ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. О. В. Холостова
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ БЛИЗКОГО К ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМУ СПУТНИКА В ОКРЕСТНОСТИ КОНИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ
Рассматриваются движения близкого к динамически симметричному спутника - твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Строятся периодические движения, рождающиеся из конической прецессии динамически симметричного спутника в невозмущенной задаче. Проводится строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений. В невозмущенной задаче одна из координат - угол собственного вращения спутника - циклическая; система дифференциальных уравнений, описывающих движения возмущенной задачи, близка к системе с циклической координатой. Исследуется резонансный случай, когда отношение одной из частот малых колебаний приведенной системы в окрестности устойчивого равновесия к частоте изменения циклической координаты близко к целому числу, и случай его отсутствия. При наличии указанного резонанса проводится обобщение полученных ранее [1] результатов исследования периодических движений автономных гамиль-тоновых систем с двумя степенями свободы на рассматриваемый здесь случай системы с тремя степенями свободы. При отсутствии этого резонанса выделены случаи параметрического резонанса, резонанса третьего и четвертого порядков, а также общий нерезонансный случай. Использованы результаты устойчивости неавтономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах [2], а также (в общем нерезонансном случае) результаты КАМ-теории [3].
Устойчивость конической прецессии динамически симметричного спутника на круговой орбите исследована [4-7]. Для случая слабоэллиптической орбиты [8] и для случая близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите [9] найдены (в виде рядов по степеням малого параметра) периодические движения спутника и исследована их устойчивость в линейном приближении. Исследованы [10] периодические движения динамически симметричного спутника на слабоэллиптической орбите при резонансе в вынужденных колебаниях, когда одна из частот малых колебаний спутника близка к среднему движению его центра масс. Построены 2яр-периодические движения динамически симметричного спутника на эллиптической орбите, рождающиеся из 2яр/д-периодических движений на круговой орбите, проведен анализ их устойчивости в линейном приближении [11].
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение спутника - твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Пусть 0ХУ2 - орбитальная система координат с началом в центре масс О спутника, ее оси ОХ, ОУ и 02 направлены соответственно по трансверсали, по бинормали к орбите и по радиус-вектору центра масс. Со спутником свяжем систему координат Охуг, оси которой направлены вдоль его главных центральных осей инерции. Ориентацию системы координат Охуг относительно 0ХУ2 зададим при помощи углов Эйлера у, 0, ф.
Движение спутника относительно центра масс описывается каноническими дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона
2
„ (А 2 .2 j Рш 1 (А . 2 2 j 2
H = I IB cos ф + sin ф1-22- + _1 ,_sln ф + cos ф1 pe +
+ 2
'2 sin e
1
A 2 .2 j 2„ AI 2 (A Л sin ф cos ф
Bcos ф + sin ф J ctg e + C Рф - (BB - 1J si^n e ^^ Рш Pe ■
B cos2 ф + sin2 ф! CHe p¥ Рф - (А - 1 j sin ф cos ф ctg e Pe Рф - cos ш ctg e Рш -
cos ш 3
-sin ш р- + "¡ine Рф + 2
B 2 2 j 2 C 2 " Acos ф + sin ф1 sin e + a cos e
(1.1)
где A, B, C - главные центральные моменты инерции спутника, p¥, pe, Рф - соответствующие координатам ш, e, ф импульсы, обезразмеренные при помощи множителя Аю0, ю0 - среднее движение центра масс. В качестве независимой взята переменная т = ra0i.
Пусть моменты инерции А и B спутника близки. Тогда, вводя малый параметр е = = (А - B)/B (0 < е ^ 1), а также параметр а = C/A (0 < а < 2), гамильтониан (1.1) можно записать в виде
H = H(0) + е H(1)
22
H(0) = pу pe + 1 (2 e +1 j p2 ctg e p p
H = 2sin2e + ^ + 2lctg e + аJPФ - sinBРшрф-
- cosшctg eРш - sinшPe + C¡onSУРф + 2(а - 1)cos2 e (1.2)
„(1) cos ф 2 1.2 2 1 2 2 ~ 2 sin ф cos ф
H = -г Рш + 2sin фр- + 2cos ф ctg e Рф--^пй Рш Pe -
2 2 2 sine
2
cos фctge ^ „ 3 2.2.
