ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 621.01:534.1
© 2013 г. Вульфсон И.И.
ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ПРИВОДОВ С ЦИКЛОВЫМИ МЕХАНИЗМАМИ
Исследуется обмен энергией колебаний между внешним источником и подсистемами циклового механизма, схематизированного в виде динамической модели с медленно изменяющимися параметрами. Получены условия, при нарушении которых на временном отрезке кинематического цикла даже при отсутствии внешних возмущений возникают зоны возрастания и убывания энергии колебаний. Показано, что это вызвано работой внешнего источника при реализации нестационарных связей и возникающей при этом динамической неустойчивостью системы на конечном отрезке времени. Установленные динамические эффекты и основные выводы иллюстрируются результатами компьютерного моделирования. Приводятся инженерные рекомендации для понижения виброактивности цикловых механизмов.
1. В задачах динамики машин нередко приходится сталкиваться с различными эффектами, связанными с переносом энергии из одной подсистемы в другую или энергетическим обменом между различными формами колебаний. Иногда эти эффекты носят позитивный характер, способствуя виброзащите машин и механизмов. Одним из широко известных и наглядных примеров такого эффекта является динамическое гашение, при соответствующей настройке которого реакция со стороны гасителя на основную массу на заданном установившемся режиме равна по величине вынуждающей силе, но противоположна ей по направлению. При этом энергия внешнего источника целенаправленно переносится от объекта виброзащиты на динамический гаситель. Аналогичный эффект наблюдается при динамической разгрузке привода цикловых механизмов, когда происходит энергетический обмен между исполнительным органом и динамическим разгружателем [1, 2].
В других случаях эти эффекты приводят к нежелательному перераспределению колебаний и их локализации в определенных узлах, звеньях, сечениях и т.п. При этом нередко большую роль играет переменность параметров колебательной системы, которая свойственна приводам машин с механизмами циклового действия. В частности, возможны локальные нарушения условий динамической устойчивости, когда на ограниченных отрезках времени происходит энергетическая "подпитка" системы, приводящая к интенсивному росту амплитуд колебаний [3—5]. Непосредственно к рассматриваемому классу задач относится пространственная локализация в колебательных цепочках [6—8], когда в определенных сечениях нарушается строгая динамическая регулярность системы из-за так называемых "включений", с которыми связано возник-
л ''
||
1 1
И'1'
. г
и
0
Рис. 1
новение четко выраженных экстремумов в формах колебаний. На базе классической модели данная задача в работе [6] конкретизирована на примере колебаний струны, а также балок Бернулли—Эйлера и Тимошенко с сосредоточенными включениями.
Подобные эффекты наблюдаются и при анализе динамики машин и автоматических линий с повторяющимися секциями (модулями). В частности, устранение пространственной локализации необходимо при проектировании машин с повышенной протяженностью зоны технологической обработки изделия, когда колебания длинных рабочих органов должны быть близки к синфазным [1, 3—5]. Нарушение этого требования приводит к появлению помимо нежелательных динамических эффектов к разного рода дефектам выпускаемой продукции, например, неравнота пряжи и кромочные дефекты при изготовлении тканей, обрывы нитей, повреждения печатной продукции в полиграфических машинах, нарушения заданной точности и чистоты обрабатываемой поверхности в металлорежущих станках и др. Сохранение синфазной формы колебаний при относительно большом числе приводных цикловых механизмов является достаточно сложной задачей, требующей дальнейшего исследования.
Анализ показал, что применительно к задачам динамики машин рассматриваемая проблема не вмещается в рамки классической теории. Это связано с тем, что вместо точечных масс фигурируют повторяющиеся модули, образующие системы сложной структуры с переменными параметрами и нелинейными элементами. Кроме того, существенно отличаются и "включения", которые в колебательных системах машин связаны с отклонениями от регулярности из-за конструктивных и других факторов, нарушающими строгую динамическую идентичность повторяющихся модулей.
Отметим, что рассматриваемая проблема носит достаточно общий характер и встречается в различных разделах физики. Например, в квантовой механике известно так называемое туннелирование Ландау—Зинера, при котором при внешнем возмущении в системе происходит энергетический обмен между двумя уровнями [9, 10]. В работе [10] был предложен механический аналог туннелирования, представляющий собой систему двух слабо связанных маятников, в которой парциальная частота одного из них медленно изменяется во времени и перекрывает зону внутреннего резонанса. При этом, если переход энергии от одного осциллятора к другому оказывается необратимым, то возникает своеобразная ловушка для "захвата" колебательной энергии. Такой эффект на рис. 1 иллюстрируется приведенными в работе [9] графиками переноса колебаний и1 из одной подсистемы (сплошная линия) в другую (штриховая линия).
