научная статья по теме ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ Механика

Текст научной статьи на тему «ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008

УДК 534.1

© 2008 г. Л.Д. АКУЛЕНКО, С.В. НЕСТЕРОВ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МОДУЛЯЦИИ

Исследуются параметрические колебания линейных систем с одной степенью свободы при больших величинах коэффициента модуляции. С помощью классических аналитических методов возмущений Ляпунова-Пуанкаре и оригинального численно-аналитического метода ускоренной сходимости построены периодические решения и соответствующие собственные значения. Определены границы областей устойчивости и неустойчивости. Для большей наглядности основные свойства параметрических колебаний систем с сингулярным характером зависимости возмущения от коэффициента модуляции изложены на конкретных моделях. Рассмотрены периодические краевые задачи для модифицированного уравнения Матье и уравнения Кочина, моделирующего крутильные колебания упругих коленчатых валов. Установлены кардинальные различия слабо и существенно возмущенных периодических движений как для низших, так и произвольных мод колебаний. Описаны необычные свойства границ в области определяющих параметров системы.

1. Введение. Исследованию параметрических колебаний и параметрической неустойчивости посвящено огромное количество статей и монографий (см., например, [1-12] и цитированную литературу). Практически все исследования базируются на применении классической теории возмущений, предполагающей малость глубины модуляции. Это существенное ограничение модели колебаний не позволяет судить о характере областей параметрической неустойчивости в целом, которая представляет реальный интерес в теоретическом и прикладном аспектах. Исключение составляют фундаментальные монографии [7, 8], в которых проведено детальное исследование уравнения Матье и уравнения Мейснера для больших значений коэффициента модуляции.

В литературе [2, 7, 8] описан метод бесконечных определителей, позволяющий находить границы областей параметрической неустойчивости (параметрические резонансы) для произвольных глубин модуляции. Однако этот метод является чрезвычайно громоздким и для своей численной реализации требует большого предварительного анализа. В конечном итоге он сводится к алгебраической проблеме собственных значений и решению трансцендентных уравнений с помощью методов возмущений. Оценка точности получаемых результатов весьма затруднена.

Известная теория Флоке [4, 6, 9] устанавливает принципиальную возможность сведения систем с периодическими коэффициентами к системам с постоянными коэффициентами. Однако в вычислительном аспекте теория Флоке неэффективна. Она реально дает возможность получить какие-либо результаты также только в рамках теории возмущений. Общие процедуры продолжения по параметрам не разработаны. Ситуация аналогична случаю известной "теоремы о среднем" в интегральном исчислении.

Ниже излагаются и сопоставляются результаты, полученные на основе аналитических методов Ляпунова-Пуанкаре [4] и оригинального численно-аналитического метода ускоренной сходимости [12], разработанного авторами. Алгоритм позволяет с требуе-

мой высокой точностью построить периодические решения и границы областей параметрической неустойчивости в широком (предельном) диапазоне изменения параметра модуляции. Для большей наглядности излагаются решения задачи модифицированного уравнения Матье (уравнения Хилла [12]) и задачи Кочина [2, 12].

2. Параметрические колебания систем типа Хилла. Постановка задачи заключается в определении периодических решений и границ зон параметрической неустойчивости для модифицированного уравнения Матье

и + [X - q(г, е)]и = 0, и = и(г,^, е), |г|

,, , есо&2кг , , 1 (2.1)

X , q(г, е) = ---—, е < 1

у 1+есо&2кг

Заметим, что при малых значениях задаваемого параметра е, |е| ! 1, уравнение (2.1) отличается от классического уравнения Матье [3, 4, 6-12] слагаемыми порядка е2.

Ставится задача определения границ значений параметра X(e), отвечающих периодическим колебаниям системы, и устанавливаются области параметрической неустойчивости. Для этого нужно построить периодические решения уравнения (2.1), т.е. решения краевой задачи, удовлетворяющие смешанным краевым условиям при г = ±1 (условиям периодичности):

и(—1) = и( 1), и' (-1) = и' (1) (2.2)

Зависимость от X, е не указывается для краткости.

Поскольку функция q(г, е) является четной относительно г = 0, т.е. q(-г, е) = q(г, е), краевые условия периодичности (2.2) эквивалентны условиям первого и второго рода на половинном интервале аргумента 0 < г < 1. Условиям первого рода

и( 0) = и( 1) = 0 (2.3)

отвечают значения (числа) X" и нечетные функции и5(г). Соответственно условиям второго рода

и' (0) = и' (1) = 0 (2.4)

отвечают значения (числа) Xе и четные (относительно г = 0) функции ис(г).

Итак, задача определения областей параметрической неустойчивости формулируется следующим образом. Требуется определить те значения параметра Х(е), при которых существуют нетривиальные решения и (г, е) уравнения (2.1), удовлетворяющие краевым условиям (2.3) (нечетные функции) или (2.4) (четные функции).

Таким образом, задача нахождения границ областей параметрической неустойчивости в случае четной по г функции q(г, е) приводится к двум задачам Штурма-Лиувил-ля (2.1), (2.3) и (2.1), (2.4), для решения которых используется метод ускоренной сходимости [11, 12]. Естественно, искомый параметр X есть функция другого параметра е, который принято называть глубиной (или коэффициентом) модуляции. Из (2.1) следует с очевидностью, что значения параметра е подчинены ограничениям 0 < |е| < 1, причем достаточно ограничиться интервалом 0 < е < 1.

