ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 1, с. 36-47
УДК 551.513
ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ И ЦЕНТРОБЕЖНАЯ КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ ЦИРКУЛЯЦИЙ ТИПА ХЭДЛИ
© 2008 г. E. Б. Гледзер
Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН 119017, Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail: dolzhan@ifaran.ru Поступила в редакцию 29.05.2007 г., после доработки 20.09.2007 г.
Рассмотрена устойчивость зонального осесимметричного квазигеострофического гидростатического решения уравнений динамики атмосферы, обусловленного горизонтальным градиентом температуры. Зависящие от времени области неустойчивости решения, задаваемые числом Релея, описывают обычные конвективные (бароклинные) процессы, а также долговременный слабый рост возмущений при действии центробежных сил, возникающих при вращении Земли. Проводится сопоставление с центробежной гидродинамической неустойчивостью. Описана пространственно-временная структура соответствующих геофизических полей.
1. ВВЕДЕНИЕ
Поводом для проведения предлагаемых далее вычислений явились наблюдения, достаточно подробно описанные в [1] и упомянутые в обзорной статье [2]. Речь идет об асимптотиках при больших числах Тейлора критических значений термического числа Россби при потере устойчивости прототипов режима Хэдли в шести-модовой модели конвекции Ф.В. Должанского (или в ее простейшей трехмодовой аппроксимации). Напомним, что термическое число Россби Ког пропорционально О2, где О - угловая скорость вращения конвективной системы как целого (более точные формулы будут приведены далее), а число Тейлора Та ~ О2. При этом в условиях, когда сила тяжести и вектор внешнего вращения направлены вдоль одной из главных осей эллипсоида, а режим Хэдли возникает в результате действия перпендикулярного им градиента температуры, то давно известный результат состоит в том, что критические значения Иог ~ Та-1/2. Эта асимптотика приводилась в целом ряде работ (см., например, [3, 4]). Однако, если симметрия задачи нарушена и сила тяжести или вектор й отклонены от соответствующей главной оси эллипсоида на малые углы у и X (например, в одной из главных плоскостей симметрии), а внешний градиент температуры оставлен без изменения в перпендикулярном этой оси направлении, то при больших Та асимптотика меняется на Иог ~ Та-1. При этом соответствующая мультипликативная константа в асимптотике пропорци-
ональна | siny| 1 или | sinX| или их комбинации, т.е. если X = 0, то
Ror ~ Ta
1
| sin yI '
(1)
Второе из упомянутых наблюдений работ [1, 2] связано с экспериментами многолетней давности в кольцевых сосудах и знаменитой диаграммой Фальца [5-7], приведенной на рис. 1а. Здесь граница устойчивости нижнего симметричного режима и переход к волновым режимам как раз соответствует асимптотике Ког ~ Та1 (в логарифмических координатах наклон -1). Эту экспериментальную диаграмму следует сравнить с диаграммой той же работы [6] (откуда взят рис. 1а), основанной на теории (рис. 16). Здесь огибающая нейтральных кривых устойчивости для различных зональных волновых чисел 1 < т < 15 больше соответствует зависимости Ког ~ Та-1/2 и во всяком случае не объясняет диаграмму рис. 1а.
