ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. И. А. Солдатенков
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
УЧЕТ ТРЕНИЯ, ИЗНОСА И СЦЕПЛЕНИЯ
Дается решение плоской задачи о контактном взаимодействии периодической системы выпуклых штампов с упругой полуплоскостью для двух видов граничных условий: 1) скольжение штампов при наличии трения и износа, 2) внедрение штампов при наличии сцепления (адгезии). Задача сводится к каноническому сингулярному интегральному уравнению на дуге окружности в комплексной плоскости. Решение этого уравнения выражается через простые алгебраические функции комплексного переменного, что существенно упрощает его анализ. Получены асимптотические выражения для решения задачи в случае, когда размер области контакта мал по сравнению с расстоянием между штампами.
Впервые решение периодической контактной задачи теории упругости было дано для системы штампов с плоскими основаниями, контактирующих с упругой полуплоскостью при отсутствии трения [1]. Позже был рассмотрен случай периодического контакта выпуклых штампов [2, 3], а также принято во внимание трение скольжения на контакте [4]. Известно решение периодической контактной задачи со сцеплением при заданных граничных перемещениях и фиксированной области контакта [5]. Имеется достаточно полное описание разных постановок плоских периодических контактных задач теории упругости и методов их решения [6].
Ниже рассматриваются периодические контактные задачи для упругой полуплоскости, которые отличаются от вышеупомянутых тем, что в них учитывается адгезионная составляющая трения и износ полуплоскости, а также рост области контакта при внедрении штампов со сцеплением.
1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим упругую полуплоскость, граница которой контактирует с бесконечной системой одинаковых абсолютно жестких выпуклых штампов, расположенных на расстоянии Ь друг от друга (фиг. 1). Предполагается, что каждый штамп нагружен одинаковым образом касательной Р1 и нормальной Р2 внешними силами.
Выберем произвольный штамп и свяжем с ним систему координат Оху, ось х которой направим параллельно недеформированной границе полуплоскости, а ось у — перпендикулярно ей. Присвоим выбранному штампу номер 0, тогда как штампам, расположенным левее (правее) этого штампа, присвоим номера п = —1, —2, ... (п = 1, 2, ...). Оди-
Фиг. 1
наковую для всех штампов форму опишем уравнением у = g(x), где g(x) — заданная функция, g(0) = 0.
Обозначим через q1 = т^ = 0 и q2 = — сту|у = 0 = p касательное контактное напряжение и контактное давление, а через u и и — перемещения верхней границы полуплоскости вдоль осей x и у, соответственно. Области контакта штампов с полуплоскостью представим отрезками Ьп] оси x (п = 0, ±1, ±2, ...), при этом для упрощения записи дальнейших выкладок дополнительно обозначим a = —a0, Ь = Ь0.
В силу сделанных выше допущений, напряженно-деформированное состояние полуплоскости — периодическое, так что
2(х + пЬ) = 2(х), и(х + пЬ) = и(х), и(х + пЬ) = и(х)
ап +1 - ап = Ьп +1 - Ьп = Ь, Ьп - ап = 21, п = 0,±1,±2,_
где 2l = a + Ь — длина области контакта, 2l < L. Это свойство позволяет в дальнейшем ограничиться отрезком [—a, Ь] для описания свойств рассматриваемых величин и соотношений между ними.
