научная статья по теме ПЕРЕХОД ПЛОСКОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С АСИММЕТРИЕЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ПЕРЕХОД ПЛОСКОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С АСИММЕТРИЕЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 3, с. 295-301

УДК 629.78.015

ПЕРЕХОД ПЛОСКОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С АСИММЕТРИЕЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ

© 2004 г. Е. А. Кеньшов, И. А. Тимбай

Самарский государственный аэрокосмический университет Поступила в редакцию 10.12.2002 г.

Рассматривается движение относительно центра масс космического аппарата с малой асимметрией, восстанавливающий аэродинамический момент которого описывается рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами. Найдено решение для угла атаки в невозмущенном вращательном движении. Получено аналитическое выражение для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы. Исследуется переход плоского вращательного движения аппарата к колебательному, обусловленный медленным изменением коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов малой асимметрии и демпфирования. Получены аналитические формулы для определения времен перехода вращательного движения в колебательное, а также критической угловой скорости внеатмосферного вращения, при превышении которой вращение аппарата продолжается в течение длительного интервала времени (возникает плоская авторотация).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается плоское движение неуправляемого космического аппарата на верхнем участке траектории спуска в атмосферу, когда можно пренебречь изменением скорости центра масс и угла наклона траектории. Исследуются случаи, когда в процессе спуска вращательное движение переходит в колебательное или имеет место длительное вращение без перехода в колебательное движение (плоская авторотация). В [1] рассматриваются переходные режимы движения КА с синусоидальной, а в [2] с бигармонической моментной характеристикой без учета влияния малой асимметрии. В [3] исследуются условия возникновения плоской авторотации асимметричного КА, моментная характеристика которого представлена рядом Фурье. Получены в интегральном виде формулы для определения критического значения начальной угловой скорости вращения КА, при которой реализуется плоская авторотация. В данной работе рассматривается плоское движение относительно центра масс КА с малой массовой асимметрией, вызванной поперечным смещением центра масс, и аэродинамической асимметрией, обусловленной искажением поверхности аппарата. Пусть момент от указанной асимметрии может быть представлен в виде четного ряда Фурье по углу атаки с постоянным членом (средним значением момента) и первым косинусоидальным членом. Тогда, добавляя косинусоидаль-ную компоненту к основному восстанавливающему аэродинамическому моменту, описываемому

нечетным рядом Фурье с двумя первыми гармониками [2], считая среднее значение момента асимметрии и значение демпфирующего момента малыми величинами, учитывая, что коэффициенты моментов медленно меняются во времени из-за медленного изменения плотности атмосферы в процессе спуска, движение КА можно описать следующим уравнением [2], [4]

а + а (г) эт а + Ь (г) эт2а + с (г) еоэ а = = еа( г )а + г),

(1)

где а - угол атаки; а(г), Ь(г), с(г) - коэффициенты моментной характеристики; а(г) и^(г) - усредненные по углу атаки коэффициенты демпфирования и асимметрии; г - медленно меняющийся параметр, переменность которого связана с медленным изменением плотности атмосферы в процессе спуска; £ - малый параметр, характеризующий малость коэффициентов демпфирования и асимметрии.

Коэффициенты уравнения движения (1), если зависимость плотности атмосферы от высоты полета аппроксимировать экспонентой, могут быть представлены в виде [2], [4]:

а(г) = а0г, Ь(г) = Ь0г, с(г) = Сог, а(г) = Сог, £(г) = ^г, ао = -таБ1Уо р( ¿о)/(21),

П

5 Г

2 особые точки

3 -

4 особые ^ч 1 4 особые

точки у/ точки

-4 -2 / ^ 0 2 4 Z

-3 -

а + a sin а + b sin2 а + c cos а = 0.

(2)

Следует отметить, что уравнение движения физического маятника по углу его отклонения от вертикали, когда он установлен на вращающейся платформе и точка его подвеса смещена относительно оси вращения платформы [5], имеет вид аналогичный (2).

Для выяснения общих свойств движения системы (2) воспользуемся методом фазовой плоскости. Анализ фазового пространства рассматриваемой системы проведем аналогично [5]. Интеграл энергии системы (2) имеет вид

. 2

(X , 2

— - a cos а - b cos а + c sin а =

h.

(3)

2 особые точки

-51-

Рис. 1. Бифуркационная кривая.

Ьо = -шь31У20 р( )/(2I), Со = -ЛуСт1^У0р( 1о)/(2I), ^о = (Л уСт о + Л ш1) ^ р( 1о) / (21), <Зо = (т™/2/1- Суа0/т)5УоР(^)/2, г = ехр(Р(г - г{))), в = XУо^т0^, где та, ть - коэффициенты основного восстанав-

ю

ливающего аэродинамического момента; то -усредненный по углу атаки коэффициент аэродинамического момента демпфирования; С°уао - усредненная производная по углу атаки коэффициента аэродинамической подъемной силы; Ст0, Ст1 -первые два члена разложения коэффициента тангенциальной аэродинамической силы в четный ряд Фурье; Лтг - коэффициент аэродинамического момента асимметрии; Л у = Лу/1 - безразмерное смещение центра масс КА от оси его геометрической симметрии; I - характерный размер; 5 - характерная площадь; I - поперечный момент инерции; т - масса аппарата; У0 - скорость полета; 0О - угол наклона траектории; р(г0) - плотность атмосферы в начальный момент времени; X - логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.

2. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ КА

В случае невозмущенного движения (е = 0, г = = сош^ уравнение движения КА запишется в виде

Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами а, а. Уравнение (3) определяет связь между а и а, тем самым, является уравнением фазовых траекторий. Из (3) следует, что

а = ±V 2 (f (а) + h),

где

f (а) = a cos а + b cos а - c sin а. (4)

Экстремальные значения функции f (а) соответствуют состояниям равновесия уравнения (2), т.е. особым точкам на фазовом цилиндре а, а.

Из выражения (4) функции f (а) следует, что в зависимости от значений параметров a, b, c могут существовать или две, или четыре особые точки.

Бифуркационное соотношение параметров n = a

У и

и С, = - , разделяющее эти случаи, находится из условия слияния двух особых точек, что осуществляется при одновременном выполнении двух условий:

/'(а) = о и /"(а) = о.

Разрешая эти соотношения относительно п и получаем параметрическое представление бифуркационной кривой п = П(С):

П = ctg3 a, Z = -(2 sin3 a) \

(5)

Согласно (5) на плоскости п, С протекают четыре ветви кривой п = п(0, соответствующие изменению а в интервале [-п, п]. Данная кривая, изображенная на рис. 1, разбивает плоскость на три области. При параметрах п, С, находящихся внутри области, ограниченной бифуркационной кривой, на фазовом цилиндре имеются две особые точки, а в других областях - четыре особые точки. Для параметров, принимающих значения £ = ± 0.5, п = 0 происходит слияние трех особых точек: при а = 0 для £ = +0.5, п = 0 и при а = ±п для £ = -0.5, п = 0.

На рис. 2 показан фазовый портрет системы, когда имеются четыре особые точки, на рис. 3 -две особые точки.

Как видно, космический аппарат в зависимости от начальных условий (К) и величин а, Ь, с мо-

Рис. 2. Фазовый портрет: a = 3, b = 4, c = 1 (n = 3, Z = 4).

Рис. 3. Фазовый портрет: a = -3, b = 2, c = -1 (n = 3,

Z = -2).

жет совершать как вращательные, так и колебательные движения, области которых разделены сепаратрисами.

Найдем решение для угла атаки в невозмущенном вращательном движении. Вводя новую переменную и = Оа , уравнение (3) можно записать в виде

•2 1 г, ít4 1 3 1rj ,п2

и = 4 [h - а + b J и -2 см +2 L h - b J и -

-1 си +1L h + а + b J = G (и).

(6)

Разделяя переменные в уравнении (6), получим

, , йи йг = ± . .

(и)

Здесь знак выбирается в зависимости от знака йи таким образом, чтобы в любой момент времени правая часть уравнения была неотрицательной. После интегрирования имеем

t - 10

= J

du

JG (и)

(7)

Интеграл (7) относится к классу эллиптических интегралов и приводится к нормальному эллиптическому интегралу Лежандра первого рода [6]. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени О(и). В случае вращения все четыре корня полинома комплексные. Введем следующее правило нумерации этих корней: Ь1 ± къ Ь2 ± г'с2, Ь1 > Ь2, с1 > 0, с2 > 0.

Приведение интеграла (7) к нормальному эллиптическому интегралу первого рода осуществляется посредством преобразования и = и(ф), отображающего интервал интегрирования [и0, и] в соответствующий интервал действительного аргумента [ф0, ф]. Вид преобразования и = и(ф) зависит от типа и сочетания корней, а также от знака

старшего коэффициента полинома О(и) [6]. Для рассматриваемого случая вращения все четыре корня полинома комплексные и преобразование может быть представлено в виде

и = bi + с i tg (ф + ф*),

(8)

где

ф*

е3 + е4

2 '

с! ± с2

63 4 = агйй--;— острые углы.

Ь1 - Ь2

Полагая, что в момент времени г = г0, а = а0, при этом

♦ ао и tg"2"- bi ф0 = arctg--ф*.

(9)

Тогда, учитывая (8), интеграл (7) преобразуется к следующему виду:

t - to = | [F(ф, k) - ^(фо, k)]'

(10)

где

яф, k) = J

- эллиптическии ин-

11 - к sin ф

теграл первого рода, к2 = sin26s - модуль эллиптического интеграла,

s = J\h - и+ h\

27cos 65

2

05 COS63 1

tg4 = COSe4' 2 - острыи угол-

Обращая эллиптический интеграл, из равенства (10) получим

ф = am[5(t -10) + т0, kJ, где То = F(фo, k).

и

и

о

а, рад/с 3

2

1

0

-1

-2

30 а, рад

20 40 60 80

100

г, с

Рис. 4. Переход вращательного движения в колебательное.

Учитывая формулы (8), (11) и то, что u = tg

а

тельное. В этом случае фазовая точка, двигаясь по фазовому цилиндру, пересекает сепаратрису, разделяющую вращательную и колебательную области. На рис. 4 приведен случай такого движения (начальные условия движения: a0 = -0.02 с-2, Ь0 = -0.005 с-2, с0 = -0.005 с-2, = 0.0008 с-2, с0 = = -0.00001 с-1, а0 = 10 град, ао = 30 град/с, в = = 0.05 с-1).

Будем полагать, что критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска КА в атмосфере выполняе

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»