Для кольцевых каналов аналог описанного выше угла Y может быть связан с центробежной силой, всегда присутствующей в экспериментах с внешним вращением (или, вероятно, с наклоном дна каналом). Казалось бы естественным теоретически этот "центробежный эффект" искать для кольцевых каналов. Однако, как показывают работы прошлых лет и, в частности [6], соответствующая теория практически всегда связана с громоздкими численными расчетами даже в рамках метода Галеркина с ограниченным числом мод. При этом области изменения большого числа параметров задачи, в которых может про-
104
105
(а) 106
107
108
101
10-
10"
10-
10 1
1-1
10-
в
10-
10-
10-
: \\ V4,
. иррег _ яушше \ Х-г V 1пеа1 3\
- \<7 ч ; \
о у ■ ■ К лу г «ч е„а wave \ \ к
: \ V \ \ \
яуп \ oweг 1ше1г еа1 \ 8 8, у1 \ \ V п^и1аг\ \
: \ \\ч \ \ \\ \
Х \ V \\ , \ \
101
(б)
102
103
....... \ ^ 10-4 ....... \ 10-3 ....... \ 10-2
\ ---Ч -- — " . - - "XV = 2
3 ''
V 7/ 1 3165, 3 160 _, < 1005 \ 31-6; 0 \ т = 4\ 10$ V = 5 Ч
ч ^Х^4 Ч«"*^"— ' ч~ \V__m_ =7_
4 ~ \ т = 9 _ --т"=11^
\ \ \
104
105
106
107
108
Рис. 1. а - Диаграмма режимов в координатах чисел Тейлора и Релея для экпериментов Фальца в кольцевом канале (из работы [6], рис. 7); б - диаграмма, основанная на теории бароклинной неустойчивости (рис. 15 работы [6]).
явиться эффект перехода от одной асимптотики к другой, заранее неизвестны, так что численные эксперименты должны быть многочисленными. Между тем всегда есть желание найти подход, в котором предполагаемый эффект обнаружива-
ется из аналитического рассмотрения, как в упомянутой малопараметрической модели конвекции.
Необходимо отметить, что различные виды неустойчивостей, связанных с центробежными силами, хорошо известны в гидродинамике. До-
1
т
статочно упомянуть классическое течение Куэт-та-Тейлора. Для стратифицированной среды аналогичная неустойчивость была описана, например, в [8], где есть ссылки на другие работы этого направления. Для вертикальной стратификации
центробежное ускорение иф/ г, входящее в уравнения движения и перпендикулярное силе тяжести, является источником неустойчивости при достижении определенного порога скорости иф = Ог из-за внешнего вращения. Вопрос состоит в том, чему равен этот порог для О, а значит, и для соответствующего числа Россби или Тейлора? Именно этому вопросу и посвящена данная работа.
2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Будем исходить из стандартных квазигеостро-фических уравнений в приближении гидростатики в ^-координатах (см., например, [9]):
ЭЛЯ 1,„ А17, ЭЛЯ „ЭЛЯ + - (Я, ЛЯ) + т -=-— + р -
дt l
д p дх
_ l2dT + - VTVT- XAH + Fcf,
д p p cf
дТ 1,„ _ , .RTт £ ЭТ + 7(H' } - (y»- y«}ТР = ср — ^ '
t _—PдH v = fi-i-1 A = Jl+
R д p' vd x д У У д x2 д y2
(2)
с характерной амплитудои имеющеи ту же размерность, что и ц. Теплому экватору и холодному полюсу соответствует yy < 0.
Предположим, что вдоль меридиана в южном направлении действует дополнительное ускорение с величиной gy = g sin у. Так же, как и в уравнениях Буссинеска, уравнение для соответствующей компоненты скорости v в условиях термической конвекции может быть записано в виде
dv _ - 7Т
dt _..... gyTТ'
(5)
где не выписаны известные слагаемые, которые содержались в уравнении при выводе, например, системы (2). Уравнение для ЛЯ в (2) получается из (3), (5) и соответствующего уравнения для зональной компоненты и дифференцированием (5) по х. Поэтому в (2) появляется член
Fcf _-g
l дТ yТ дх'
gy _ g siny .
(6)
В ускорении gy величина sin у - просто обозначение малой величины, sin у <§ 1, которая вводится для сопоставления с формулой (1).
