КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 1, с. 68-78
УДК 517.913
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 2. ПОТЕРЯ СИММЕТРИИ ПРИ РЕЗОНАНСЕ 1/1 © 2012 г. Б. Б. Крейсман
Астрокосмический центр физического института РАН, г. Москва Поступила в редакцию 08.12.2009 г.
В рамках круговой ограниченной задачи трех тел рассматривается семейство обратных периодических орбит вокруг обоих притягивающих тел (семейство Егорова) и порождаемые им при резонан-сах 1/1, 2/1 и 3/1 семейства пространственных орбит в системах Солнце—Земля и Земля—Луна. Исследуется их связь с семействами, порожденными орбитами вокруг точек либрации Ьъ Ь2 и Ь3. Одно из семейств содержит периодические решения, перспективные как орбиты космического радиотелескопа проекта "Миллиметрон".
ВВЕДЕНИЕ
1. СЛУЧАИ СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА
Эта публикация является продолжением нашей статьи [1] и использует описанные в ней понятия и алгоритмы. В рамках круговой ограниченной задачи трех тел [2]-[3] основное внимание уделяется второму по важности (после рассмотренного в той статье семейства обратных периодических орбит вокруг большего притягивающего тела) семейству D обратных орбит вокруг обоих притягивающих тел [4]. Оно является аналогом семейства m классификации по Стрем-грену и носит [2] имя профессора В.А. Егорова.
Для системы Земля—Луна используется т2 = = 0.0121505816234336, для системы Солнце— (Земля + Луна) т2 = 0.0000030404235885. Далее вместо комбинации (Земля + Луна) мы будем писать просто Земля с этим значением т2.
Все рассматриваемые ниже периодические решения симметричны относительно оси (плоскости, в пространственном случае) У = 0 и за период дважды пересекают ее ортогонально. В этих точках имеем: у = vx = 0. Точку с меньшим х мы далее обозначаем аь с большим — а2. Семейства пространственных периодических решений, порождаемые при нечетном резонансе, симметричны еще и по скорости ^ либо по высоте г и парамет-ризируются соответственно высотой г либо скоростью ^. При четном резонансе получаем двоя-косимметричные семейства, параметризируемые в точках ах либо а2 как высотой г, так и скоростью ^, и симметричные как по скорости ^, так и по высоте г.
На рис. 1 даны образцы орбит семейства Егорова в системе Земля—Луна. Здесь и далее расстояния — в тысячах км.
На рис. 2 дана зависимость параметра устойчивости по вертикали от константы Якоби С для орбит этого семейства, в табл. 1 — параметры периодических решений с резонансами 1—4 по вертикали. Во втором и четвертом столбцах указаны координаты точек пересечения оси Х (в тысячах км), в третьем и пятом — скорость чу (в км/сек), в шестом — длительность периода (в сутках), в седьмом — константа Якоби, в восьмом — параметр ¿2,
У 600 I-
200 0
— 200 -
-600 -
— 800
—400
400
800
Рис. 1
0
Рис. 2
в девятом — соответствующая ему кратность резонанса p/q.
Семейство пространственных периодических решений, порождаемое первой строкой таблицы (резонанс 1/1), мы обозначили ЕС1г, а двояко-симметричные семейства, порождаемые строками 4 и 5 (резонанс 2/1), - ЕС2г и ЕС2у.
Наиболее популярными решениями плоской ограниченной задачи трех тел во вращающейся системе координат являются 5 положений равновесия — точки либрации L1—L5. Мы ограничимся рассмотрением трех коллинеарных (лежащих на оси X) точек L1, L2 и L3. На рис. 3. даны образцы орбит вокруг точек L2 и L3. Орбиты изображаются во вращающейся геоцентрической системе координат. Точка (0,0) соответствует Земле. Луна находится слева по оси Хна расстоянии 384.4 тыс. км. Точки либрации L2, L1 и L3 имеют координаты (—448.914902, 0), (—326.380865, 0) и (381.675397, 0).