На начальном этапе исследований применим метод возмущений. Прежде чем переходить к результатам вычисления собственных значений (чисел) и определения границ областей параметрической неустойчивости при произвольной глубине модуляции е, приведем ряд формул, полученных на основе классической теории возмущений для |е| ! 1.

Собственные значения (числа) X"! и X2 в случае краевых условий (2.3) имеют приближенное представление

,1 2 e (1 1 1 2 3Ч

= п ----1 +-2 e + О (e )

2 V2 32п2^

Л ! Л (2'5)

,1 .2 I 1 1 1 2 4Ч

^2 = 4п2-1 U-Ц1 e2 + О (e4) V4 48 nV

2 ' " 48 п2

Отметим, что = (пп)2 + O(en) для произвольного п = 1, 2, ....

Собственным значениям (2.5) соответствуют нечетные собственные функции

и1 = sin п t--^--sin3ní + O (e2)

16п2

(2.6)

se 2 u2 = sin2пt---sin4nt + O(e )

2 24п2

Собственные значения (числа) Х°п (e) при п = 0, 1, 2 в случае краевых условий (2.4) аппроксимируются выражениями

1 ^ . Л_ ^ -2 4п2

= 1e+ О(e)

-c 2 e 11 1 1 2 3Ч

= п +2 - 12 + 32n2je + 0 (e) (2-7)

^2 = 4п2-1|-JL 1 e2 + О (e3) V4 48п21

Как и в случае Xfn (2.5), справедливо представление Xn (e) = (nn)2 + O(en). Собственным значениям (2.7) соответствуют четные собственные функции

u0 = 1—e-cos2n t + O (e3) 4 п2

u1 = cos nt--2C0s3 nt + O (e2) (2.8)

16п

uC = cos2n t + —f 1 — 1- cos4n tl e + O (e2) 8п2v 3 )

Формулы (2.5)-(2.8) в дальнейшем используются для сравнения с высокоточными вычислениями по методу ускоренной сходимости.

Используя для решения краевых задач (2.1), (2.3) и (2.1), (2.4) метод ускоренной сходимости [11, 12], были численно получены низшие собственные значения. Относительная погрешность вычисления " не превосходит 10-6. Проведено сравнение результатов, полученных по формулам теории возмущений и по методу ускоренной сходимости. Формулы (2.5)-(2.8) имеют определенное теоретическое значение. Они также используются при применении процедуры продолжения по параметру e для численного решения задачи с помощью численно-аналитического алгоритма как начальное приближение искомых значений c (e), (n = 0, 1, 2, ...).

Погрешность формул, полученных по теории возмущений, быстро возрастает с увеличением глубины модуляции e. На основе сравнения с методом ускоренной сходимости

можно утверждать, что при малой глубине модуляции е < 0.2 формулы, полученные по теории возмущений, приводят при п = 0, 1, 2, 3 к вполне удовлетворительным результатам. Аналогично может быть проведено сравнение для остальных найденных собственных значений.

Изложим весьма кратко процедуру численно-аналитического исследования задачи. Заметим, что в случае малых е в линейном по е приближении уравнение (2.1) совпадает с каноническим уравнением Матье. Однако учет последующих степеней е даже при сравнительно малых е приводит к существенному отличию в границах зон неустойчивости. По-видимому, не представляет значительного интереса построение этих границ с помощью теории возмущений. Приведем графическое изображение собственных значений (чисел) X0, X'1'е в зависимости от параметра е (см. фиг. 1). В представленных результатах величина е изменялась от е = 0 до е = 0.99. Таким образом, коэффициент уравнения мог варьироваться на два порядка (от 1 до 100).

Графики собственных значений Xsn¡е (е), выходящие при е = 0 из одной точки (пп)2, представляют собой границы параметрической неустойчивости. Характерной особенностью этих диаграмм является то, что единственная кривая X0 (е), соответствующая нулевому собственному числу при е = 0, асимптотически приближается к X0 = -«> при

е ^ 1; при этом XI < 0, т.е. XI всегда отрицательно. Далее приведена зависимость X! (е). Этому собственному числу соответствует нечетная собственная функция. Значение X! ^ —> при е ^ 1, находясь правее и "выше" кривой X0 (е). Собственное значение

X! (е) ведет себя совершенно иначе. При е ^ 1 величина X! стремится к п2, как показывают численные расчеты. Этот результат может быть получен с помощью достаточно громоздких аналитических вычислений, связанных с построением обобщенного (при

е ^ 1) решения. Между X"1 (е) и X! (е) находится область неустойчивости.

При п = 2 левее имеем кривую Xе (е), а правее X2 (е). Детальное исследование поведения этих кривых при е ^ 1 на основе имеющихся вычислительных данных свидетель-

3 Механика твердого тела, № 3

65

ствует, что X2's ^ п2, причем Xj < X2. При n = 3 опять левее имеем кривую X3 (e), а

X3 (e) - правее. Общее правило гласит, что при нечетных n = 2k + 1 левее всегда

X2k +1 (e), а правее X2k + j (e). Для ч

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком