КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2015, том 60, № 2, с. 307-313
ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ ^
УДК 532.783+548.14
ПЕРЕХОД ФРЕДЕРИКСА В НЕМАТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКЕ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ СЦЕПЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ © 2015 г. М. Ф. Ледней, А. С. Тарнавский
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Украина E-mail: ledney@univ.kiev.ua Поступила в редакцию 10.12.2013 г.
Определены величина порога и форма пространственно-неоднородного порогового распределения директора в электрическом поле в планарной нематической ячейке с периодической полярной энергией сцепления нематика с поверхностью. Показано, что значение порога немонотонно зависит от числа периодов энергии сцепления, укладывающихся на длине ячейки. Получено аналитическое выражение для порога перехода Фредерикса при малых значениях амплитуды модуляции энергии сцепления, проведен численный расчет значений порога при больших значениях амплитуды. Пространственный период возникающей при переходе Фредерикса структуры директора существенно зависит от величины отношения K2/K1 упругих постоянных Франка, числа периодов модуляции энергии сцепления, укладывающихся на длине ячейки, и практически не зависит от величины амплитуды модуляции энергии сцепления.
DOI: 10.7868/80023476115020174
ВВЕДЕНИЕ
Значительный интерес к однородной пороговой переориентации директора нематического жидкого кристалла (НЖК) внешними полями связан с широким использованием нематиче-ских ячеек в качестве элементной базы разного рода электронно-оптических устройств [1—3]. В НЖК-ячейке под действием внешнего электрического/магнитного поля может также возникать пороговая пространственно-периодическая структура (ППС) поля директора. В частности, изучалось возникновение ППС директора при его пороговой переориентации как из планарного состояния в гомеотропное [4, 5], так и наоборот [6], в ячейке флексоэлектрического нематика. Было установлено, что в зависимости от соотношения между упругими модулями Франка К1 и К2 пороговая ППС директора может возникать и в отсутствие флексоэлектричества как при планар-гомеотропной [7—10], так и при планар-планар-ной переориентации директора [9, 11]. Рассматривались влияние конечности энергии сцепления с поверхностью ячейки флексоэлектрическо-го НЖК и различия его упругих модулей на пороговую пространственно-периодическую переориентацию директора электрическим полем [12, 13]. Показана возможность пороговой пространственно-периодической переориентации директора световым полем в планарной НЖК-ячейке [14]. Спонтанные пространственно-пери-
одические искажения директора и влияние на них упругой постоянной К24 в планарно ориентированной НЖК-ячейке рассматривались в [15—17].
Как известно, ограничивающие поверхности ячеек жидких кристаллов не только изменяют структуру и свойства граничащего с ними слоя жидкого кристалла, но и определяют структурные свойства всего объемного образца. Таким образом, характер пространственно-периодической переориентации директора существенно зависит от силы и типа взаимодействия НЖК с поверхностью ячейки. В перечисленных работах граничные условия для директора предполагались однородными с конечным или бесконечным значением энергии сцепления.
Исследовались пространственно-периодические искажения поля директора в ячейке НЖК, обусловленные модуляцией ориентации легкой оси на поверхности ячейки [18] и периодическим изменением энергии сцепления в направлении, перпендикулярном ориентации легкой оси в присутствии электрического поля [10]. Спонтанные переходы между двумя ориентационными состояниями в полубесконечном нематике с периодически чередующимися планарными и гомеотропны-ми граничными условиями на поверхности исследовались в [20]. Рассматривалось возникновение доменных структур в тонких нематических пленках с периодическими гомеотропно-планарными граничными условиями [21].
В настоящей работе рассмотрен сопровождаемый неплоскими возмущениями директора переход Фредерикса в постоянном электрическом поле в планарной НЖК-ячейке с периодическим распределением полярной энергии сцепления нематика с поверхностью. Эта задача в случае плоских искажений директора и в одноконстант-ном приближении была решена в [22]. Работа построена следующим образом. Записана свободная энергия ячейки НЖК, получены линеаризованные стационарные вариационные уравнения для директора и найдено их решение. Найдено пороговое значение электрического поля и исследована его зависимость от амплитуды и периода модуляции энергии сцепления, линейных размеров ячейки и отношения К2/К1 упругих постоянных Франка. Проведено исследование на наличие пространственной периодичности возникающего в результате перехода Фредерикса порогового пространственно-неоднородного профиля директора.
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДИРЕКТОРА
Допустим, имеем плоскопараллельную ячейку НЖК, ограниченную плоскостями z = -Ь/2 и г = +Х/2, с исходной планарной ориентацией директора вдоль оси Ох, помещенную во внешнее однородное электростатическое поле с вектором напряженности Е в направлении оси Ог. Будем считать, что энергия сцепления директора с поверхностью ячейки при его переориентации в плоскости хОу (азимутальная энергия) бесконечно большая, а энергия сцепления, связанная с отклонением директора в плоскости хОг (полярная энергия), периодическая функция координаты у и ее можно представить в виде
W(y) = W0 + V cos
2ny
d '
(1)
где постоянные Ж0>0, V >0 и V < Ж0.
При рассматриваемой взаимной ориентации невозмущенного директора и вектора напряженности электрического поля возможна только пороговая переориентация директора, которая может приводить к возникновению его пространственно-неоднородной структуры вдоль оси Оу. В силу однородности системы в направлении оси Ох директор в объеме НЖК будем искать в виде
n = i cos 0(y, z)cos ф(у, z) + + j cos 0( y, z) sin ф(у, z) + k sin 0(y, z),
(2)
F =
Fel + Fe + FS ,
Fel =2 J{Ki(div n)2 + K2(n • rot n)2
+
V
Fe =
f (nE) ; J
dV.
+ K3[n x rot n] }dV,
.£a 8n -V
Здесь Fel — упругая энергия Франка, FE — анизотропный вклад в энергию взаимодействия НЖК с электрическим полем, K1, K2, K3 — упругие постоянные нематика, n — директор, еa = £ц - е± > >0 — анизотропия статической диэлектрической проницаемости.
Для учета поверхностной свободной энергии FS ограничимся моделью Рапини [23], принимая во внимание, что изменение поверхностной энергии может быть различным при отклонении директора от его легкой оси в азимутальном и полярном направлениях [24]:
FS = -2 J W(y)cos2 0dS,
(4)
где интегрирование идет по плоскостям ячейки г = +Ь/2 и г = -Ь/2.
Для определения порога переориентации достаточно рассмотреть малые углы деформации директора (| 0|, |ф| = 1). Минимизируя свободную энергию (3) по углам 0 и ф, получим следующие стационарные уравнения:
Э 2ф
r э!0 + э!0 + (1
2 -л 2 ^
dy dz
r )
Э2ф Э2ф —— + r—-
+ (1 - r)
dydz д 20
+ e E 0 = 0,
(5)
= 0
dz dydz
и граничные условия к ним:
±K 1 — + (w0 + V cos^W dz \ d !
= 0,
z=±£/2
(6)
Ф
z=±£/2
= 0.
где использованы обозначения
e =
4nK1
r =
= K2 Ki'
где 1, ^ к — орты декартовой системы координат, 0 и ф — углы отклонения директора в плоскостях хОг и хОу соответственно.
Тогда свободная энергия ячейки НЖК может быть записана в виде:
Граничными эффектами на боковых поверхностях ячейки будем пренебрегать. Для функций 0 и ф полагаем периодические условия по координате у: 0(у + Д г) = 0(у, г), ф(у + А г) = ф(у, г), где Л — линейный размер ячейки в направлении оси Оу. Тогда решение системы уравнений (5) ищем в виде
S
1,2
е
0(у, г) = Xе
и=0
ФО^ г) =
е Х пЪр'ЭпУ 0пе е ,
(7)
е Кге1д"у,
п=0
где уп = 2 ля/ В.
Подставив разложение (7) в систему уравнений (5) и воспользовавшись линейной независимостью функций е1УпУ, получаем однородную систему двух алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов 00п и ф0п. Условие ее нетривиального решения дает уравнение для определения значений Xп. Решив это уравнение, получаем Xп = ±Р1п, ±р2п, где р1п и р2п принимают действительные значения
Р1п
е Е2 + 4(е Е2)2 + 4уп2 е Е2(1 - г)/г
Р2п
2
Уп ,
(8)
е Е2
■7(е Е2)2 + 4уп2 е Е2(1 - г)/г
Тогда общее решение системы уравнений (5) имеет вид
е(У, г) = X (а1п С08(Р1п^) + «2п Бт(Р1пг) +
п=0
+ ^1пСЬ(р2пг) + Ь2п$>ЧР2пг)) С08(УпУ),
Ф(У, г) = X (-а1пр1п §1п(Р1пг) + а2пр1п ^(Р^г)
(9)
+
+ Ь1пр2п§И(Р2пг) + Ь2пр2пСЬ(Р2пг)) ^УпУ^
где
в = (1 - Г)1пР1п в = (1 - Г)УпР2п (10) Р1п 2 2 , Р2п 2 2 . (10)
Уп2 + ГР12п
Уп2 - ГР22п
(1 -2 /п(Е)) Ап + V X« птАт = 0,
т=0
п = 0,1,2, ....
(11)
Здесь использованы обозначения е = W0L/K1, V = V/ Ж0,
Ап =
^ + !тп СШ ^
^ Р\п^ Рш ^
в2п 2 ,
2 в2п
/п(Е) =
а1п sin
Р1nL
^ +р1п С1И 2 в 2
Р2nL
V ^ Н2п
5Sin П
(12)
2п
х
(-1)п
■ + ■
5(2 -6п0) х (-1)п-т
52 - (п + т)2 52 - (п - т)2
5 = В /й — число периодов энергии сцепления, укладывающихся на длине ячейки.
Условие существования нетривиального решения системы уравнений (11) дает детерминант-ное уравнение для определения значения порогового электрического поля Ел:
Lo V а 01 V а 02 V а10 L1 V а12
Vа 20 Vа21 L1
А =
= 0,
(13)
Здесь ап, Ьп (/ = 1,2) — произвольные постоянные, значения которых определяются из граничных условий (6).
Подставив общее решение (9) в граничные условия (6), получим следующую систему однородных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов а1п:
где Ln =1 + vапп--Ап(Е), п = 0,1,2, .... е
Отметим, что в результате подстановки выражений (9) в граничные условия (6) получим также аналогичную (11) систему однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а2п. Однако, как показывают расчеты, условие нетривиального решения этой системы дает ббльшие значения электрического поля, чем решения уравнения (13).
ПОРОГОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В отсутствие модуляции (V = 0) энергии сцепления порог Е0 возникновения ориентационной неустойчивости определяется наименьшим положительным корнем следующего из (13) уравнения
А (Е) = е /2 (14)
при некотором фиксированном значении к = 0,1,2,.... Тогда Ос = 2пк/В (где к — номер уравнения (14), определяющего величину Е0) есть волновое число
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.