--sine Рш Рф -sin ф cos ф ctg e Pe Рф-2 ( 1 + е )cos ф sin e
H(0) - невозмущенный гамильтониан, отвечающий движению динамически симметричного (А = B) спутника. Координата ф в системе с гамильтонианом H(0) циклическая и значит Рф = p^ = const. Возмущающая часть eH(1) гамильтониана (1.2) содержит координату ф и периодична по ней с периодом, равным п. Таким образом, система с гамильтонианом (1.2) близка к системе с циклической координатой.
Рассмотрим частное движение невозмущенной системы, описываемое соотношениями
Рф
e = -о = аг^тза-^, p- = Pe0 = 0
ш = шо = 0 Рш = Рш0 = 3 (а -1) sin eocos eo ф(т) = От + ф( 0), О = 4(аа- 1 ) sin e0
и отвечающее конической прецессии динамически симметричного спутника. Для конической прецессии ось спутника перпендикулярна вектору скорости центра масс и
а 2
Фиг. 1
составляет с радиус-вектором центра масс угол 90; при этом спутник вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Q.
На фиг. 1 в плоскости параметров а, 90 (0 < а < 2, 0 < 0О < п/2) выделены область I (0 < а < 1), где выполняются достаточные условия устойчивости конической прецессии, и область II, где выполняются лишь необходимые условия устойчивости. Область II задается соотношениями [7]
. 2. 18а2-27а + 8 + 2(3а-2)7(3а-1)(3а-4)
а > -, sin 0О >-¡-"г-—-—--
3 27а2(а -1)
Частоты ю1 и ю2 (ю1 > ю2) малых колебаний приведенной системы с двумя степенями свободы в окрестности устойчивого положения равновесия в областях I и II определяются из уравнения [7]
4 2 2 2
ю - [7-6а-9а( 1-а)sin 0О]ю +3cos 0О(4-3а)( 1- а) = 0
В заштрихованной на фиг. 1 области коническая прецессия неустойчива.
Примем коническую прецессию динамически симметричного спутника (для значений параметров а и 00 из областей I и II) за невозмущенное движение и рассмотрим движения близкого к динамически симметричному (е Ф 0) спутника в ее окрестности. Построим периодические движения спутника, близкие к его конической прецессии в невозмущенной задаче, и исследуем их устойчивость.
2. Преобразование гамильтониана. Положим в (1.2)
0 = 0О + Р0 = Р0О + Р1. ¥ = V0 + ?2> Р¥ = p¥0 + P2> Ф = q' Рф = Рф0 + P
Функции H0 и H1 могут быть записаны в виде
H(0) = Я2о; + Я3о; + Я4о; + O
j(0)
(0)
j(0)
H
(1)
h(!] + h + H4 + H1 + H;> + O
/(D
(1)
(2.1)
где И'1 (г = 0, 1) - совокупность членов к-го порядка относительно величин р^ (] = 1, 2) и |Р|1/2 с постоянными (при г = 0) или (при г = 1) п-периодическими по q, с гармоника-
ми cos2q и sin2q, коэффициентами; O5 - совокупность членов не ниже пятого порядка относительно тех же величин.
Л ГГ(0) гг(0) гг(0) тт( 0)
Функции Hk имеют вид Hk = Hk0 + Hk{ , где
HO = X \V2^qV1 qV2Pi1 Р22, k = 2,3,4
V1 + V2 + i1 + i2 = k
H21 = OP, h31) = (m1q1 + m2 p2) P, h40) = (1^1 + l2 qx p2 + l3q2) P + nP2
1 2 2 1
й2000 = Ö[9(а-1 )(аsin -о-1 ) + ctg -о], h^ = 3а-2-
„0 ч ■ —б -oJ> '-1001 ^ "" - 2
2 sin e0
1 . 2 11
h0200 = ö[ 1-3 (а -1) sin eo], h0110 = -1, h0020 = ö, h0002 = 2
2 2 2 sin2 e0
