2а /2 <в| <2 со 0 0 0 0 0
0 0 0 0 9а 10/2 2а /2 11а 10/2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 11а 12/2 2а /2 13а 12/2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 13а 14/2 2а /2 15а 14/2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 15а 16/2 2а /2 17а 16/2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 17а 18/2 2а /2 19а 18/2
0 V 0 0 0 0 0 0 0 0 76а 39/2 76*контх 39*конт
G =
и(т)=
_1
с рЛ
1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ 1
с рЛ
_1 _
с рЛ 39Яконтср/
д(т)' /к (т)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 80
Т( т) =
// 4 ч
¿2
¿3
¿4
¿5
¿8 ¿9 ¿10 ¿11
(4) — (6)
(7)
ш щ* ^ ^ № № чг ^
где а = X / ср — температуропроводность диска; с , р — удельная теплоемкость и плотность диска; ¿к — температура корпуса.
Общее решение уравнения (3):
Рис. 2. Топология тепломера «тонкого диска» для составления дифференциально-разностной модели:
1 — диск; 2 — корпус Измерительная техника № 7, 2006
Т(т) = Ф(т, то )Т(то) + |Ф(т, то ^и(то , то
где Ф(т, т0) — переходная матрица,
(8)
г
6
ь
7
Ф = I + FAx + 1F2(AT)2 + 3F3(Ax)3 + ... + Fp(Ax)p + ...; (9)
I — единичная матрица.
Численное решение (9), которое используют при расчетах, запишем в виде [2]:
ной ОЗТ заключается в нахождении его оптимальной оценки , дающей минимум следующей функции невязок [5]:
т
Е
к=Г
«KQ) = X [Y _ Yk (Qk )]TR _ Yk (Q)],
(15)
Tk+1 =®Tk + \ (I +Ф)СУк Ax,
(10)
где Тк = Т(тк); ик = и(тк); тк = кАт; к = 0, 1, 2, ..., Ат — временной шаг.
Информация о количестве измерений, а также сведения о погрешностях отражаются в следующей математической модели измерений [4]:
Yk = N Tk + *
(11)
где Ук, е — векторы измерений и погрешностей; N — матрица измерений.
По матрице измерений N можно судить о том, какие температуры и в каких точках измеряют в эксперименте. Как указано выше, обычно измеряют перепад температуры по радиусу тепломера. Следовательно, с учетом того, что тепломер разбит на 11 блоков, матрица имеет вид
N = (1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1).
(12)
где ук(0) — модельные (расчетные) значения вектора измерений, определяемые по модели (11) тепломера в функции от 0к; R — ковариационная матрица ек с нормальным законом распределения; к—дискретное время, соответствующее определению тк = кАт.
Для получения оптимальных оценок 0к использован рекуррентный алгоритм фильтра Калмана [5]. Данный алгоритм для каждого измерения выдает не только саму оценку искомого параметра (теплового потока), но и ковариационную матрицу ошибок, характеризующую точность этой оценки:
Kk+i = Pk H T+i |H k+i Pk HT
kHk+1 Hk+1 Pk Hk+1
*k+1
Q k + Kk+11 Yk+1 _ Yk+1
Pk+1 = Pk _ Kk+1//k Pk;
(Qk)];
(16)
(17)
(18)
Таким образом, полная математическая модель датчика как динамической теплоизмерительной системы состоит из моделей теплопереноса (3) и измерений (11).
Для восстановления входного теплового потока я (т) решаем граничную обратную задачу нестационарной теплопроводности. При этом проводим параметризацию задачи, т. е. представляем тепловой поток, идущий через тепломер, обобщенным полиномом, неизвестные параметры которого находим с помощью математической модели и результатов измерений [5]:
q (x) = X 9/ Ф/(f),
i=1
(13)
где я — неизвестные постоянные параметры, которые должны быть определены в результате решения ОЗТ (/ = = 1, 2, ..., у); ф(- (т) — система базисных функций.
В данном случае в качестве базисных функций используем В-сплайны 1-го порядка, описываемые следующим уравнением [4]:
Sp,1(т) = f1-M прИ f 'I * 1;
() [0 при > 1,
(14)
где = т/о - i + 1 — безразмерный аргумент базовой сплайн-функции 1-го порядка; о — участок сплайн-аппроксимации. В результате параметризации ОЗТ формируют вектор
искомых параметров Q = |9/|/=1 = const. Тогда параметрическая идентификация тепломера как метод решения гранич-
где Kk+1 — весовая матрица; Yk+1(Qk) — модельные значения вектора измерений в (k +1)-й момент времени, рассчитываемые по модели тепломера (10) с использованием предыдущей оценки вектора параметров Qk; Pk, Pk+1 — ковариационные матрицы ошибок оценок вектора параметров для моментов времени k и (k +1), соответственно; /Hk — матрица чувствительности, рассчитанная с применением Qk.
Изложенная методика реализована с помощью оригинальной компьютерной программы [4], позволяющей решать как прямую, так и обратную задачи теплопроводности и восстанавливать нестационарный тепловой поток, меняющийся по произвольному закону с учетом влияния шумов в измерениях.
Были проведены экспериментальные исследования по восстановлению нестационарных тепловых потоков с помощью различных конструкций датчиков как описанных в литературе [6], так и разработанных нами. При этом варьировали: тепловые потоки (10 — 104 Вт/м2); законы их изменения (периодический, импульсный, П-образный, треугольный и др.); температуры корпуса (tK = const, tK = var); значения конта
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.