В табл. 2 даны параметры периодических решений с резонансами 1—2 по вертикали для трех коллинеарных точек либрации.
В табл. 3 даны параметры периодических решений с резонансами 1—4 по вертикали для семейства EMS прямых орбит вокруг Земли и Луны.
Оказывается, некоторые пространственные семейства, порождаемые строками табл. 1, совпадают или пересекаются с семействами, порождаемыми строками табл. 2 или 3.
1.1. Семейство пространственных периодических решений EG1z Это семейство порождается при резонансе 1/1 семейства Егорова (строка 1 табл. 1). Его решения параметризируются высотой г и симметричны по скорости . На рис. 4 дана зависимость константы Якоби C от безразмерной начальной высоты г. Видно, что второму нулевому значению г соответствует такое же C, как и у первой строки табл. 2, порождающей семейство L11z вокруг точки либрации L1. Оказывается, эти 2 семейства, EG1Z и L11z, совпадают.
На рис. 5 даны проекции пяти орбит этих семейств на плоскость XY во вращающейся геоцентрической системе координат.
Орбиты 1 и 2 этого рисунка содержат облет и Земли и Луны, орбиты 3 и 4 уже не содержат облет Земли, но сохраняют облет Луны. Почти
Таблица 1
п а 2 v2 а1 vi T C s2 p/q
1 320.44 -1.22416 -395.49 1.1934 12.2864 -1.0161 1 1/1
2 335.95 -1.17896 -398.15 1.1540 12.6527 -1.0406 0 1/4
3 348.41 -1.14540 -401.05 1.1235 12.9484 -1.0618 -1/2 1/3
4 378.67 -1.07508 -412.41 1.0563 13.6735 -1.1266 -1 1/2
5 440.95 -.976421 -457.55 .95596 15.1370 -1.3331 -1 1/2
6 611.53 -.824401 -621.88 .80060 18.2662 -1.9176 -1/2 1/3
7 797.90 -.722644 -807.51 .69809 20.4858 -2.4153 0 1/4
-550 -450 -350 -250 -200 0 200 600 X
Рис. 3
плоская орбита 5 является орбитой вокруг точки либрации L1.
1.2. Семейство пространственных периодических решений EG2z. Это двоякосимметричное семейство порождается при резонансе 2/1 семейства Егорова (строка 4 табл. 1). Его решения пара-метризируются как высотой г (в точке а1), так и
скоростью ^ (в точке а2), и симметричны как по
скорости ^, так и по высоте г. На рис. 6 даны зависимости параметра от безразмерной начальной скорости ^ для этого семейства и односим-метричного семейства Ь2у, порождаемого строкой 5 табл. 2.
Видно, что кривые пересекаются в точке Р при = 1, причем у второго семейства смены устойчивости не происходит. Для семейств плоских реше-
ний в аналогичной ситуации мы считали [5], что симметричное семейство порождает несимметричное такого же периода. Естественно теперь считать, что двоякосимметричное семейство ЕС2г породило односимметричное семейство Ь2у, то есть потерялась одна из симметрий.
На рис. 7 даны проекции пяти орбит семейства Ь2у на плоскость ХУ во вращающейся геоцентрической системе координат. Видно, что проекция на плоскость ХУ сжимается и смещается в сторону Луны. У орбиты 3 появляется петля, которая увеличивается у орбиты 4 и совпадает с основной у орбиты 5, на которой происходит пересечение с семейством ЕС2г.
На рис. 8 даны такие проекции пяти орбит семейства ЕС2г.
