ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2013, том 114, № 6, с. 998-1001
15-я МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ "ОПТИКА ЛАЗЕРОВ" 2012
УДК 535
ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА В СРЕДЕ С ЛОРЕНЦЕВОЙ ДИСПЕРСИЕЙ
© 2013 г. Н. Н. Розанов
Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова, 199034 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 197101 Санкт-Петербург, Россия E-mail: nrosanov@yahoo.com Поступила в редакцию 21.11.2012 г.
Проведен анализ преобразования частоты при параметрическом эффекте Допплера, возникающем при отражении слабого пробного излучения от неоднородности показателя преломления, наводимой в нелинейной среде интенсивным излучением накачки. При этом частотная дисперсия среды принята отвечающей модели единственного лоренцева осциллятора. Показано, что наличие резонанса и запрещенной для распространения спектральной зоны может приводить к сложному эффекту Допплера, когда при монохроматическом падающем излучении одной частоты отраженное излучение состоит из двух или трех монохроматических волн, одна из которых имеет обращенный волновой фронт.
DOI: 10.7868/S0030403413060184
ВВЕДЕНИЕ
Параметрический эффект Допплера [1] может быть реализован при отражении слабого пробного излучения от неоднородности, наведенной в нелинейной среде импульсами лазерного излучения, распространяющегося в такой среде [2—8]; аналогии с астрофизическими черными дырами обсуждались в [9, 10]. Характер этого эффекта существенно определяется видом частотной дисперсии среды [11]. Ранее в [12—17] рассматривалась среда с плазменным видом дисперсии, отвечающим отклику свободных носителей (электронов). В обычных оптических средах (диэлектрики) носители связаны, и вид дисперсии существенно меняется. В настоящей работе рассматривается параметрический эффект Допплера в прозрачной среде с лоренцевым типом частотной дисперсии, отвечающим связанным носителям — идентичным осцилляторам среды (однородное ушире-ние). Здесь мы ограничимся анализом частотных соотношений в случае противоположного направления падающей и отраженной плоских однородных волн.
несущей частоте излучения накачки, а ю■, ^ =
= ±—n(Юj) и = л(юу) — частоты, волновые числа и показатели преломления плоских волн, суперпозиция которых представляет падающее и отраженное пробное излучение. В пределах (движущейся) неоднородности эти величины не постоянны, а зависят от бегущей координаты д = г - VI, но имеются следующие интегралы движения [7, 8]:
Vkj - юj = Cj = const.
(1)
Вне неоднородности частоты, волновые числа и показатели преломления парциальных волн принимают постоянные значения. Будем рассматривать далее более простой вариант противоположных направлений движения падающей (продольная компонента волнового вектора к1 > 0, волна распространяется в положительном направлении оси ¿) и отраженных (к2 < 0, распространение в отрицательном направлении оси ¿) волн. Тогда частоты этих волн вне неоднородности связаны соотношениями
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Далее мы будем существенно использовать подход, результаты и обозначения работ [7, 8]. Пусть V — скорость движения наведенной импульсами накачки неоднородности показателя преломления неизменной формы (например, со-литон), которая для одиночного лазерного импульса накачки близка к групповой скорости на
ю.
1 - Vn(o^l)
= ±ю2
1 + Vn^2)
(2)
Здесь с — скорость света в вакууме. Верхний знак (+) в правой части (2) выбирается при досве-товой скорости движения неоднородности
-С < V < С,
(3)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
999
«/«0
(а)
Vp1Л
ю/ю0
(б)
ю/ю0
(в)
ю/ю0
Рис. 1. Частотные зависимости показателя преломления (а), фазовой скорости (б) и групповой скорости (в); область между двумя вертикальными штриховыми прямыми отвечает зоне непрозрачности.
1
1
1
0
1
0
1
0
1
а нижний (—) — при сверхсветовой скорости [8]
V <-— или V >-. (4)
п2 п1
Среду считаем немагнитной (магнитная проницаемость ц = 1), так что показатель преломления п(ш) = л/£(ю), где е — показатель преломления. Отметим здесь особое (изолированное) решение (2) вида
ю = = ю
(0)
(5)
Л0)
где ю — частота, при которой диэлектрическая проницаемость и показатель преломления обращаются в 0, то есть е(ш(0)) = 0. Это решение имеется при любой скорости движения неоднородности V и при любом направлении распространения парциальных волн. При такой частоте падающей волны допплеровский сдвиг частоты отсутствует. При учете поглощения в среде, описываемого комплексной диэлектрической проницаемостью,
(0)
характеристическая частота ш , определяемая
тем же уравнением е(ш(0)) = 0, также оказывается комплексной со знаком мнимой части, отвечающим временному убыванию амплитуды поля. Ряд свойств излучения с комплексными частотами анализировался в [18—21]. Отметим здесь, что отсутствие в указанных условиях допплеровского сдвига частоты означает подавление уширения спектра отраженного излучения, имеющего место в обычных условиях из-за отражения волн на различных движущихся неоднородностях, например на акустических колебаниях среды (фо-нонах). Этот эффект не связан с конкретной моделью дисперсии среды и сохраняется даже при наличии неоднородного уширения.