9 2 3 2 cos e0 4 2
h3000 = --sine0cose0а - — ctge0(7cos e0-10)а--3— (6cos e0-16cos e0 + 11)
2 2 sin3 e0
2cose0 . 2
h2001 = -2;ctgeoа + —3—(2sin eo + 1) 2 sin e0
1 cos e0
h0201 = -h1200 = 2;ctg e0, h1002 = 3 (2.2)
2 sin e0
3,„ 2- 2 3 ( 11cos4-0-6cos2 90 - 21)
h4000 = 5(7cos -о + 8)а +---а +
8 8 sin2 e0
9 cos6 e0-23cos4 e0-7cos2-0 + 30 3 sin2-0 + 1
+ 4 , h2200 = -4[а + 2
6 sin e0 4 2 sin e0
2 2 2 2 7cos e0 + 5 10sin e0cos e0 + 9 2cos -0 + 1
h3001 = 2 а 4 , h2002 = 4
2sin e0 3sin e0 2 sin e0
h - 1 h _i-2 e 1 2 e 1 ,, _ 1
h1201 = - 2 , h0400 = osin e0а +ocos e0-)), h0310 = 7
2sin2 e0 8 8 6 6
1( 2 1j cose0 2 cosen
n = - ctg e0 + - , mt = —-—[ 1 - 3sin e0(а -1)], m2 = —
2 V а/ sin2 -„ si
22 sin e0 sin e0
2 2 4 2
3sin e0(cos -0 + 2)а + 3cos -0-7 cos -0 + 1 i
l1 = 3 , l2 = 3 , l
2 sin3 e0 ' sin3 e0 ' 2sin eo
Невыписанные коэффициенты hV V ^ ^ равны нулю
Для функции Я1-1-1 в (2.1) укажем только слагаемые hQ1"1 и Я(11) ■
ГГ(1) 2 гг(1) Í 2 т 2
Яд = я cos ф, Я) = b cos фд1 + c sin ф cos фp1 + dcos фp2
a = 2cos2 0O-2-' b = -ctg 90(1 + 6sin2 90-3 a sin2 90) (2.3)
c = (7-6 a) cos 0O, d = ctg 0O
Осуществим ряд канонических замен переменных, упрощающих структуру гамильтониана H. Сначала при помощи линейной замены
qi = «iiq* + ni2q*> q2 = n23p* + n24q = q*
Pi = n33 p* + n34 p* 5 p2 = n41 q* + n42q*. P = P *
n11 = k1n23' n12 = ±k2 n24' n23 = (ю1 Г^ n24 = (±ю2^2 Г^
пзз = (1+ ki®i) n23, пЗ4 = (1 +
k2®2 )n24 (2.4)
2
n41 = [k1 - sin 0O[ю1 + k1(3a -2)]]n23
2
n42 = ±[k2-sin 0O[ra2 + k2(3a-2)]]n24
3 (1- a) - ю2 2 sin2 0O
k¡ = "75-A¿ = k2 + 3(1-a) —-¡-A i = 1, 2
' (3 a -2 )ю; ' ' ю2
приведем квадратичную часть H2°O к нормальной форме
(O)* 1 *2 *2 1 *2 *2
h2) = 2Ю1(qt + p* )± ±ю2(q2 + p2 ) + QP* (2.5)
В соотношениях (2.4) и (2.5) верхний знак относится к области I, нижний знак - к области II; предполагается, что a Ф 2/3. В случае a = 2/3 одна из величин k не определена; в этом случае величины nij считаются по формулам
n11 = n^1 = n41 = -Ю]472, n12 = n23 = 0, n24 = n34 = -n-1 = sin 1 0q (2.6)
при 0 < 0O < п/4, когда ю1 = V2 cos 0O, Ю2 = 1, и по формулам
n12 = n34 = n42 = -Ю>1/2, n11 = n24 = 0, n23 = n33 = -n-| = sin 10O (2.7)
при n/4 < 0O < п/2, когда ю1 = 1, Ю2 = Jl cos 0O. Если же a = 2/3, 0O = п/4, то имеем ю1 = = Ю2 = 1; этот случай далее рассматривать не будем.
В результате преобразования (2.4) формы HkQ) (k = 3, 4) из (2.2) примут вид
„(0) * х-1 , * *V1 *V2 *Ц2
Hkо = X Чv2^?1 q2 p1 p2
Vj + v2 + + ц2 = k
*
Явный вид коэффициентов hv v ц ц здесь не приводим.
Пусть между частотами ю1 и ю2 отсутствуют резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, т.е. ю1 Ф 2ю2 и ю1 Ф 3ю2. Резонансные кривые ю1 = 2ю2 и ю1 = 3ю1 показаны на фиг. 1 в областях I и II. Для точек вне этих кривых можно построить близкое к тождественному каноническое преобразование типа преобразования Бирк-гофа, имеющее вид
д* = + ..., р* = Р1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.