Таблица 2
ЕАИ п а! а 2 У2 Т С ^2 Р/9
Ll 1 -333.256 -.751215 -321.182 -.985479 11.9114 3.17435 1 1/1
Ll 2 -362.393 -.347098 -305.108 -1.267285 17.1528 3.02139 1 1/1
Ll 3 -373.723 -.035230 -278.682 -1.367993 24.3971 2.94928 -1 1/2
L2 4 -458.608 -1.062653 -435.347 -1.340699 14.8319 3.15212 1 1/1
Lг 5 -473.630 -.824385 -400.410 -1.810468 18.7183 3.01377 1 1/1
Lг 6 -494.677 -.767508 -390.714 -2.286176 24.8107 2.95572 -1 1/2
Lз 7 114.331 2.437578 647.559 .414979 27.0934 2.42353 1 1/1
Lз 8 37.3654 4.512587 724.262 .217846 27.1909 1.85898 1 1/1
Таблица 3
п а2 VI а1 VI Т С р/я
1 1120.5 .586635 —1130.0 —.611293 34.0968 3.7653 0 1/4
2 965.37 .632865 —975.13 —.657119 36.3620 3.5758 —1/2 1/3
3 797.08 .697651 —808.20 —.719823 40.8569 3.3715 —1 1/2
4 794.73 .698702 —805.90 —.720806 40.9465 3.3687 —1 1/2
5 704.05 .743556 —719.04 —.760008 45.3878 3.2637 —1/2 1/3
6 670.92 .762703 —689.88 —.773475 47.6357 3.2278 0 1/4
7 578.39 .839141 —655.28 —.772003 54.3175 3.1534 1 1/1
8 573.82 .844662 —657.28 —.768801 54.4852 3.1513 1 1/1
Видно, что проекция на плоскость ХУ сжимается и смещается к точке L2 и обрывается (орбита 9) вблизи нее.
1.3. Семейство пространственных периодических решений EG2v. Это двоякосимметричное семейство порождается при резонансе 2/1 семейства Егорова (строка 5 табл. 1). Его решения пара-метризируются как высотой г (в точке а2), так и
скоростью ^ (в точке ах), и симметричны как по
скорости ^, так и по высоте г. На рис. 9 даны зависимости параметра ^ от безразмерной начальной скорости ^ для этого семейства и односим-метричного семейства L3v, порождаемого строкой 8 табл. 2.
Видно, что кривые пересекаются в точке Р при ^ = 1, причем, как в предыдущем разделе, у второго семейства смены устойчивости не происходит. Значит двоякосимметричное семейство EG2v породило односимметричное семейство L3v.
На рис. 10 даны проекции четырех орбит семейства L3v на плоскость ХУ во вращающейся геоцентрической системе координат. Видно, что проекция на плоскость ХУ сжимается и смещается в сторону Земли. У орбиты 2 появляется петля, которая увеличивается у орбиты 3 и совпадает с основной у орбиты 4, на которой происходит пересечение с семейством EG2v.
На рис. 11 даны такие проекции пяти орбит семейства EG2v. Видно, что проекция на плоскость ХУ сжимается и смещается к точке L3 и обрывается (орбита 9) вблизи нее.
1.3. Резонансы более высоких порядков. Из ре-
зонансов более высоких порядков мы ограничимся одним типичным примером резонанса 3/1. Семейство, порождаемое строкой 6 табл. 1 мы обозначили EG3v. Его решения параметризируются скоростью ^ и симметричны по высоте г. На рис. 12 дана зависимость константы Якоби С от безразмерной начальной скорости ^.
Рис. 4
Рис. 5
Видно, что второму нулевому значению г соответствует такое же С, как и у восьмой строки табл. 3, порождающей семейство EMS1v прямых орбит вокруг Земли и Луны. Как и в примерах работы [1] пространственное семейство соединяет плоские семейства прямых и обратных орбит.
2. СЛУЧАЙ СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ—ЗЕМЛЯ
Аналогичные результаты несложно получить и для системы Солнце—Земля.
Орбиты изображаются во вращающейся геоцентрической системе координат. Точка (0,0) со-
У 90
—480
Рис. 7
У 300
300 X
Рис. 8
5
^2
1.000001
0.999999
0.865
ЬЗУУ' Р
ЕС2У 1
0.875 Рис. 9
0.885
1
V
z
ответствует Земле. Солнце находится справа по оси Х на расстоянии одной астрономической единицы, равной 149597.870691 тыс. км. Точки либ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.