2. Рассмотрим перенос энергии колебаний на примере динамической модели циклового механизма с упругим приводом при последовательном соединении элементов /0 — с1 — /1 — П — с2 — /2 (рис. 2). Примем следующие условные обозначения: 1 ^ — мо-
Фо c Ф1 . c1
Ф2
¥i
-fr- J1-
¥2
8, 0,05
0
-0,05
У * ~Ч Ц2 = 0,2
- ' /
_____ —1 1 чц 1 1 1
0,5 1,0 1,5^2,0—2,5^3,0
/Ф0
- \ /
Рис. 2
Рис. 3
c
0
2
менты инерции; Cj — коэффициенты жесткости; у, — коэффициенты рассеяния;
= Фо + Чъ ф2 = П(ф0) + q2, где ф, — абсолютные угловые координаты соответствующих инерционных элементов; ф0 = ю0? — идеальная координата элемента J0 при ю0 = const; qt — обобщенные координаты, равные абсолютным динамическим ошибкам. т.е. отклонениям от заданного программного движения; Q, — обобщенные силы.
Полагая функцию П(ф1) непрерывной и дифференцируемой, проведем линеаризацию этой функции и ее первых двух производных в окрестности программного движения [1, 2]
П(Фо + Я\)~П * + П*?!, П' (фо + qx )«П* + П* qx, (1)
где звездочка отвечает аргументу ф0 = ю0?; ()' = й/йф.
Согласно (1) данная модель после линеаризации в окрестности программного движения описывается системой дифференциальных уравнений
q1 + к1(251q1 + ?!) + [252(n*q1 - q2) + k2(^n*qi - ?2)] = W1( t), (2)
?2 + k2[252(42 - П*^1) + к2(q2 - n*q1)] = W2(t),
где k = Jcj/Jt, ц = JJ2/T1, 8,- = у,/(4л) при ( i = 1, 2); W,(t) — внешнее возбуждение.
Для понимания наблюдаемых динамических эффектов сначала рассмотрим частный случай, при котором задача сводится к анализу колебательной системы с переменными параметрами и одной степенью свободы. Если выходное звено циклового механизма схематизировать в виде абсолютно жесткого диска (с2 ^ да), то система описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением:
Ji ?i + cxqx = -П' (Ф1>{ J2[n'' (Ф1>( qi + ®о )2 + П' (фх) ^ ] + ßj}, (3)
где в дополнение к ранее введенным условным обозначениям примем q1 = ф1 = ф0; Q* — внешняя неконсервативная обобщенная сила.
При этом линеаризованное дифференциальное уравнение, согласно (1), (3), принимает вид
qi + 2и (t) qi + p2 (t) qi = W( t), (4)
где p = 1 + ц П^. ; kx = Jci/Ji; функция n(t) состоит из диссипативной и гироскопической составляющих n(t) = n0(t) + n:(t).
Можно показать, что и0(?) = 81р((), где 8 = у1/(4я), — коэффициент рассеяния при позиционной диссипативной силе. Выделяя в уравнении (3) члены, пропорциональные д!, имеем
п;/( 1 + цП'*) •
(5)
Отметим, что уравнение (4) справедливо для любой колебательной системы с одной степенью свободы, описывающей привод с приведенным моментом инерции /(ф) = /1(1 + ц2П'2), где ц2 = (/шах — /1)//1 или с переменным приведенным коэффициентом жесткости [2].
Воспользуемся методом условного осциллятора, который при медленно меняющейся функции положения приводит к решению на уровне ВКБ-приближения первого порядка [1, 2]. Тогда
qi = ^оехР
Jn (t) dt
о
Jki/p (t) c
Jk(t) dt
+ a
о
+ Y( t),
(6)
где А0, а — определяются начальными условиями, а частное решение У(() определяется как
Y( t) =
W( u) Г
I-7=-=iexp - J iJn (u) J
JpJy Jp^)
- I n d £,
sin
Jp(^) d^
du •
(7)
Зависимость (7) при p = const совпадает с формулой Дюамеля.
В рассматриваемой колебательной системе помимо энергетических потерь, возникающих при преодолении диссипативных сил, происходит обмен энергией с внешним источником энергии неограниченной мощности.
Остановимся на анализе свободных колебаний Y(t) = 0. В практике динамического расчета технологических машин свободные колебания чаще всего представляют интерес с позиций частотного анализа, являющегося важным этапом определения вынужденных колебаний. При этом принимается во внимание, что свободные колебания, возникающие за счет энергии, внесенной в систему в начальный момент времени, достаточно быстро затухают и практически не оказывают влияния на установившиеся колебательные режимы. Между тем виброактивность цикловых технологических машин в основном определяется уровнем так называемых свободных сопровождающих колебаний [1—5, 11], которые при сложных законах движения, зазорах и других возмущениях импульсного характера не только затухают, но и возбуждаются. Основным источником возбуждения таких колебаний в цикловых механизмах обычно являются скачкообразные или резкие изменения производных функции положения. Строго говоря, эти колебания также следует отнести к вынужденным колебаниям, однако по частотному спектру, удаленности от резонансов и методологическим соображениям их удобнее рассматривать как свободные колебания, возникающие при t = 11 > 0. При этом соответствующие "начальные" условия определяются при представлении частного решения (7) в виде быстро сходящегося ряда по производным функции возмущения W(t) [1, 2].
Выделим переменную составляющую амплитуды колебаний, которая, согласно (6), описывается функцией
exp
- J( n0 + n1) dt
Jk1W).
(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.