ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 1, 2004
УДК 539.374
© 2004 г. С. И. Сенатов
ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ СРЕДЫ МИЗЕСА СО СПИРАЛЬНО-ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ
Приведены серии точных решений уравнений пластичности Мизеса, которые обладают спирально-винтовой симметрией. Они могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния круглых стержней и труб, находящихся под действием внутреннего давления, осевой силы и крутящего момента.
При построении точных решений задач теории пластичности с условием текучести Мизеса в осесимметричном и пространственном случаях приходится обычно действовать обратным способом, т.е. сначала построить точное решение, а потом постараться подобрать для него конкретную физическую задачу. Тем не менее даже такой подход позволяет решить многие практически важные проблемы механики: делать оценки предельных нагрузок, строить поля напряжений и т.п. [1-5]. Число полученных таким образом решений остается весьма ограниченным [5]. И это замечание сорокалетней давности справедливо до сих пор. Малое количество решений не позволяет до конца изучить структуру уравнений, доказывать теоремы существования и единственности, тестировать численные расчеты, поэтому задача построения точных решений актуальна до сих пор.
К наиболее мощным методам решения задач обратными методами относится групповой анализ дифференциальных уравнений. Применение его сразу позволило построить новые классы точных решений уравнений пластичности с условием текучести Мизеса [6]; первой в этом направлении была работа [7].
Рассмотрим уравнения идеальной пластичности с условием текучести Мизеса в пространственном случае, записанные в цилиндрической системе координат г, г, 9. Введем новую переменную по формуле Е = г + к9 и будем считать, что все компоненты вектора скорости и, и, ^ и гидростатическое давление р зависят только от двух переменных: г и Е. Уравнения в напряжениях имеют вид
д&г + кд$г9 + д88гг + 2к8г - ^9 _ дР
дг г дЕ, дЕ, г дг
д ^ г 9 + к д8> + + 28г? _ к др
дг г дЕ дЕ г гдЕ
д88п+к дЛ + д8 + 8п _ др
дг г дЕ дЕ г дЕ (1)
^2 + ^9++ 2 (+82гг+^9 г) _ 2 к2, 8г++ ^ _ о
Бг _ Хиг, S9 _ Хг— (кь^ + и), _ Х^е
2Бг9 _ Х(г^ки^ + г(г^ь)г), 28гг _ + юг), 289г _ Х(г-1 кю + и^) Здесь 8г, 89, Sz, 8г9, 8гг, 89г - компоненты тензора напряжений, ка - предел текучести.
Система (1) описывает пластическое течение вещества при условии спиральной симметрии. Приведенные уравнения при k = 0 и и = 0 переходят в уравнения осесим-метричной деформации и по сравнению с ними обладают более высокой степенью симметрии. Это дает возможность построить не только обобщение осесимметрич-ных решений [6], но и решения, не имеющие осесимметричных аналогов.
Ищем решение системы (1) в виде
u = u (r) sin £, и = v( r) cos £, ю = ю( r) cos £, p = p (r, £)
Пусть Sre = Srz = 0, тогда оставшиеся компоненты девиатора тензора напряжений зависят только от одной переменной r. Если p = p(r), то второе и третье уравнения системы (1) удовлетворяются тождественно, а первое служит для определения p(r).
В этом случае для определения функций u, и, ю из системы (1) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ku + rv'- и = 0, ю' + u = 0, ru'- kv+ u - ю = 0 которая сводится к уравнению Бесселя
r2 u '' + ru ' + (r2 + k2-1) u = 0
Решая это уравнение, получим
u = C1 Jv + C2Yv , v2 = 1- k2
При |k| < 1 функция u принимает вещественные значения; если же |k| > 1, то можно воспользоваться интегральным представлением функции Бесселя
v п/2
т 2(z/2)v с ( ^ . 2v ,
Jv = --—--—I cos (z cos t) sin tat
r(v + 1/2)n1/2 0
учитывая только действительную часть.
Окончательно решение имеет вид (при C2 = 0)
= AJv sin £, и = -Ark cos £| Jvr 1dr, ю = -A cos £| Jvdr
0 0
где - функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию /у(0) = 0 для всех V > 0, А - произвольная постоянная.
Для ненулевых компонент девиатора тензора напряжений и гидростатического давления получаем
2 2 -1/2
^ = -(1 + /) = к, (1 + / + /2 + ф2) , =
Р = -1 (2 + /)Бе т-1йт, Бе, = ф^; / , ф = (2)
а
Это решение можно интерпретировать, в частности при А > 0, как пластическое течение круглой трубы, которая находится под действием внутреннего давления р, осевой силы N и крутящего момента М, причем
°r|r = а
-p, or|r = b = 0, N = 2njozrdr, M = 2п| Se zrdr
где а и Ь - внутренний и внешний радиусы трубы. При к = 0, V = 0 это решение построено Хиллом [5].
r
r
b
b
а
а
Система уравнений (1) допускает алгебру Ли операторов с базисом
А1 = ^ А2 = ^ А3 = д р, А4 = + + юдю. А5 = г
Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли Ь5 имеет вид 01: А2 ± А5, А4, А2' А5
82! (А2 ± А5, А4), (А2, А4), (А5, А4), (А2, А5)
Здесь учтено, что операторы А1, А3 порождают центр алгебры Ли Ь5.
Построенная оптимальная система подалгебр позволяет перечислить все различные, с точностью до преобразований симметрии, инвариантные решения уравнений (1).