Далее будут рассматриваться два вида граничных условий, соответствующих задаче 1 о равномерном скольжении штампов в направлении оси x со скоростью V при наличии трения и износа полуплоскости и задаче 2 о постепенном внедрении штампов в полуплоскость при наличии сцепления. В задаче 1 считается заданной и постоянной нагрузка P2, тогда как в задаче 2 нагрузки P1 и P2 монотонно возрастают, будучи связанными законом нагружения вида
Л = Nр2), Р2 > о (1.2)
Допуская, что трение штампа по полуплоскости описывается законом Кулона, а рост износа W полуплоскости во времени t подчиняется линейному закону изнашивания dW/dt = cWVp, представим граничные условия в виде
д1(х) = у.р(х) + т0, и'(х) = £(х) - ежр(х), х е [-а, Ь] для задачи 1 [7] (1.3)
и(х, а) = ф(х), и(х, а) = £(х), х е [-а, Ь(а)] для задачи 2 [8] (1.4)
Здесь ц — коэффициент трения, т0 — адгезионная составляющая трения, cW — параметр износостойкости материала полуплоскости, ф^) — касательное перемещение в пределах области контакта, причем в силу выбора системы координат ф(0) = 0. В задаче 2 монотонно возрастающий размер a области контакта используется при записи функций в качестве временного аргумента, учитывающего изменение условий деформирования полуплоскости по мере внедрения штампов. Независимость функции ф^) от a обуславливается тем, что пришедшие в контакт со штампом точки границы полуплоскости больше не испытывают перемещений относительно штампа — условие полного сцепления контактирующих тел.
В дальнейшем предполагается, что при каждом значении размера a области контакта распределения контактных напряжений q1 2^) удовлетворяют условию Гельдера, производная g'(x) — гладкая функция, а производная ф'^) — кусочно-гладкая функция с возможным разрывом в точке x = 0:
д1 2(х) е Н[-а, Ь], £(х) е С1 [-а, Ь], Ф'(х) е С[-а, Ь] п С1[-а, 0] п С1 [0, Ь] (1.5)
Для определения зависимости между перемещениями границы полуплоскости и контактными напряжениями воспользуемся соотношениями [9]
- пх-2(х) + ["Ъ - ты'(х), - пх-Дх) - Г "Ъ - т и'(х), х е (да, да)
•Ч - х .1Ъ - х (1.6)
-да -да
т - пЕ/[2(1 - V2)], х = (1 - 2у)/[2(1 - у)]
E — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона.
Следуя И.Я. Штаерману [3], примем во внимание свойство (1.1) периодичности контактных напряжений и соответствующих областей контакта и используем
представление
да Ь да Ьп
"Ъ - Я-х-1 "Ъ + "Ъ-
-да -а п - -да ап
п * о п (1.7)
Л |-1,2(Ъ)^|(Ъ - х)"Ъ, х е(-а, Ь)
Последнее равенство получается в результате внесения операции суммирования под знак интеграла, в силу равномерной сходимости соответствующего функционального ряда, и использования для этого ряда табличного выражения [10]. Представление (1.7) позволяет для произвольно заданной области контакта [—a, Ь] получить из соотношений (1.6) систему интегральных уравнений с ядром Гильберта:
пх-2(х) + Л |-1(Ъ)^Л(Ъ -х)"Ъ - ти'(х)
-а (1.8)
Ь
пх-1 (х) - Л |-2(Ъ)|(Ъ - х)"Ъ - т и'(х); х е (-а, Ь)
Уравнения (1.8) следует дополнить условиями равновесия штампа, которые в предположении пологости его формы: ^'(х)! 1 имеют вид
Ь
Рк - (х)"х, к - 1, 2 (1.9)
-а
Равенства (1.8) и (1.9) совместно с граничными условиями (1.3) или (1.4) образуют системы уравнений для нахождения контактных напряжений qlJ 2 и размеров а, Ь области контакта в сформулированных выше задачах. В задаче 2 дополнительно используется закон нагружения (1.2) и требуется найти еще касательное перемещение ф(х) в пределах области контакта.
Отметим, что в задаче 1 износ и касательная нагрузка Р1 рассчитываются по формулам
Щх) - Сщ¡р(Ъ)"Ъ, Р - ЦР + 2/То
Ь
-а
Ь
а
Ь
х
Фиг. 2
причем первая формула получается интегрированием закона изнашивания dW/dt = = cWVp [7], а вторая — интегрированием первого граничного условия (1.3) при учете условий равновесия (1.9).
