ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 73. Вып. 4, 2009
УДК 539.374
© 2009 г. А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк, А. В. Лушпей
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ТОРМОЖЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ МГНОВЕННОМ СНЯТИИ НАГРУЖАЮЩИХ УСИЛИЙ
Рассматривается развитие вязкопластического течения в тяжелом слое упруговязкопластического материала на наклонной плоскости при действии нагружающих усилий на его свободной поверхности. Показано, что упругопластическая граница начинает свое движение от жесткой наклонной плоскости и, распространяясь по упругому ядру, может достигать свободной поверхности слоя. Получено точное решение динамической задачи о торможении развитого вязкопластического течения после мгновенного снятия нагружающих усилий. Указана возможность записи уравнения движения за волной разгрузки в перемещениях. Оно сводится к неоднородному волновому уравнению, где скорость движения волны разгрузки оказывается равной скорости эквиволюминальной упругой волны. Рассмотрено также отражение волны разгрузки от жесткой границы, которой является наклонная плоскость.
Поверхности разрывов деформаций в упругопластических средах разделяют на волны нагрузки и разгрузки. Имеется обзор статей, посвященных особенностям распространения таких разрывов [1]. Позднее изучались [2—6] условия существования и закономерности распространения поверхностей разрывов деформаций в средах с упругими и пластическими свойствами. Когда в процессе пластического течения учитываются вязкие свойства среды, то иные поверхности разрывов, кроме тех, что распространяются с известными скоростями упругих волн, не возникают [7, 8]; это отмечается и в экспериментах [2]. При распространении волн разгрузки положение усложняется еще и тем, что поверхность разрывов распространяется по области вязкопластического течения, где необратимые деформации нельзя считать малыми.
Здесь рассмотрим простейшую краевую задачу теории больших упруговязкопластических деформаций с волной разгрузки. Такая плоскость разрыва напряжений возникает в тяжелом слое несжимаемого упруговязкопластического материала, расположенном на наклонной плоскости, развитое вязкопластическое течение в котором вызывается действием нагружающих усилий на свободной границе слоя после их мгновенного снятия. Основная трудность в постановке соответствующей краевой задачи связана с тем, что плоскость разрыва напряжений движется по интенсивно и необратимо деформирующейся среде, в то время как напряжения определяются уровнем и распределением обратимых деформаций. Таким образом, для того чтобы определить зависимость напряжений от перемещений и записать уравнение движения среды, следует указать распределения пластических и упругих деформаций за волной разгрузки. Более того, при записи уравнения движения в перемещениях следует найти перемещения также согласно определению обратимых и необратимых деформаций, что, как известно [9], непростая задача даже в случае малых деформаций. Очевидно, что преодолению математических трудностей способствует предположение о несжимаемости материала как на стадии необратимого, так и обратимого деформирования. Учет объемных сил тяжести является принципиальным для корректной постановки задачи [10].
1. Исходные соотношения используемой модели деформирования. При построении теории течения с учетом больших упругопластических деформаций приходится опре-
делять не измеряемые экспериментально обратимые и необратимые деформации в качестве составляющих полных деформаций, следуя дополнительным предположениям [11 — 13]. В неравновесной термодинамике обратимые и необратимые деформации относятся к термодинамическим параметрам, поэтому их определение связано с постулированием для них уравнений изменения (переноса) [14—16]. Одно из основных предположений построенной модели [15, 17] заключается в требовании неизменности необратимых деформаций в процессах разгрузки, а также независимости термодинамического потенциала (внутренняя энергия, свободная энергия) от необратимых деформаций, что позволило не только записать в обозримой форме основные зависимости модели, но и решить в ее рамках ряд краевых задач о квазистатическом необратимом деформировании с последующей разгрузкой [10, 18, 19]. Здесь рассмотрим простейшую задачу динамики деформирования упруговязкопластической среды при начальных условиях, достигаемых за счет квазистатического деформирования. Согласно описанному ранее подходу [15, 17] кинематику деформирования в прямоугольной системе координат Эйлера xi зададим зависимостями
^ = ^ + Р7 - 2 - Ы* - Р^ +
Бе_
~тг
Щ
т
7 - 6у - £ц- 1 ((г1к - £Рк + ¿¡к)_к] + _1к(.£к] - £к] - ¿к]))
_ Р Р Р
- - р1к£к] - г1крк],
щ>
т
йПц
йг
(1.1)
— Г¡кПк] + П'кГ к!
¡к' к]
Ь ч йы( д ы1 ди7 1 ч , ч
еи = 2 + ^, и = й = ~дН + "и °р = д-, Г] = 2 (°и - +
В соотношениях (1.1) d¡j — компоненты тензора деформаций Альманси, e¡j и р ^ — их обратимые и необратимые составляющие, В/В1 — объективная производная тензоров по времени, которая записана для произвольного тензора с компонентами п щ и и( —
компоненты вектора перемещений и вектора скоростей точек среды, бР- — компоненты тензора скоростей пластических деформаций; нелинейная составляющая тензора вращений г^ была выписана полностью [15].