Направленная к югу величина центробежного ускорения равна (ее вертикальной составляющей, очевидно, можно пренебречь по сравнению
с силой тяжести) gy = 1 Q2a sin 2Ф (Ф - широта),
Здесь Т - отклонение температуры от средней Т, Ya и Yz - адиабатический и вертикальный градиенты средней температуры, в - параметр бета-эффекта, I = 2 Овт Ф - параметр Кориолиса, О - угловая ско-
рость вращения Земли, т
_ dp _ dt
- вертикальная
скорость в ^-координатах, Я = gz - геопотенциал, (А, В) - якобиан по координатам х, у, ось х направлена на восток, ось у - на север. Зональная и меридиональная скорости соответственно определяются соотношениями геострофического ветра
u _ —
7 дН
р дy'
v_
7 дН
l дх'
(3)
В систему введено линейное трение с коэффициентом X и радиационное ньютоновское затухание с коэффициентом ц. Предполагается, что это затухание по времени намного больше суток, так что 1/ц > 1. Внешнее воздействие на систему осуществляется с помощью горизонтальной разности температур, определяемой через горизонтальный градиент Yy:
- _ ^iYуУ
cp
(4)
так что
sin y _
£2a
sin Ф cos Ф.
(7)
Здесь a - радиус Земли, sin у ~ 103 для средних широт. Такой же порядок имеет отношение центробежного ускорения и ускорения силы тяжести для вращающейся лабораторной установки,
„2 п , 1П £2a
если £2 = — c 1, a = 10 см: -
10 g
3.6 х 10-3. Инте-
ресно отметить, что такую же зависимость от Ф имела бы величина sin y, если бы над экватором находилось кольцо типа кольца Сатурна с массой ~10-3 массы Земли.
В дальнейшем расчеты будут проведены для случаев sin y _ const ~ 10-3^10-2 (варьируется величина sin y), а также для переменного параметра l,
о l
что с учетом зависимости £2 _ . приводит
2 sin Ф
к вариациям величины (7):
sin y _
l acosФ sinФ
2
la
Уравнения (2), (4), (6) имеют стационарное решение, для которого АН = 0,
нейшем не используется, то введение безразмерного времени т = ¡г не вызывает путаницы),
т = т = 0, Н = Н = _Я 0у 1п
р
р0
Т = То = 0 у, ио = 0 ^ 0 = М 1у,
Ро М-
(9)
¡
описывающее зональный поток с линейным по широте распределением температурных возмущений, не зависящих от р, т.е. высоты г. Это аналог циркуляции Хэдли.
Так как А Н = 0, то линеаризация уравнений (2), (4), (6) относительно (9),
Н = Н + н'(х, у, р, г), Т = То + Т (х, у, р, г),
(10)
приводит к системе
эт 13НдТо_11дН1Г_ ( _ )ЯТ1 = _ т
д г + ¡дх ду I ду дх (У а 1г) g р М1 '
Эй- _1 дННдАН + адК =
дг I ду дх дх
,2 Эт Я дтдТ о . I дТ'
= I ^--1----g 81ПУ--=;--КАН ,
др р ду ду Т дх
Т, = _р Эй-Т Я д р,
которая после подстановки
Т' = е,кхТ(р, г), Н = вг]кХН(р, г),
к = (кх, ку), X = (х, у),
(11)
(12)
, Я02 д . V д2Н цЭН . Л ,,ЭНЛн
1 ~+э?++1 щ, _ 1ахIн _ щ) =
Т1
Я2Т
(13)
= (у а _ у г У-^Т ((|т + К + а к'Н _
р, . 1 дн
_ 1кх^-Н + 1кх эт У—Щ
Т
В (13) Т = Т, Н0 =--высота однородной атмо-
_ , Я 0 _ , „ g 0
ах = кх 2 = кхН о 2,
I Т1
_ , Д0 _ , и g0
ау = ку 2 = куН о 2,
у Г Т1
Н = ЯТ Но = -.
(14)
Заметим, что согласно (3), зональный профиль скорости и для решения (9) описывается логарифмической функцией давления, в отличие от линейного профиля в известной задаче Иди.
Давление р через функцию ? = 1пр входит в ко-
ро
эффициенты уравнения (13) в виде линейной функц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.