научная статья по теме ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РАСПАД НЕОБЫКНОВЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РАСПАД НЕОБЫКНОВЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 3, с. 286-293

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

УДК 533.9

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РАСПАД НЕОБЫКНОВЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ © 2015 г. В. Г. Дорофеенко, В. Б. Красовицкий*, В. А. Туриков**

Институт передовых исследований, Вена, Австрия * Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия ** Российский университет дружбы народов, Москва e-mail: krasovit@mail.ru Поступила в редакцию 22.04.2014 г. Окончательный вариант получен 03.07.2014 г.

Рассмотрена параметрическая неустойчивость необыкновенной электромагнитной волны в плазме, предварительно нагретой до релятивистской температуры. Получена и исследована автомодельная система нелинейных уравнений в полных производных, учитывающая "тепловую" массу электронов. Малые возмущения параметров нагретой плазмы проанализированы на основе дисперсионного уравнения, определяющего фазовые скорости быстрой и медленной необыкновенных волн в линейном приближении. В отличие от холодной плазмы зона непрозрачности в области частот, превышающих верхнегибридную частоту электронов, исчезает, и асимптоты обеих ветвей сближаются. Теоретический анализ системы нелинейных уравнений показал, что инкремент распадной неустойчивости растет с увеличением начальной температуры электронов плазмы. Этот результат на качественном уровне подтверждается выполненным в работе численным моделированием процесса нагрева плазмы инжектированным из вакуума лазерным импульсом.

DOI: 10.7868/80367292115030026

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние годы процесс взаимодействия мощных лазерных импульсов с плазмой интенсивно исследуется экспериментально и теоретически (см., например, обзор [1]). Такое взаимодействие имеет множество практических приложений от ядерной физики до медицины.

При взаимодействии лазерных импульсов ультрарелятивистской интенсивности с плазмой генерируется квазистатическое магнитное поле с индукцией свыше 100 МГс. Вблизи границы плотной плазмы образуется более разреженная плазма, к которой приложено сверхсильное магнитное поле. В этих условиях лазерная волна может распространяться в окрестностях электронного циклотронного и верхнегибридного резонансов, где присутствие сильного магнитного поля существенно изменяет картину взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой [2].

Неустойчивость холодной плазмы в поле внешней электромагнитной волны с постоянной амплитудой, распространяющейся под произвольным углом к магнитному полю, аналитически и численно исследована в работе [3]. Установлено, что оптимальные условия для нагрева электронов плазмы возникают при распространении лазерного импульса поперек магнитного поля. Обратное воздействие возбуждаемых коле-

баний на волну учтено в работах [4, 5], где получена и исследована самосогласованная система нелинейных уравнений, состоящая из уравнения огибающей электромагнитной волны и уравнения для потенциала в плазме. Показано, что в первоначально холодной плазме имеет место распад необыкновенной электромагнитной волны на две волны половинной частоты, причем эффективность процесса зависит от величины инкремента неустойчивости, определяемого самосогласованной системой линеаризованных уравнений и пропорционального амплитуде волны накачки [4]. На нелинейной стадии неустойчивости экспоненциальный рост амплитуды вторичной волны с половинной частотой сменяется обратным процессом возвращения энергии в первичную волну и возникновением нелинейных колебаний в плазме поперек внешнего магнитного поля [5].

Одним из перспективных направлений использования предварительно нагретой плазмы для реализации УТС является Z-пинч и сопряженный с ним лазер. Роль последнего предполагает дополнительный нагрев уже сформировавшегося плазменного шнура с последующей транспортировкой плазмы на термоядерную мишень [6]. Для эффективного преобразования энергии лазерной волны в энергию электронов

плазмы может быть использована распадная неустойчивость [4, 5]. В настоящей работе параметрический распад необыкновенной электромагнитной волны на две волны половинной частоты рассмотрен в плазме с релятивистской температурой электронов [7].