Следствием закона сохранения энергии в предположении о независимости термодинамических потенциалов от необратимых деформаций являются формулы Мурнагана
-РдИ + ди~(д7к- 2йк]) при р] = 0
дй7к
Ъц - <|
-Р1 ъи + д7 (Ък]- _кЦ) пРи Рцф 0
2 3
ж - - 2ц/1 - л + ьл1 + (ь - ц)/1 /2 - %/1 +
л -
\Ьк при Рц - 0 [4 при Рц Ф 0
(1.2)
- йкк, - й1кйЫ, 11 - _кк- 2 _"к_к",
12 - _"1_1" _"к_кг_г" + 4_"к_кг_гп_п"
В соотношениях (1.2) а у — компоненты тензора напряжений, р, р1 — добавочные гидростатические давления, Ж — упругий потенциал, ц, Ь, % — постоянные материала.
Полагаем, что необратимые деформации в материале накапливаются при достижении напряженным состоянием поверхности нагружения, которая в соответствии с принятым принципом максимума Мизеса является пластическим потенциалом. Такую поверхность будем задавать условием пластичности Треска, обобщенным на случай вязкопластического течения:
max|а, - а. = 2к + 2max|epk\ (1.3)
В зависимости (1.3) ст, epk — главные значения тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций, k — предел текучести, п — коэффициент вязкости.
Связь скоростей необратимых деформаций с напряжениями устанавливается ассоциированным законом пластического течения
4 = х да, /к,ер.) = к, х> 0 (1.4)
j j j
2. Квазистатическое вязкопластическое течение. Рассмотрим прямолинейное движение упруговязкопластической среды, составляющей слой тяжелого материала, расположенного на наклонной плоскости и нагружаемого по его свободной поверхности. Координатные оси выберем так, чтобы ось x2 была направлена вниз по нагружаемой поверхности слоя, а ось x¡ — внутрь слоя. Полагаем первоначально, что материал находится в равновесии при граничных условиях
"U = h = 0, а11 Ц = 0 = -а, а12 |x1 = 0 = \ (2.1)
Здесь u = u2(x:) — единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений, h — толщина слоя, ст и ^ — задаваемые постоянные. Постоянная ст может быть произвольной (в частности, ст может равняться нулю). Значения же постоянной ^ ограничены условиями выхода напряженного состояния на поверхность нагружения (1.3). Если < ^ < 0 (сдвиг вниз по наклонной плоскости), то условие пластичности выполнится на плоскости x1 = h, в форме
а12 IЯ1 = h = -к (2.2)
В случае 0 < ^ < (сдвиг вверх по наклонной плоскости) условие пластичности а12|x = 0 = k выполнится на плоскости x¡ = 0. Решение задачи приведено для первого случая.
Параметры напряженно-деформированного состояния в момент выполнения условия пластичности (2.2) вычисляются интегрированием уравнений равновесия с использованием условий (2.1) и (2.2), причем учитывается, что компоненты напряжений с компонентами тензора полных деформаций связаны первой формулой (1.2). Имеем
Стц = СТ33 = - pgx - а, 012 = рh -x) - к
1 2 1 2
022 = - pg1 X - а + - (рg2(h - X) - к) , и = — (- 6g2(^1 - h) + 2к(h - x)) (2.3) ц 2 ц
= pg2h - к, g1 = gcosф, g2 = gsinф
Здесь р — плотность материала, g — ускорение свободного падения, ф — угол наклона плоскости.
В соотношениях (2.3) и далее оставлены только старшие нелинейные слагаемые. Эти соотношения служат начальными условиями для последующего процесса пластического течения при увеличении со временем нагружающих усилий
011 Ц = 0 = -с2( 0, Я1 = 0 = СХ{ О (2.4)
Функция c2(t), как и постоянная ст, может быть произвольной, так как сти не влияет на процесс пластического течения. При этом ^(0) =
С момента времени t = 0 область вязкопластического течения ограничена плоскостями т(^ < x1 < h. Упругое ядро занимает область 0 < x1 < m(t). Поверхность т(^ — движущаяся граница области вязкопластического течения. Параметры напряженно-деформированного состояния в любой момент времени t = t1 > 0 находятся интегрированием уравнений равновесия с использованием краевых условий (2.1) и (2.4) и условия пластичности в форме
СТ12 = - к + (2.5)
На упругопластической границе x1 = m(t) выполняются условия равенства компонент напряжений, перемещений и производных дu/дx1 и du/dt = дu/дt = и, которые позволяют найти функции интегрирования. Таким образом, решением задачи являются зависимости: в области обратимого деформирования 0 < x1 < т(^
и = р(т - к)2 + Р, Р = -1(р^2(к2 -) - 2С1 ()(к -х 1))
2 ц
в области вязкопластического течения т(^ < x1 < h
и = рg2tп-1 (к2 - х2 + 2т(х 1 - к)) + Р
-1 (2.6)
Р11 = -2Р12(«12 -Р12) , Р12 = рg2tn (т - х 1), Р22 = 26^2 Значение m1 = m(t1), определяющее упругопластическую границу и соответствующее приложенной нагрузке c1(t1), определяется из условия равенства нулю скорости
пластической деформации е^2 (2.5) при x1 = m1, где
т1 = (С1 (11) + к)/(рg2) (2.7)
Напряжения в обеих областях определены соотношениями
сти = азз = - р^х1 + с2(11) , СТ12 = - рg2х1 + с1( 11)
2 1 (2.8) 022 = - рglх1 + с2 (11) + (С1(11) - рg2хl) Ц
3. Динамика разгрузки. Начиная с некоторого момента времени t > t2 при нагрузке c1(t) < —k, имеет место вязкопластическ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.