РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2006, том 51, М 11, с. 1368-1374
__ __ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
И РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМАЯ ХАОТИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ ©2006 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 20.02.2004 г.
Рассмотрены системы связанных генераторов Ван дер Поля при их емкостной и резистивной взаимных связях. Представлены новые математические модели, позволяющие осуществить возбуждение хаотических колебаний при использовании алгоритма параметрической хаотизации в системах, содержащих два генератора. Приведены результаты численного анализа хаотических режимов работы. Исследовано изменение хаотических движений в связанной системе при появлении асимметрии во взаимной связи, а также при использовании запаздывающего аргумента в алгоритме параметрической хаотизации.
ВВЕДЕНИЕ
Связанные генераторы Ван дер Поля являются классическим примером сложной автоколебательной системы, обладающей регулярной динамикой. Эта система достаточно хорошо изучена при различных видах связи [1, 2], в том числе и при параметрическом воздействии внешней силы [1]. Результаты исследований находят широкое практическое применение [3].
В связи с интенсивным изучением в последнее время различных автоколебательных систем (в том числе и связанных), обладающих хаотической динамикой [4—6], представляет интерес анализ возможности хаотизации колебаний в классической системе связанных генераторов Ван дер Поля. Данная работа посвящена этому вопросу. В ней рассматривается новый способ возбуждения хаотических движений в системе связанных генераторов Ван дер Поля, обеспечиваемый путем использования хаотизирующего алгоритма, названного алгоритмом параметрической хаотизации (АПХ). Численными методами исследуются хаотические колебания при резистивной и емкостной связях парциальных подсистем. Рассматривается влияние запаздывающего аргумента в алгоритме параметрической хаотизации автоколебаний.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Уравнения, описывающие несколько генераторов Ван дер Поля, находящихся при параметрическом воздействии сигнала/(?), при их емкостной и резистивной взаимных связях, имеют вид [1]
= X № + X м*/^' (}
},} *' ,/ * I
где р., параметры превышения над порогом генерации, (О, - резонансные частоты колебательных контуров, ур 5(1 - коэффициенты взаимной емкостной и резистивной связи, F,\f(t), х,] - функции, определяющие нелинейные свойства парциальных подсистем.
Ограничиваясь рассмотрением двух связанных генераторов и конкретизируя функции х,\
выражением
Ff[/(f). = 0 + af(t)-a,x2),
где о, а,; - постоянные, запишем отдельно уравнения для случаев емкостной и резистивной связи. При осуществлении емкостной связи получим
d2xxldt2- [1,(1 + of\t) - axx\)dxjdt + (£)\хх = = 721*2-
(2)
d2x2/dt2 ~\i2{ i + of(t)-a2x2)dx2/dt + (o2x2 = = Yl2*l.
а при резистивной связи -
d2xl/dt2 - ^(1 + o/(i) - a^x^dxjdt + to I*! = = br,dx1/dt
d2x2/dt - |i2( 1 + of(t) - a2x2)dx2/dt + m2x2 = = bndx\/dt.
В известных случаях параметрического воздействия функция f{t) представлялась в виде гармонического сигнала. При этом реализовывался регулярный режим синхронизации, "в котором разность частот генераторов в точности равна частоте внешней силы" []]. Учитывая результаты работ [7, 8], в которых показана возможность хаотизации регулярных колебаний в связанных системах при использовании автокоммутации, пред-
ставляется возможным использование подобной щоммутации для параметрической хаотизации колебаний в связанных уравнениях Ван дер Поля. При параметрическом воздействии обеспечение хаотического режима работы возможно с помощью автокоммутации, описываемой алгоритмом параметрической хаотизации. Этот алгоритм применительно к уравнениям (2) и (3) можно представить в виде
fit)
azi, если x¡ > х2, I bz2, если Jtj < 3?2,
(4)
где а, Ь - постоянные коэффициенты. При этом значения переменных и определяются линейными уравнениями фильтрующих элементов:
,2 , ,.2
dzx/dt+(Qx/Qx)dzx/dt + QUx = S«^, d2z2/dt2 + (a2/Q2)dz2/dt + Q2z2 = 802хх.
(5)
-1
(а)
Здесь - резонансные частоты фильтров,
Qi> Qi ~ добротности фильтров, 801, 802 - постоянные коэффициенты.
Уравнения (2), (4), (5) определяют математическую модель двух генераторов Ван дер Поля при их емкостной взаимной связи, когда хаотиза-ция обеспечивается благодаря наличию АПХ. Аналогично уравнения (3)-(5) определяют математическую модель параметрической хаотизации колебаний двух резистивно связанных генераторов Ван дер Поля. В обоих случаях условие (4) задает скачкообразное изменение функции fit). Это, естественно, способствует существенному повышению нелинейности возбуждающихся автоколебаний.
Численный анализ обеих моделей проводился методом Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования, равном 0.02. Неизменяемые параметры при расчете хаотических режимов определяются следующими значениями: = 0.9, СО2 = 1.2, а, = «2 = 1, Qx = Q2 = 100, а = Ъ = 1, 801 = 50. = 0.4,
= 0.1, Q2 = 0-2.
