ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2004, том 30, № 5, с. 393-400
УДК 521.3
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ И СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ
© 2004 г. В. В. Орлов1*, А. В. Петрова1, А. В. Рубинов1, А. И. Мартынова2
'Астрономический институт Санкт-Петербургского государственного университета 2Лесотехническая Академия, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 24.10.2003 г.
Изучены области ограниченных движений в окрестности трех простых устойчивых периодических орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым моментом вращения. Они отличаются тем, что в ходе движения одно из тел периодически проходит через центр масс тройной системы. Рассмотрена динамическая эволюция плоских невращающихся тройных систем, у которых начальные условия задаются таким образом, что одно из тел находится в центре масс тройной системы. Тогда начальные условия можно задать с помощью трех параметров: вириального коэффициента к и двух углов <р\ и , характеризующих ориентацию векторов скоростей тел. Выполнено сканирование области изменения этих параметров к е (0,1); , е (0, п) с шагами Дк = 0.01; Ду>1 = Д^2 = 1°. Выделены области ограниченных движений, окружающие периодические орбиты. В пространстве параметров (к, ) эти области изолированы друг от друга. Между областями имеются "мосты", соответствующие неустойчивым траекториям с длительным временем жизни. В ходе эволюции этих "метастабильных" систем фазовая траектория может "прилипать" к окрестности одной из периодических орбит или перемещаться из одной окрестности в другую. Эволюция "метастабильных" систем завершается распадом.
Ключевые слова: небесная механика, проблема трех тел, периодические орбиты.
PERIODIC ORBITS IN THE GENERAL THREE-BODY PROBLEM AND THE RELATIONSHIP BETWEEN THEM, by V. V. Orlov, A. V. Petrova, A. V. Rubinov, and A. I. Martynova. We study the regions of restricted motions in the vicinity of three simple stable periodic orbits in the general problem of three equal-mass bodies with a zero angular momentum. Their distinctive feature is that one of the moving bodies periodically passes through the center of mass of the triple system. We consider the dynamical evolution of plane nonrotating triple systems for which the initial conditions are specified in such a way that one of the bodies is located at the center of mass of the triple system. The initial conditions can then be specified by three parameters: the virial coefficient к and the two angles, ф1 and y2, that characterize the orientation of the velocity vectors for the bodies. We scanned the domain of variation in these parameters к е (0,1); е (0, п) at steps of Дк = 0.01; Д^1 = Д^>2 = 1° and identified the regions of restricted
motions surrounding the periodic orbits. These regions are isolated from each other in the space of parameters (к,р1,р2). There are bridges that correspond to unstable paths with long lifetimes between the regions. During the evolution of these metastable systems, the phase path can "stick" to the vicinity of one of the periodic orbits or move from one vicinity to another. The evolution of metastable systems ends with their breakup.
Key words: celestial mechanics, three-body problem, periodic orbits.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении динамики тройных систем важная роль отводится поискам периодических решений (см., например, работу Даву и Брука 1982; обзор Хаджидеметриу, 1984; книгу Маршаля, 1990). Устойчивые периодические орбиты, согласно
Электронный адрес: vor@astro.spbu.ru
КАМ-теории, должны быть окружены траекториями с ограниченными движениями.
Если мы рассмотрим пространство начальных условий (масс, координат и скоростей компонентов) в общей задаче трех тел, то представляет интерес расположение областей, соответствующих ограниченным движениям, в этом пространстве. Это пространство имеет высокую размерность Б = 21. Поэтому непосредственное сканирование
всего пространства с целью поиска областей устойчивости невозможно. С помощью интегралов центра масс мы можем понизить размерность до О = 15. По-видимому, ограниченные движения могут быть только в системах с отрицательной полной энергией Е < 0. Этот факт накладывает дополнительные ограничения на исследуемую часть пространства начальных условий, однако размерность все еще остается слишком высокой.
В то же время мы можем исследовать различные сечения области начальных условий, исходя из некоторых дополнительных соображений, например, используя информацию об известных периодических решениях.
Рассмотрим для примера общую задачу трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. В этой задаче известны три устойчивые периодические орбиты (см. фон Шубарт, 1956; Брук, 1979; Мур, 1993; Шенсине, Монтгомери, 2000).
Первая орбита была обнаружена в прямолинейной задаче трех тел. Устойчивость этой орбиты была доказана Эноном (1977).
Брук (1979) численно обнаружил несколько периодических орбит в равнобедренной задаче трех тел равных масс. Одна из этих орбит окружена "трубкой" траекторий с ограниченными движениями (Заре, Чесли, 1998; Орлов и др., 2002). Видимо, она является устойчивой.
Третья из упомянутых выше орбит имеет форму "восьмерки". Ее устойчивость была доказана численно в работе Симо (2002). Орлов и др. (2003) рассмотрели ряд сечений в окрестности "восьмерки" и подтвердили, что орбита окружена траекториями с ограниченными движениями.
Таким образом, в общей задаче трех тел с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения существуют, по меньшей мере, три, вероятно, устойчивые периодические орбиты, окруженные "трубками" траекторий с ограниченными движениями. Возникает вопрос: связаны ли между собой эти "трубки", или они являются изолированными многообразиями. Настоящая работа посвящена исследованию этой проблемы.
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ
Прежде всего, отметим, что все три исследуемые орбиты (рис. 1) имеют одно общее свойство: в ходе движения одно из тел (или каждое из трех тел) периодически проходит через центр масс тройной системы. Мы можем использовать это свойство для того, чтобы понизить размерность множества начальных условий. А именно, рассмотрим такие траектории в задаче трех тел равных масс с нулевым моментом вращения, у которых в начале
эволюции одно из тел находится в центре масс тройной системы.
Мы будем использовать следующую систему единиц: массы тел т1 = т2 = т3 = 1, постоянная тяготения С = 1, полная энергия тройной системы Е = -1. Движения происходят в плоскости ХУ.
Для таких систем в начальный момент времени справедливы следующие соотношения:
Ег* = °>
г=1 3
Ег * = °
г=1
3
х Г*] = 0,
(1)
г=1
г=1 г<]
' г]
где гг (г = 1,2,3) — радиус-вектор г-го тела в барицентрической системе координат, г] — взаимные расстояния между телами.
Предположим, что в центре масс тройной системы находится тело ш3. Тогда г3 = 0. Мы можем повернуть систему координат так, чтобы все три тела расположились вдоль оси Х. Поскольку массы тел равны, то х1 + Х2 = 0. Из равенства нулю углового момента тройной системы и условия неподвижности центра масс следует, что у1 = у2, уз = -2уь Хз = -Х1 - Х2.
В результате остается четыре величины {х1,Х1,Х2,у1}, которые пока не определены. Подставим их в интеграл энергии и получим
Х\ + Х2 + Х1Х2 + 3у1 -
5
2|Х1|
= -1.
(2)
Для определенности будем считать, что тело т1 находится слева от центрального тела, т.е. Х1 < 0. Тогда
5
х\ =--{х\+х1 + Х1Х2 + Ц\ + 1)~1. (3)
В результате начальные условия полностью определяются тремя компонентами скоростей {Х1,Х2,у1}. Вместо них мы можем использовать другие параметры, которые меняются в ограниченных интервалах.
Один из таких параметров — вириальный коэффициент — отношение кинетической и потенциальной энергий к е{0,1}. Случаи к = 0,1 соответствуют тройным соударениям и нами не рассматриваются.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
395
^ 0
^ 0
-1
1 1 (в) 1
/
с 1 1 л- |
-1
0
Рис. 1. Орбиты Шубарта (а), Брука (б), "восьмерка" (в) в барицентрических координатах.
Еще два параметра задают направления движений крайних тел т1 и т2. Введем два угла и р2 такие, что
tg
У1 =
к/(1 — к)
о , 1 , 1 , 1
^ 951 (Р2
у1
X1
X 2
tg Р1
т
tg <Р2 '
из условия неподвижности центра масс и интеграла площадей:
(4)
X1 х2 х2
В силу симметрии движений достаточно рассмотреть вектора скоростей, направленные в верхнюю полуплоскость, т.е. р1,р2 € [0°, 180°]. Тогда мы можем выразить скорости {у1 ,Х 1,Х2} через введенные нами параметры
У2 = У1, Уз = -2у1, X з = —X1 — X 2.
(6)
Координаты x1 и x2 находятся из уравнения (3) и интеграла центра масс (напомним, что x3 = 0).
Заметим, что уравнения (5) имеют особенности при = 90° и р2 = 90°. При = 90° мы полагаем
(5)
У1
1к/( 1 - к) 3 +
(7)
X1 = 0. Для р2 = 90° получаем
Остальные компоненты скоростей выражаются
У1
1к/(1 — к)
3 +
1
(8)
<Р1
1
1
ч,
immii
3.0-
U.J. -V ^ л., t^yf
Г ■■ < V'à/
Г\ À i i fi" .
20 ~
- л, ■
Рис. 2. Структура рельефа T(^1,^2) при значении k = 0.1.
Х2 =0
соответственно. Остальные компоненты скоростей и координат вычисляются также, как и раньше. Отметим также, что случаи
+ ^2 = 180° (9)
соответствуют тройным соударениям, и мы их не рассматриваем.
В результате мы проводим сканирование области начальных условий
к е (0,1); ^1,^2 е (0°, 180°); ^ + ^2 = 180°
(10)
с шагами Ак = 0.01; = Д^2 = 1° для того, чтобы выделить области ограниченных движений вокруг устойчивых периодических орбит и исследовать изменение формы и размеров этих областей при вариации параметров (10).
Для каждого варианта начальных условий мы проводим вычисления до тех пор, пока максимальное взаимное расстояние гmax не превысит 5й, где й — средний размер тройной системы
Ш1Ш2 + Ш1Шз + Ш2Шз
*=-т-=3 (11)
или до тех пор, пока время эволюции не превысит 1000т, где т — среднее время пересечения
(m 1 + m,2 + m3)5/2 9\/3
(2|Я |)3/2
2\/2'
(12)
Предполагалось, что система со временем жизни > 1000т может обладать ограниченными движениями. В системах первого типа отмечался момент
времени Т, когда выполнилось условие гmax > 5й. После этого тройная система переходит в режим эволюции типа "тройное сближение—выброс" (см., например, Орлов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.