Построим решение, инвариантное относительно подалгебры А4 - А1. Это решение следует искать в виде
£ £ £ и = u0(г)е , и = и0(г)е , ю = ю0(г)е , Р = Ро(г)
Ниже везде нулевые индексы опущены. Из уравнений (1) следует
^г0 = Cl/Г2, Sгz = C2/Г
Если произвольные постоянные C1, C2 равны нулю, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Ы + ги'- и = 0, ю' + u = 0, гU + kv+ u + ю = 0 (3)
Она сводится к уравнению Бесселя, решение которого имеет вид
u = AJV( г), V2 = 1 + К1 (4)
Считая, что функция u ограничена при г = 0 (иначе в выражение (4) добавляем функцию Макдональда), получаем
г
u = AJV, ю = udг, Кь = - гю - гu ' - u
0
где JV - функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию JV(0) = 0 для всех V > 0, А - произвольная постоянная. Напряженное состояние описывается формулами (2). Механическая интерпретация - та же, что и в предыдущем случае.
Если положить к = 0, v = 0, то M = 0 и получаем осесимметричное решение [8], которое описывает пластическое течение цилиндра со свободной от напряжения боковой поверхностью.
Напряженное состояние (2) получается, если ищем решение уравнений (1) в виде (при условии Sr0 = Srz = 0)
u = u0( г) £, и = и0 (г) сЬ £, w = w0 (г) сЬ £, p = p0 (г)
Это приводит к системе (3), и решение имеет точно такую же механическую интерпретацию, как и указанная выше.
Инвариантное решение на подгруппе А1 + аА2 + аА5 ищем в виде
u = f (г), ю - а£ = ф( г), и-у£г = г), p = p (г), у = в/а
Подставим эти соотношения в систему (1).
Из уравнения несжимаемости имеем (С и С2 постоянные) / = С1 г + С2 Г1, С1 = (а + ук)/2
Пусть ф = у = 0, тогда 8ге = 8гг = 0, а остальные компоненты девиатора тензора напряжений имеют вид
Бг = Х( Сх- С2г—), Sв = Х( ку + Сх + С2г-), = аХ, 2 8е г = Х(а кг'1 + уг)
Г
р = Бг + |Х(- ку -2С2г-)йг
2 „ -2 4 I 2 2 2 2 3 2 4
2ksX r = |(C2- C1r ) + [(ку + C1)r + C2] + (уr + akr)/2 + a r
Это решение описывает предельное состояние трубы под действием постоянного внутреннего давления p0, осевой силы N и крутящего момента M. При к = 0, v = 0 оно переходит в осесимметричное решение [3] или решение [1], описывающее сжатие пластического слоя коаксиальными цилиндрическими поверхностями.
Известно [9], что геликоидальные поверхности z + k0 = const в скручиваемом пластическом стержне обладают рядом замечательных свойств: они служат границей между жесткой и пластической областями и являются наиболее вероятными поверхностями разрушения. Построим решение, которое описывает пластическое течение с такими поверхностями.
Ищем решение системы уравнений (1) в виде
u = 0, и = -r ф(Е), ю = кф(Е), p = p (r) После подстановки выражений (5) в систему (1) получаем точное решение u = 0, и = -r ф(Е), ю = кф(Е), р = р( r)
(5)
о.
Sr - p
2 %ks arctg-к + с
о0
S0 - p = - 2 xk
rk
s 2 , 2 + 0r r + k
(6)
о
Sz - p = 2 \ ks
rk
+о
" L 7 L
r + k
r0
r2 - k 2
Srz = 0, S0z = xksr-—x = signф'©
r + k
где ф - произвольная гладкая функция, с - произвольная постоянная.
Это решение можно использовать для описания пластического течения круглого стержня радиуса Я, который находится под действием растягивающего усилия и крутящего момента. Пусть боковая поверхность стержня свободна от напряжений, потребуем выполнение условия 8ег = 0. Отсюда получаем к = ± Я. На торце г = 0 задана скорость ^ = Яф(Яе). Поскольку функция ф гладкая, получаем, что здесь она 2п-пе-риодическая, а значит, имеет по крайней мере одну точку, где ф' = 0, т.е. существует геликоидальная поверхность Е0, такая, что ф'(Е0) = 0. Из формул (6) следует, что вдоль этой поверхности в стержне возникает жесткая область в соответствии с рас-
a
суждениями [9], согласно которым поверхности z + kB = const могут разделять жесткие и пластические области. Эти же поверхности являются и наиболее вероятными поверхностями разрушения.
Из формул (6) следует, что, выбирая функцию ф, можно задавать различные пластические течения, в частности можно описать технологический процесс продавли-вания материала между двумя геликоидальными поверхностями £ = С1, £ = C2. Этот процесс может служить основой, например, для изготовления сверл. Укажем еще одно точное решение уравнений (1)
u = £( cr— - (a + kb )r)
и = £br + k( a + kb) r ln r + ckr— /2 + c1 r
2 2 ю = £ a + (a + kb) r /2- c ln r + c2
где a, b, c, c1, c2 - произвольные постоянные. Компоненты скоростей деформации даются выражениями
—2 —1 er = -£( cr + (a + kb)), ee = 2kb£ + £( cr + (a + kb)), ez = 2 £ a
ere = erz = 0, eez = 2ak£r— + 2kr£
В этом случае существует только одна жесткая область, она задается уравнением £ = 0. Указанное решение можно использовать для описания пластического течения круглой трубы, разрезанной вдоль образующей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 231 с.
2. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и проба Бринеля // ПММ. 1944. Т. 8. Вып. 3. С. 201-224.
3. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992. 382 с.
4. Prager W. Tree - dimensional plastic flow under uniform stress // Rov. Faculte Sci., Univ. Istanbul. 1954. 19. 1. P. 23-27 = Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном состоян
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.