научная статья по теме ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. УЧЕТ ТРЕНИЯ, ИЗНОСА И СЦЕПЛЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. УЧЕТ ТРЕНИЯ, ИЗНОСА И СЦЕПЛЕНИЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 77. Вып. 2, 2013

УДК 539.3

© 2013 г. И. А. Солдатенков

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

УЧЕТ ТРЕНИЯ, ИЗНОСА И СЦЕПЛЕНИЯ

Дается решение плоской задачи о контактном взаимодействии периодической системы выпуклых штампов с упругой полуплоскостью для двух видов граничных условий: 1) скольжение штампов при наличии трения и износа, 2) внедрение штампов при наличии сцепления (адгезии). Задача сводится к каноническому сингулярному интегральному уравнению на дуге окружности в комплексной плоскости. Решение этого уравнения выражается через простые алгебраические функции комплексного переменного, что существенно упрощает его анализ. Получены асимптотические выражения для решения задачи в случае, когда размер области контакта мал по сравнению с расстоянием между штампами.

Впервые решение периодической контактной задачи теории упругости было дано для системы штампов с плоскими основаниями, контактирующих с упругой полуплоскостью при отсутствии трения [1]. Позже был рассмотрен случай периодического контакта выпуклых штампов [2, 3], а также принято во внимание трение скольжения на контакте [4]. Известно решение периодической контактной задачи со сцеплением при заданных граничных перемещениях и фиксированной области контакта [5]. Имеется достаточно полное описание разных постановок плоских периодических контактных задач теории упругости и методов их решения [6].

Ниже рассматриваются периодические контактные задачи для упругой полуплоскости, которые отличаются от вышеупомянутых тем, что в них учитывается адгезионная составляющая трения и износ полуплоскости, а также рост области контакта при внедрении штампов со сцеплением.

1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим упругую полуплоскость, граница которой контактирует с бесконечной системой одинаковых абсолютно жестких выпуклых штампов, расположенных на расстоянии Ь друг от друга (фиг. 1). Предполагается, что каждый штамп нагружен одинаковым образом касательной Р1 и нормальной Р2 внешними силами.

Выберем произвольный штамп и свяжем с ним систему координат Оху, ось х которой направим параллельно недеформированной границе полуплоскости, а ось у — перпендикулярно ей. Присвоим выбранному штампу номер 0, тогда как штампам, расположенным левее (правее) этого штампа, присвоим номера п = —1, —2, ... (п = 1, 2, ...). Оди-

Фиг. 1

наковую для всех штампов форму опишем уравнением у = g(x), где g(x) — заданная функция, g(0) = 0.

Обозначим через q1 = т^ = 0 и q2 = — сту|у = 0 = p касательное контактное напряжение и контактное давление, а через u и и — перемещения верхней границы полуплоскости вдоль осей x и у, соответственно. Области контакта штампов с полуплоскостью представим отрезками Ьп] оси x (п = 0, ±1, ±2, ...), при этом для упрощения записи дальнейших выкладок дополнительно обозначим a = —a0, Ь = Ь0.

В силу сделанных выше допущений, напряженно-деформированное состояние полуплоскости — периодическое, так что

2(х + пЬ) = 2(х), и(х + пЬ) = и(х), и(х + пЬ) = и(х)

ап +1 - ап = Ьп +1 - Ьп = Ь, Ьп - ап = 21, п = 0,±1,±2,_

где 2l = a + Ь — длина области контакта, 2l < L. Это свойство позволяет в дальнейшем ограничиться отрезком [—a, Ь] для описания свойств рассматриваемых величин и соотношений между ними.