В разд. 2 система уравнений Максвелла и уравнений гидродинамики с градиентом давления сведена к самосогласованной системе автомодельных уравнений в полных производных, описывающей распространение нелинейной волны в нагретой плазме.

Дисперсионное уравнение, определяющее фазовую скорость волны в линейном приближении, получено в разд. 3. Показано, что в отличие от холодной плазмы [5] непрозрачность плазмы на частотах, превышающих верхнегибридную частоту, исчезает.

Вывод формулы для инкремента параметрической неустойчивости необыкновенной электромагнитной волны в нагретой плазме представлен в разд. 4.

Эффективность нагрева плазмы инжектированным из вакуума лазерным импульсом подтверждается выполненным в разд. 5 численным моделированием.

2. СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система гидродинамических уравнений плазмы с релятивистской температурой электронов имеет вид [7]

I+V. 11 ю <«,, ]=.

Ex -

(Ву + Bo) V .

| - V. |) ю (5) Р. ] =

= е

Е. +

(Ву + Во) х

Т А

п д.

г \

п

IУ У

(1)

дп + . ) = о, дt д/

где

Рх,. = т^ х., 2

о (5)

5 =

тс Т

с

У =

V

1 - V-

2

с

= £з(5)

К2(5)

п-1/2

электронов Т приводит к появлению в уравнениях (1) "тепловой" массы [7]

те/1 = тО (5) =

5 Т

т |1 + I, Т < тс2,

2 тс ) (2)

С 2 А (2)

2

1 +

т с

8Т2

Т > тс2.

При этом компоненты самосогласованного электромагнитного поля в формулах (1)

Е =-1 дА*

х с д ? '

В = дАх

Ву =17,

(3)

(Ах — векторный потенциал и Е. — продольное электростатическое поле) определяются системой уравнений

' 1 ^ - Л

^с2 дt2 д.2

Ах = 4пе nv х,

дЕ. . , ч

—- = 4пе (п - п0).

д.

(4)

Из уравнений (1) и (4), следуют интегралы

Е. = 4пепо (— о - -), (5)

О(5)Рх + -Ах + тюв ( - .о) = о, (6)

с

где . о — координата электрона с рх = о в отсутствие поля, Е. = Ах = о.

Будем искать решение в виде бегущей волны, считая все величины зависящими от безразмерной фазы

¥ = ю р

? ■

V

рИ J

В безразмерных переменных еА

А =■

тс

е = ,

ти рс

а = у I 1

в V.

и р

( о - .)

с

исходная система уравнений (1) и (4) упрощается к виду

а- = -£- £, с=-2Чва - 4

в2 -в2 -\\4Я I

где

т, V, р — масса, скорость и импульс электрона, п — плотность, с — скорость света, Во — внешнее поперечное магнитное поле, Кп (5) — функция Макдональда. Учет релятивистской температуры

а = 4Я ^ р-С'Ш'

Я = а2 + (р2 -1)(1 + 02),

0 = А - ОвС, Р = Vри /с,

Ов = юв/Ир,

рт = (Т / т^с 2)1/2 =[5О (5)]-1/2,

(7)

Рис. 1. Фазовая скорость в(ш) для быстрой (БН) и медленной (МН) необыкновенных волн. Пунктирными линиями показаны условия параметрического резонанса в г = в(ш г). Параметр 0В = 0.67. Величина вт = 0.1.

причем, в силу формулы (2), величина вт изменяется в пределах от 0 при Т = 0 до 1/2 при Т = ^.

3. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

Для малых возмущений А(/, ¿) = = А0 ехр I (шt - kz) дисперсионное уравнение линеаризованной системы уравнений (7) имеет вид

± = 1 _ 1 1 -ш2(1 -в2/в2) (8)

в2 ш21 + оВ -ш 2(1 _в2/в2)'

где ш — частота волны (в единицах ш р), в = ш/ ск — безразмерная фазовая скорость.

