МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 531.36:534.1
© 2013 г. Л. Д. АКУЛЕНКО, С. В. НЕСТЕРОВ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ
МОДУЛЯЦИИ
Исследуются собственные частоты и формы параметрических колебаний механической системы на примере маятника переменной длины при сколь угодно малых до предельно допустимых значений коэффициента модуляции. Аналитическими и численными методами построены и изучены границы резонансных зон первых четырех мод колебаний, установлены основные качественные свойства высших мод. Доказано полное вырождение мод с четными номерами, т.е. совпадение частот симметричных и несимметричных форм собственных колебаний для допустимых значений параметра модуляции. Построена глобальная картина границ областей устойчивости нижнего положения равновесия и показано существенное отличие от диаграмм Айнса—Стретта. Установлены специфические свойства собственных форм колебаний.
Ключевые слова: маятник, переменная длина, параметрические колебания, коэффициент модуляции, области резонанса, собственные частоты и формы.
1. Введение При наличии огромного числа публикаций, посвященных проблемам неустойчивости состояний равновесия (см. [1 — 13] и библиографию), исследования параметрического возбуждения колебаний механических систем, в том числе классические, часто ограничиваются теоретическим или численным анализом предельных случаев асимптотически малых вариаций параметров системы. Исключение представляют исследования колебаний систем, описываемых уравнениями Матье и Мейснера [14, 15]. В качестве математического аппарата используются методы малого параметра (Ляпунова—Пуанкаре [2—7]), асимптотические методы усреднения (Крылова—Бого-любова—Митропольского [8]) и другие. Известные численные исследования на основе теории Ляпунова [3—6], методов математической физики [11—16], функционального анализа и вариационных подходов Бубнова—Галеркина—Ритца [12, 14, 15] также опираются на методы возмущений.
Для приложений, однако, весьма важны решения проблем параметрической устойчивости и неустойчивости положений равновесия при заданных конкретных (числовых), а не сколь угодно (т.е. асимптотически) малых, значениях коэффициента модуляции. Эти решения требуют разработки эффективных численно-аналитических методик, которые могут быть реализованы с помощью современного программного обеспечения для всех допустимых значений параметров. Быстро сходящийся метод ускоренной сходимости в функциональном пространстве в сочетании с процедурой продолжения по параметрам позволяет исследовать стандартные и обобщенные параметрические колебания в широкой и предельно допустимой области параметров различных систем [17—19]. Такие результаты в литературе неизвестны.
Ниже с целью тестирования метода применяется разработанный авторами ранее [17, 18] подход к исследованию периодических краевых задач на собственные значения и функции, возникающих при анализе устойчивости нижнего положения равновесия плоского математического маятника переменной длины. Методика применима к задачам параметрического возбуждения колебаний упругих коленчатых валов, трубопроводов, элементов конструкций, чувствительных элементов гироскопов (стержней, оболочек, струн), стоячих волн жидкости в сосудах, квантомеханических генераторов и многих других объектов.
2. Постановка периодической краевой задачи. Считается для простоты, что голоном-ная механическая система реализуется с помощью нерастяжимой нити (невесомого стержня) и твердого тела малых линейных размеров, т.е. точечной массы, которая заданным (периодическим) образом перемещается вдоль оси (сход со связи не допускается). Предполагается, что длина математического маятника изменяется в значительных допустимых пределах. Требуется построить периодические режимы малых колебаний, т.е. определить границы областей неустойчивости (резонансы) и устойчивости (по линейному приближению). На основе решения самосопряженных периодических краевых задач на собственные значения и функции [16—18] необходимо построить высокоточные диаграммы зависимости собственных значений системы от коэффициента модуляции в допустимых пределах его изменения, аналогичные диаграммам Айнса-Стретта и Мейснера [14, 15]. Решение такой задачи отсутствует в литературе.
Для однозначной трактовки переменных и параметров системы построим математическую модель маятника переменной длины € с неподвижной осью колебаний или вращений. Декартовы координаты точечной массы m (m = 1) описываются выражениями
х = í sin ф, y = -í cos ф (mod 2п)
í = í(t) = í0(1 - e cos2Qt), 0 < e < 1 (
где ф — угол отклонения оси маятника относительно вертикали. В (2.1) для простоты принято гармоническое во времени t изменение длины €, однако коэффициент модуляции e не предполагается малым. При перемещениях массы расстояние € до оси варьируется в пределах 10 (1 + e), т.е. может принимать достаточно малые значения при фиксированной величине €0 и e ^ 1, а также сколь угодно большие при í 0 ^ да и фиксированном коэффициенте модуляции e < 1. Параметры €0 — среднее расстояние и 2Q — частота далее исключаются посредством стандартной процедуры перехода к безразмерной задаче.