2. Общие решения. В дальнейших выкладках будут использоваться величины
X = 2п 1/Ь = п(а + Ь)/Ь > 0, г = (Ь - а)/2
(2.1)
первая из которых характеризует относительный размер области контакта, а вторая — степень ее асимметрии.
Для получения общего решения уравнений (1.8) перейдем в них от интегралов с ядром Гильберта к интегралам типа Коши, воспользовавшись известным приемом [11]. А именно, введем вместо x, ^ новые комплексные переменные s0, s по формулам
я0 = - I ехр
' Ь(х - г)
+ у0, ^ = - I ехр
)Ь- г)'
+ У0, У0 = Iсо;3X (2.2)
ds
Я - ^0
о1Е Ь - х) + /)
Кроме того, можно убедиться, что при замене (2.2) отрезок [—a, Ь] действительной оси x переходит в контур Г, расположенный в комплексной плоскости и представляющий собой дугу окружности радиуса 1, пересекающую действительную ось в точках s1 = —зтА, и s2 = а мнимую — в точке — i + у0 (фиг. 2). При изменении ^ от — a до Ь соответствующая точка s перемещается по контуру Г от s1 до s2. В дальнейшем считается, что контур Г не включает концы s1, s2.
При учете этих результатов, а также условий равновесия (1.9), замена (2.2) позволяет придать уравнениям (1.8) требуемый вид
- пХа2 (Я0) + = ^ (Я0) + I - Р
1 я - я0 Ь
- ^(Я0) - = ^0) - ЬРъ
¡я - я0 Ь
(2.3)
Я0 еГ
так что
г
г
2(^) = 41,2(х), (^) = ти'(х), ^) = т и'(х) (2.4)
Замена переменной (2.2) в условиях равновесия (1.9) дает равенства
Рк = А , * = 1, 2 (2.5)
2яи 5 - у0
г
Далее положим
Г1 для задачи 1
Ф = \ (2.6)
[ / для задачи 2
Задача 1. Учитывая данное выше определение функций ст1 2(з0) и 2(з0), заключаем, что замена (2.2) придает граничным условиям (1.3) вид
01 (5) = 5) + То, = - шс^^), 5 еГ; ю($о) = ш£(х) (2.7)
Первое равенство (2.7) дает возможность исключить из рассмотрения функцию ст:(50), отвечающую касательному контактному напряжению ^(х), и воспользоваться для решения задачи со скольжением только вторым уравнением (2.3). Запишем это уравнение в каноническом виде [11]
А02() + - Р^ = П(^0), е Г (2.8)
пи 5 - 50 г
коэффициенты и правая часть которого определяются при помощи равенств (2.7), так что А = шеж- В = -я/, 0.(5) = ю(5) + я%Т0 - /яР2/Ь
Учитывая условия (1.5), решение уравнения (2.8) ищем в классе ограниченных функций. Такое решение можно представить с помощью оператора Ж* в виде [11]
02(50) = Ж*(П)(50) = А) - П^0) Г "(;)Д8 ), 50 е Г (2.9)
ЯI 5)(5 - 50)
г
при необходимом и достаточном условии
(■ад^ = 0 (2.10)
2(5)
г
где
1/2 - 0
2(5 ) = А (5 - 51)
5 -52
5 " 51
£ = Я е/М 1/2 - 0)
ф ео8 я0
А * = -ф- бш2 я0, В* = -/ф ео82 я0, 0 = 1 аге1§А е ( -1 1 2я я я я V
В дальнейшем будут использоваться следующие свойства функции
г йи _ Я Я0 г г йи
50 е 1
(2.11)
■2(5)(5 - 50) 50Г 0 ' -Щ5)
гг
6 Прикладная математика и механика, № 2
; ш =ф <2Л2)
которые можно установить, если замкнуть линию Г отрезком з2] действительной оси (фиг. 2) и применить к полученному замкнутому контуру интегральную теорему Коши [12], а также воспользоваться известными табличными интегралами [10].
Первый ин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.