Зависимость в(ш) для двух значений вт при

фиксированном 0В представлена на рис. 1 и рис. 2. Условия параметрического распада быст-

Рис. 2. То же, что на рис. 1, для вт = 0.5.

рой необыкновенной (БН) волны с частотой шг на две медленные необыкновенные (МН) волны с половинной частотой шг /2 показаны пунктирными линиями. Границы области прозрачности холодной плазмы ш£ и шя для БН- и МН-волн (где в ^ ^) определяются формулой

= 2(а/)В + 4 + )в) (см. [5]).

ш

Условие параметрического резонанса ш = шг и ш' = ш г /2, когда частота возбуждаемой волны ш' равна половине частоты волны накачки ш, требует выполнения равенства (8) как для частоты накачки шг, так и для частоты вторичной волны шг /2. Можно показать, что для неизменной фазовой скорости волны в это условие реализуется только в ограниченной области значений внешнего магнитного поля 0В = 0Вг (шг, в т) и в = в г (ш г, вт \ где

)вг = ^ (5 - ш2(1 - в2)))(1 - в2) + д/ш4 (1 - в2)2 + ЩГ) -1 - в

2

т,

(9)

в г ш 2(1 + в2) + Уш44 (1 -в2)2 + 16 в2. (ю)

2(ш4 - 4)

Графики этих функций представлены на рис. 3. Как следует из этого рисунка, неустойчивость имеет место только в области резонансных частот

42

< ш г < шс

4 -в2

¡1 -вт

закрашенной на рисунке серым цветом. При этом

0 < 0

Вг

< 3,

4 -вт

<в г <

4. ИНКРЕМЕНТ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Метод расчета инкрементов распадных не-устойчивостей волн в плазме в общем виде изложен в обзоре [8]. Поэтому ниже мы приведем лишь краткое описание наших вычислений, аналогичных выполненным в [4] для холодной плазмы, необходимое для воспроизводимости полученных результатов. Линеаризация системы (7) вблизи линейной волны накачки, представленной вектором

У = (А, А', С, а) = 2 (ВД^ + У,*(ю)е -йв*),

дает:

х' =

^(0) + гу(0) • У (V)

х(^),

(11)

где ю — частота волны накачки, вектор-столбец Г (У) есть

Л в3

в2 -1-Тя Г (у) = - 1

в2 - 1\л/д

. р(= р-С'Ш

а х(у) представляет собой малое возмущение. Мы

не приводим явный вид матриц Г/(0) и ГУ'(0) из-за их громоздкости.

Ищем решение системы (11) методом вариации постоянных с последующим усреднением по периоду колебаний, полагая х = Z • а, где Z(у) — 4 х 4-матрица линейно независимых решений

уравнения Z' (у) = ГУ (0) • Z(у). В результате получаем:

где

а' = М • а,

М = ЦZ-1 (Ое/юу + О*е"/юу IZ

(12)

2п/ю

(/) = ю / / Шу,

z =

ю-А

У1 (ю)е/юу, У1 (-ю)е",юу, У1

ю-А

у

ю-А

У1

ю

у

где малая величина А = ю - 2ю' определяет расстройку параметрического резонанса, а вид функции У1 (ю)

1

1/У2

1 1 1 1 — Qвr

* \ --Рг

*

%

Л

^2 юг

Рис. 3. Внешнее магнитное поле Qвr и фазовая скорость волны Рг в зависимости от резонансной частоты юг. Величина Рт = 0.3.

1

(Р2 - 1)ю^

У1 (ю) =

ю2 (р2-Р2 )-р2

/Р(Р2 - 1)ю^д ю2 (Р2-Р2 )-р2

следует из линейной теории. Удерживая в М лишь резонансные слагаемые, имеем:

(13)

о = гу (0)У1.

Так как матрица О пропорциональна малой амплитуде У1, то зависимость а от свободной переменной является медленн

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»