С помощью выражений (2.1) представим потенциальную энергию U и выпишем координаты скорости движения х, y массы, на основе которых вычислим кинетическую энергию T. Имеем необходимые выражения
U (ф, t) = —g í(t)cos ф
х = íф cos ф + í sin ф, y = íф sin ф-í cos ф (2.2)
T = (í 2(t)tp2 + í 2(t) )/2, í = 2eí 0Q sin 2Qt
Здесь g — ускорение сил тяготения. Стандартные выкладки позволяют получить уравнение движения Лагранжа для обобщенной координаты ф:
i2ф + 2iiф + gí sin ф = 0, i = i(t) (2.3)
Используя это уравнение, а также уравнения Ньютона, вычислим относительную величину силы реакции
N = gcosф-í + í(p2, N/m ^ N, í = 4eí0Q2cos2Qt
Если маятник подвешен на гибкой нити, то для сохранения знака силы реакции N > 0 во избежание схода со связи требуется ввести существенные ограничения на величины £, ф и другие. В частности, при ф = ф = 0 натяжение N нити положительно, если 4е£ о^ < g, т.е. при достаточно малой силе инерции переносного ускорения. Центробежные силы инерции, согласно (2.3), способствуют натяжению, что естественно.
Исследуем устойчивость положения равновесия ф = ф = 0 системы (2.3) в линейном приближении. Для этого отбросим нелинейные (кубические) по ф члены, разделим уравнение (2.3) на величину £ > 0 и введем новую неизвестную переменную и согласно соотношениям, эквивалентным замене Остроградского
и = ДОф, ф>£2(0 = йЩ - и'Щ Тогда получим уравнение без кориолисова слагаемого в (2.3) вида
й + £- £(0)и = 0 (2.4)
в котором имеется три размерных параметра g, £ и безразмерный коэффициент модуляции е. Посредством замен, приводящих к безразмерным параметру ^ и аргументу 0, представим уравнение (2.4) в виде
,, и- 4еп2ео8 2п9 „ и + —-и = 0
1 -еео8 2л9
2 (2.5)
> 0, 9 = —; 0 < е < 1
£ 0—2 п
в котором штрихами обозначены производные по 0. Уравнение параметрических колебаний (2.5) содержит только два безразмерных параметра ^ и е, имеющих смысл квадрата частоты и коэффициента возбуждения, соответственно. Аргумент 0 есть фаза параметрического возбуждения, период которого равен единице. Уравнение (2.5) качественно близко уравнению Н.Е. Кочина [2, 3], в котором отсутствует второе слагаемое в числителе [18, 19].
Согласно общей теории [2—7, 14—18], требуется найти значения параметра ц = ц(е), при которых уравнение (2.5) допускает 2-периодические решения. Кривые ц(е) ограничивают резонансные зоны, внутри которых имеет место экспоненциальная неустойчивость положения равновесия и малых колебаний. Вне этих зон выполняются условия устойчивости по первому приближению.
Исследование задачи об устойчивости положения равновесия маятника приведено к форме 2-периодической краевой задачи на собственные значения и функции, например, в виде уравнения (2.5) и краевых условий [17—19]:
и(0.
ор, ¡э ууаапъпут п красоыл у^л^ауш. [1 / —уу\.
>0 + 2) = и(9о), и '(00 + 2) = и '(Во), -1 <90 < 1 (2.6)
где 90 — произвольная величина, в частности, 90 =-1. Условия (2.6) эквивалентны следующим [17—19]:
и(0) = и(1) = 0, ц = ц5 (е), и = и" (0, е) (2.7)
и '(0) = и '(1) = 0, ц = цс(е), и = ис(0, е) (2.8)
Соотношениям (2.7) отвечают нечетные (несимметричные) решения (собственные значения и функции), а (2.8) — четные (симметричные). Таким образом, требуется построить решения двух самосопряженных краевых задач на собственные значения и
функции с условиями первого и второго рода на концах интервала, т.е. задачи типа Штурма—Лиувилля [14—19]. Отметим, что приведенная постановка нестандартна, поскольку параметр модуляции e не мал и входит в коэффициенты уравнений (2.5) сингулярным образом: коэффициенты становятся неограниченными для 9 = 0, ±1 при e ^ 1. Эффективное численно-аналитическое решение требует, как отмечалось, разработки высокоточных быстросходящихся алгоритмов [17, 18] и процедур двусторонних высокоточных оценок искомых величин, что принципиально отличается от других подходов [17—19].
В литературе, как правило, приводятся сомнительные рутинные выкладки на основе процедуры разложения решения по степеням малого параметра возбуждения без обоснования и оценки точности, пригодные при e ^ 0. При этом точность выполнения условий периодичности никак не контролируется.
Для традиционных постановок [2—7] величина e полагается малой, а слагаемое 2ii<.р в уравнении (2.3) отбрасывается необоснованно. В итоге специфические свойства количественного и качественного характера, присущие механической задаче, игнорируются. Обычно ограничиваются уравнением Матье, для которого получены фундаментальные результаты. В классических исследованиях для больших значений коэффициента модуляции e ~ 102 и номеров мод колебаний построены частотные диаграммы Айн-са—Стретта и разработан обстоятельный математический аппарат [2—8, 14, 15].
3. Приближенное стандартное аналитическое исследование краевых задач посредством метода Ляпунова—Пуанкаре. Существенные различия решений для исходного уравнения (2.5) и уравнения Матье про
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.