Далее будут рассматриваться два вида граничных условий, соответствующих задаче 1 о равномерном скольжении штампов в направлении оси x со скоростью V при наличии трения и износа полуплоскости и задаче 2 о постепенном внедрении штампов в полуплоскость при наличии сцепления. В задаче 1 считается заданной и постоянной нагрузка P2, тогда как в задаче 2 нагрузки P1 и P2 монотонно возрастают, будучи связанными законом нагружения вида

Л = Nр2), Р2 > о (1.2)

Допуская, что трение штампа по полуплоскости описывается законом Кулона, а рост износа W полуплоскости во времени t подчиняется линейному закону изнашивания dW/dt = cWVp, представим граничные условия в виде

д1(х) = у.р(х) + т0, и'(х) = £(х) - ежр(х), х е [-а, Ь] для задачи 1 [7] (1.3)

и(х, а) = ф(х), и(х, а) = £(х), х е [-а, Ь(а)] для задачи 2 [8] (1.4)

Здесь ц — коэффициент трения, т0 — адгезионная составляющая трения, cW — параметр износостойкости материала полуплоскости, ф^) — касательное перемещение в пределах области контакта, причем в силу выбора системы координат ф(0) = 0. В задаче 2 монотонно возрастающий размер a области контакта используется при записи функций в качестве временного аргумента, учитывающего изменение условий деформирования полуплоскости по мере внедрения штампов. Независимость функции ф^) от a обуславливается тем, что пришедшие в контакт со штампом точки границы полуплоскости больше не испытывают перемещений относительно штампа — условие полного сцепления контактирующих тел.

В дальнейшем предполагается, что при каждом значении размера a области контакта распределения контактных напряжений q1 2^) удовлетворяют условию Гельдера, производная g'(x) — гладкая функция, а производная ф'^) — кусочно-гладкая функция с возможным разрывом в точке x = 0:

д1 2(х) е Н[-а, Ь], £(х) е С1 [-а, Ь], Ф'(х) е С[-а, Ь] п С1[-а, 0] п С1 [0, Ь] (1.5)

Для определения зависимости между перемещениями границы полуплоскости и контактными напряжениями воспользуемся соотношениями [9]

- пх-2(х) + ["Ъ - ты'(х), - пх-Дх) - Г "Ъ - т и'(х), х е (да, да)

•Ч - х .1Ъ - х (1.6)

-да -да

т - пЕ/[2(1 - V2)], х = (1 - 2у)/[2(1 - у)]

E — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона.

Следуя И.Я. Штаерману [3], примем во внимание свойство (1.1) периодичности контактных напряжений и соответствующих областей контакта и используем

представление

да Ь да Ьп

"Ъ - Я-х-1 "Ъ + "Ъ-

-да -а п - -да ап

п * о п (1.7)

Л |-1,2(Ъ)^|(Ъ - х)"Ъ, х е(-а, Ь)

Последнее равенство получается в результате внесения операции суммирования под знак интеграла, в силу равномерной сходимости соответствующего функционального ряда, и использования для этого ряда табличного выражения [10]. Представление (1.7) позволяет для произвольно заданной области контакта [—a, Ь] получить из соотношений (1.6) систему интегральных уравнений с ядром Гильберта:

пх-2(х) + Л |-1(Ъ)^Л(Ъ -х)"Ъ - ти'(х)

-а (1.8)

Ь

пх-1 (х) - Л |-2(Ъ)|(Ъ - х)"Ъ - т и'(х); х е (-а, Ь)

Уравнения (1.8) следует дополнить условиями равновесия штампа, которые в предположении пологости его формы: ^'(х)! 1 имеют вид

Ь

Рк - (х)"х, к - 1, 2 (1.9)

Равенства (1.8) и (1.9) совместно с граничными условиями (1.3) или (1.4) образуют системы уравнений для нахождения контактных напряжений qlJ 2 и размеров а, Ь области контакта в сформулированных выше задачах. В задаче 2 дополнительно используется закон нагружения (1.2) и требуется найти еще касательное перемещение ф(х) в пределах области контакта.

Отметим, что в задаче 1 износ и касательная нагрузка Р1 рассчитываются по формулам

Щх) - Сщ¡р(Ъ)"Ъ, Р - ЦР + 2/То

Ь

Ь

а

Ь

х

Фиг. 2

причем первая формула получается интегрированием закона изнашивания dW/dt = = cWVp [7], а вторая — интегрированием первого граничного условия (1.3) при учете условий равновесия (1.9).