При фиксации вида частотной дисперсии, т.е. зависимости в(ш), соотношение (2) позволяет найти частоты отраженных волн в зависимости от скорости движения неоднородности V и частоты падающего излучения ш1. Заметим, что уравнение (2) сохраняет вид при замене V ^ -V, ш1 о ш2. Поэтому падающая и отраженная волны меняются местами при изменении направления движения неоднородности. Это обстоятельство
позволяет без ограничения общности считать в дальнейшем V < 0.
ЛОРЕНЦЕВА ДИСПЕРСИЯ
Далее будем считать среду прозрачной (поглощение отсутствует). Среду можно моделировать единственным лоренцевым осциллятором с резонансной частотой ш0, если рассматриваемый спектральный диапазон не включает других резо-нансов. Тогда диэлектрическая проницаемость среды аппроксимируется выражением вида
в(ю) = в с
1 +
(а/в 0) 1 - ю/ ю0
(6)
Здесь 8 0 — фоновое (нерезонансное) значение диэлектрической проницаемости, а постоянная а пропорциональна силе осциллятора. Далее мы не будем оговаривать указанные выше условия применимости (6), формально распространяя это выражение на весь спектральный диапазон. При такой интерпретации постоянная а связана со статическим значением диэлектрической проницаемости 8 0 соотношением а = 8(0) - 80.
Распространение однородных волн возможно только в частотном интервале, в котором диэлектрическая проницаемость положительна, поэтому запрещенным является интервал
1 <_^<Ё(0). Ш0 80
(7)
Частотные зависимости показателя преломления «, фазовой скорости Vph = с/п и групповой
скорости Vgr = с[ й (ю п)/й ю]-1 показаны на рис. 1.
Для принятого вида частотной дисперсии соотношение между частотами встречных волн (2) описывается выражением
Д©1) = ±Л(©2),
(8)
1000
РОЗАНОВ
Ю2/Ю0
юсг/юо 1 е(0)/80
ю/ю0
Рис. 2. Функции Дю) (сплошные линии), Я (ю) (штриховые линии, досветовой режим) и - Я(ю) (пунктир, сверхсветовой режим) при фиксированной скорости движения неоднородности V < 0. Заштрихована область непрозрачности, в которой диэлектрическая проницаемость отрицательна.
где
Дф) = ф Я(ф) = ф
1 - +
с \ - - ф/ф0 _
-+^+^
1 - ф/ Ф0
(9)
и п0 = — фоновое значение показателя преломления (в отсутствие резонансных включений). Вид этих функций иллюстрирует рис. 2. Заштрихована область непрозрачности (7). Функция Дш) в области меньших частот монотонно возрастает от значения Д0) = 0 до бесконечности
при ш ^ ш0, а в области более высоких частот эта функция также монотонно возрастает с частотой с асимптотическим выходом на линейную зависимость в области высоких частот. Функция Я(ш) также обращается в 0 при ю = 0 и имеет максимум в низкочастотной области и минимум в высокочастотной области, тоже приближаясь к линейной зависимости при высоких частотах. В низкочастотной области эта функция повторно обращается в 0 при частоте
Фсг = ^0
1 -
а/в 0
Г
с
Vn
-1
0
(10)
Обратимся к анализу следующих из (8) и (9) частотных соотношений. Изолированное решение (5) (вне зависимости от скорости неоднородности) отвечает частотам
8(0)
8 0
(11)
Характеристическая частота, при которой подавляется спектральное уширение отраженного
е(0)/б0
®сг/ю0(
1 е(0)/80
©1/©0
Рис. 3. Соотношение между частотами встречных волн при фиксированной скорости движения неоднородности V < 0. Сплошные линии отвечают до-световому движению, пунктир — сверхсветовому движению, сопровождающемуся обращением волнового фронта волны. Заштрихована область непрозрачности.
излучения, согласно (10), оказывается вещественной ввиду пренебрежения слабым затуханием.
Тривиальное статическое решение ш1 = ш2 = 0 здесь интереса не представляет. Для нахождения других решений из уравнений (8) и (9) можно получить кубическое уравнение для определения частот отраженного излучения. Однако проще проиллюстрировать нахождение решения графически; такой подход легко обобщается и на случай произвольной зависимости п(ш) (см. также [5]). На рис. 2 показаны функции Дш), Я (ш) и - Я (ш), которые для принятого варианта V < 0 должны быть положительными. Пары частот (ш1, ш2) находятся как точки пересечения горизонтальных прямых с кривой Дш) (частота ш1) и кривой Я (ш) (частота ш2, досветовой режим) или - Я (ш) (частота ш2, сверхсветовой режим).
Построенное указанным образом соотношение между частотами встречных волн при скорости движения неоднородности V < 0 изображено на рис. 3. Наличие областей непрозрачности около резонанса приводит к появлению нескольких ветвей зависимости частоты отраженной волны от частоты падающей волны. Как видно из рис. 3, одной и той же частоте падающего излучения отвечают два или три значения частоты отраженного излучения (сложный эффект Допплера [11]). Соответственно отраженное излучение будет би-или трихроматическим, причем на одной из частот происходит обращение волнового фронта.
0
0
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
1001
Амплитуды этих волн при фиксированной амплитуде падающей волны не произволь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.