2. ЕМКОСТНАЯ СВЯЗЬ
Влияние коэффициента, определяющего интенсивность параметрического воздействия, а также параметров превышения над порогом генерации на режимы работы двух генераторов Ван дер Поля при их емкостной связи показано на рис. I. Представлены бифуркационные диаграммы изменения максимальных значений колебательного процесса jct(i) в зависимости от о, когда ц, = = = 0.35 (рис. 1а), и в зависимости от |i (при |i = = |i2), когда а = 1 (рис. 16); при этом у21 = у12 = 1.
Как видно (рис. 1а), при увеличении G возникает модуляция колебаний. При а > 0.8 разброс точек становится нерегулярным, что свидетель-
-1
0.3 0.6
(б)
0.9 о
0.2
0.4
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебаний лс^) в зависимости от коэффициента, характеризующего интенсивность параметрического воздействия (а), и от параметра превышения над порогом генерации (б) при наличии симметричной взаимной емкостной связи.
ствует о хаотизации движений. При увеличении параметра ц сначала (в интервале ц е [0, 0.025]) происходит резкое увеличение амплитуды колебаний (рис. 16), что вполне естественно. Затем возникает модуляция автоколебаний, характеризующаяся сложным, но закономерным разбросом точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса Разброс точек становится нерегулярным при |а > 0.325.
На рис. 2 приведены характерные реализации колебательного процесса, соответствующего значению = 0.3511421 на диаграмме рис. 16. На рис. За представлен фазовый портрет, соответствующий реализации рис. 2а, а на рис. 36 - движение изображающей точки в проекции на плоскость х2]. Видно, что колебания нерегулярны. При этом хаотические колебательные процессы д:^) и х2(1) синхронизированы.
На рис. 4 представлен спектр мощности 5 колебательного процесса я, (г), рассчитанный при тех же параметрах, что и рис. 2, 3 (кривая 7), а для сравнения приведен спектр мощности, рассчитанный без алгоритма параметрической хаотизации при а = 0 (кривая 2). Спектр мощности хаотизиро-ванных колебаний является непрерывным, занимает широкую полосу частот и отображает хорошее перемешивание фазовых траекторий.
-6
Рис. 2. Фрагменты реализаций колебаний Х\(1) (а, б) при емкостной связи генераторов. Начальные условия определяются значениями переменных при ц = = 0.3511421 на рис. 16.
Отметим особенность взаимной синхронизации генераторов при емкостной связи, проявляющуюся в том, что частота синхронных колебаний значительно ниже частот парциальных подсистем при их автономной работе. Частота основной составляющей спектра синхронных колебаний (см. рис. 4, кривая 2) равна со = 0.27, тогда как частоты автономных колебаний парциальных
йх\1ск
(а)
*2
(б)
-4
подсистем практически не отличаются от резонансных частот колебательных контуров ^ и
При взаимной синхронизации возрастает нелинейность колебательного процесса. В соответствии с рис. 4 уровень третьей гармоники регулярных синхронных колебаний лишь на 17.5 дБ ниже основной гармонической составляющей. При автономной работе парциальных подсистем, как показывают расчеты, уровень третьей гармоники в первом генераторе ниже основной на 24 дБ, а во втором - на 27 дБ.
Отмеченная особенность взаимной синхронизации подсистем при емкостной их связи проявляется, по-видимому, в формировании хаоса с помощью алгоритма параметрической хаотизации, в частности, в выборе оптимальных частот параметрического воздействия.
На рис. 5 показано изменение диаграммы, представленной на рис. 16, при создании асимметрии взаимной емкостной связи. В обоих случаях у21 = 1, а у12 < 1: 0.9 (рис. 5а), 0.8 (рис. 56); остальные параметры те же, что и в случае рис. 16.
Как видно, асимметрия связи существенно изменяет колебательные процессы при различных значениях параметра превышения над порогом генерации. При у12 = 0.9 (рис. 5а) нерегулярный разброс точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса я^СО, возникает при ц > 0.32. При у12 = 0.8 (рис. 56) по мере увеличения ц, при (а = 0.18, наблюдается бифуркация перехода от однотактных колебаний к трехтактным, а затем (при ц = 0.4) реализуется переход к хаосу.
Результаты исследований свидетельствуют о возможности возбуждения хаотических движений в системе двух генераторов Ван дер Поля при их емкостной связи, если осуществлять воздействие при использовании алгоритма параметрической хаотизации. Хаос возбуждается как при симметричной емкостной связи, так и при ее асимметрии.
-5
*1
Рис. 3. Фазовый портрет (а) и проекция траектории движения изображающей точки (б) в интервале времени I е [0; 600].
Рис. 4. Спектр мощности колебательного процесса х\(1) при емкостной связи о = 1 (/) и 0 (2).
ад
(а)
J
(б)
0.2
0.4
Рис. 5. Изменение максимальных значений колебаний в зависимости от параметра превышения над порогом генерации при асимметричной взаимной емкостной связи: У12 = 0.9 (а) и 0.8 (б).
[X!]
6
(а)
-3
[Х\-Х2] 0 -3
(б)
-6
•" У-': '••?;■■■;!;.
0.1
0.4
0.7
Рис. 6. Изменение максимальных значений колебаний (а) и максимальных значений разности колебаний парциальных подсистем (б) в зависимости от параметра превышения над порогом генерации пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.