2. Общие решения. В дальнейших выкладках будут использоваться величины

X = 2п 1/Ь = п(а + Ь)/Ь > 0, г = (Ь - а)/2

(2.1)

первая из которых характеризует относительный размер области контакта, а вторая — степень ее асимметрии.

Для получения общего решения уравнений (1.8) перейдем в них от интегралов с ядром Гильберта к интегралам типа Коши, воспользовавшись известным приемом [11]. А именно, введем вместо x, ^ новые комплексные переменные s0, s по формулам

я0 = - I ехр

' Ь(х - г)

+ у0, ^ = - I ехр

)Ь- г)'

+ У0, У0 = Iсо;3X (2.2)

ds

Я - ^0

о1Е Ь - х) + /)

Кроме того, можно убедиться, что при замене (2.2) отрезок [—a, Ь] действительной оси x переходит в контур Г, расположенный в комплексной плоскости и представляющий собой дугу окружности радиуса 1, пересекающую действительную ось в точках s1 = —зтА, и s2 = а мнимую — в точке — i + у0 (фиг. 2). При изменении ^ от — a до Ь соответствующая точка s перемещается по контуру Г от s1 до s2. В дальнейшем считается, что контур Г не включает концы s1, s2.

При учете этих результатов, а также условий равновесия (1.9), замена (2.2) позволяет придать уравнениям (1.8) требуемый вид

- пХа2 (Я0) + = ^ (Я0) + I - Р

1 я - я0 Ь

- ^(Я0) - = ^0) - ЬРъ

¡я - я0 Ь

(2.3)

Я0 еГ

так что

г

г

2(^) = 41,2(х), (^) = ти'(х), ^) = т и'(х) (2.4)

Замена переменной (2.2) в условиях равновесия (1.9) дает равенства

Рк = А , * = 1, 2 (2.5)

2яи 5 - у0

г

Далее положим

Г1 для задачи 1

Ф = \ (2.6)

[ / для задачи 2

Задача 1. Учитывая данное выше определение функций ст1 2(з0) и 2(з0), заключаем, что замена (2.2) придает граничным условиям (1.3) вид

01 (5) = 5) + То, = - шс^^), 5 еГ; ю($о) = ш£(х) (2.7)

Первое равенство (2.7) дает возможность исключить из рассмотрения функцию ст:(50), отвечающую касательному контактному напряжению ^(х), и воспользоваться для решения задачи со скольжением только вторым уравнением (2.3). Запишем это уравнение в каноническом виде [11]

А02() + - Р^ = П(^0), е Г (2.8)

пи 5 - 50 г

коэффициенты и правая часть которого определяются при помощи равенств (2.7), так что А = шеж- В = -я/, 0.(5) = ю(5) + я%Т0 - /яР2/Ь

Учитывая условия (1.5), решение уравнения (2.8) ищем в классе ограниченных функций. Такое решение можно представить с помощью оператора Ж* в виде [11]

02(50) = Ж*(П)(50) = А) - П^0) Г "(;)Д8 ), 50 е Г (2.9)

ЯI 5)(5 - 50)

г

при необходимом и достаточном условии

(■ад^ = 0 (2.10)

2(5)

г

где

1/2 - 0

2(5 ) = А (5 - 51)

5 -52

5 " 51

£ = Я е/М 1/2 - 0)

ф ео8 я0

А * = -ф- бш2 я0, В* = -/ф ео82 я0, 0 = 1 аге1§А е ( -1 1 2я я я я V

В дальнейшем будут использоваться следующие свойства функции

г йи _ Я Я0 г г йи

50 е 1

(2.11)

■2(5)(5 - 50) 50Г 0 ' -Щ5)

гг

6 Прикладная математика и механика, № 2

; ш =ф <2Л2)

которые можно установить, если замкнуть линию Г отрезком з2] действительной оси (фиг. 2) и применить к полученному замкнутому контуру интегральную теорему Коши [12], а также воспользоваться известными табличными интегралами [10].

Первый ин

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»