ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2013
УДК 539.374
© 2013 г. Непершин Р.И.
ПЛАСТИЧЕСКОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ЦИЛИНДРА ИЗ ПРАВИЛЬНОЙ МНОГОГРАННОЙ ПРИЗМЫ
Моделируется формообразование цилиндра из правильной многогранной призмы пластическим сжатием ребер плоским инструментом. Используется теория плоской деформации идеально пластического тела. Модель описывает процессы пластического сжатия ребер крупных слитков многоугольного сечения при свободной ковке и ковки валов после протяжки плоскими бойками на квадрат на ковочных машинах с программным управлением.
Процессы пластического деформирования плоским инструментом применяются при свободной ковке заготовок с высокими механическими свойствами за счет измельчения микроструктуры металла. Пластическое сжатие ребер крупных слитков многоугольного сечения применяется для получения цилиндрической формы заготовки перед последующей обработкой пластическим деформированием [1].
Пластическая деформация при сжатии ребер плоским инструментом локализуется около границы контакта с инструментом. Центральная зона заготовки остается неде-формированной. При ковке валов с высокими требованиями по прочности измельчение микроструктуры достигается протяжкой заготовки плоским инструментом с кантовкой вокруг оси на 90° с получением квадратного сечения заданной площади. Круглое сечение получают последующим пластическим сжатием ребер.
В настоящей статье приведена модель формообразования цилиндра из правильной многогранной призмы с четным числом граней пластическим сжатием противоположных ребер плоским инструментом. Используется теория линий скольжения при плоской деформации идеально пластического тела [2]. После одного цикла деформирования всех ребер число граней удваивается. Многократное повторение циклов пластического сжатия ребер переводит правильный многоугольник в окружность при сохранении площади поперечного сечения заготовки.
Известны близкие к рассматриваемой проблеме автомодельные решения задачи о пластическом сжатии неограниченного клина плоским штампом [3], решения нестационарных осесимметричных и пространственных задач о внедрении гладкой сферы и пирамиды в идеально пластическое полупространство [4—7], и о сдавливании идеально пластической пирамиды плоским штампом [8—10].
Постановка задачи и основные уравнения. На рис. 1 показано пластическое сжатие плоским инструментом первой пары противоположных ребер призмы с начальным шестиугольным сечением. Используется теория плоского пластического течения идеально пластического тела в координатах х, у с началом координат в центре заготовки. Рассматривается пластическое сжатие противоположных ребер неподвижной заготовки верхним и нижним инструментом.
Деформация ребер призмы плоским инструментом с поперечным сечением в виде правильного многоугольника при плоской деформации происходит без изменения площади поперечного сечения призмы. Площадь ^ и радиусы описанной Я0 и вписан-
A,
1 A
/ / / / / / /
/ i / / V./ / >'/ / i /
, 4
Рис. 1
АЯ
ной г0 окружностей правильного многоугольника с начальным числом сторон длиной стороны а0 и центральным углом 2а0 определяются формулами
1 2
5 = 4Nао ctgа0, ао = n/N0,
(1)
R
а0 а0
о - ^-, r0 = -ттctgа0-
2 sin а0 2
(2)
Приближение начального многоугольника с постоянной площадью ^ к кругу с радиусом Я* = л/^уП достигается увеличением числа сторон N. После одного цикла деформации всех ребер с вращением заготовки вокруг оси на угол 2а0 число сторон N удваивается, центральный угол уменьшается вдвое и длина стороны а определяется из первой формулы (1) при заданной площади ^
'4St — tg а,
N
п / N.
(3)
Радиусы описанной и вписанной окружностей Я и г многоугольника с числом сторон N находятся по формулам (2) с заменой а0 и а0 на а и а, соответственно.
Напряженно-деформированное состояние в пластической области определяется прямолинейными ортогональными линиями скольжения п около свободных границ и границы контакта с плоским инструментом с образованием жесткой области по Прандтлю на границе контакта.
Линии скольжения и пластическая область определяются длиной границы контакта инструмента с заготовкой а и углом наклона свободной границы р. Среднее напряжение а в пластической области определяется из интегральных соотношений Генки вдоль линий скольжения
а - 2£ф - const вдоль а + 2£ф - const вдоль п,
(4)
где ф — угол наклона касательной к линии скольжения ^ с осью х; к — напряжение текучести материала при чистом сдвиге.
2
6
0
5
3
а
Нормальные и касательные напряжения в плоскости {х, у} определяются формулами
стх = ст - k sin2q, сту = ст + k sin2q, Txy = k cos2q. (5)
Поле скоростей пластического течения определяется кинематическими граничными условиями для скоростей на жесткопластических границах и соотношениями Гей-рингер для проекций V^, Vn вектора скорости на линии скольжения
dV^ - Уцdq = 0 вдоль ^, ёУц + V^dq = 0 вдоль п. (6)
Напряженное состояние. При сжатии ребер граница контакта с инструментом и пластическая область увеличиваются от нуля с выдавливанием материала на свободные боковые границы. На рис. 1 показано конечное положение инструмента при сжатии первой пары ребер шестиугольника 1 и 4, линии скольжения и годограф скоростей перемещений в пластических зонах. Длина границы контакта а равна длине стороны многоугольника при N = 2N0. Пластическая область симметрична относительно оси у, и сохраняет геометрическое подобие с постоянным углом в наклона боковой границы AB относительно стороны начального многоугольника, и углом у центрированного веера линий скольжения п. Длина границы AB пластической области равна длине контакта a, определяемой по формуле (3). На границе контакта образуется жесткая область по Прандтлю, перемещающаяся вместе с инструментом со скоростью V относительно центра заготовки. Годограф скоростей не зависит от перемещения инструмента h и
определяется разрывом скорости [V] = V/V2 вдоль жесткопластических границ и углом у центрированного веера линий скольжения.
В области однородного напряженного состояния около свободной границы известны граничные условия ст = —k, q = — я/4 + у. На жесткопластической границе AC известно q = —я/4. Из первого соотношения (4) для этих граничных условий находим ст = —k(1 + 2у), а из второго уравнения (5) находим давление q = —сту на границе контакта инструмента с заготовкой
q = 2k (1 + у). (7)
Вследствие геометрического подобия пластической области у = const. Погонная сила P, действующая на инструмент, линейно возрастает с увеличением длины границы контакта и перемещения инструмента h.
Конечное значение перемещения h = R0 — r определяется равенством длины контакта длине стороны а, рассчитываемой по формуле (3) при N = 2N0, где N0 и R0 — число сторон и радиус описанной окружности начального многоугольника, r — радиус вписанной окружности многоугольника с числом сторон N = 2N0. Угол наклона свободной границы в определяется из геометрического соотношения (рис. 1) tg в = (r — r0)/a, где r0 и r — радиусы вписанных окружностей многоугольников с числом сторон N0 и N = 2N0. Затем находим угол у = я/2 — (а0 + в).
При увеличении числа сторон многоугольника длина стороны a и размер пластической области стремятся к нулю и давление на инструмент стремится к давлению на штамп Прандтля q = 2k(1 + я/2).
Деформирование следующей пары ребер 2 и 5 выполняется после поворота заготовки на угол 2а0 (рис. 1). Пластическая область при сжатии ребра, показанная на рис. 2, становится несимметричной. Выдавливание материала на правую свободную границу приводит к образованию наклонной границы AB с углом в, как и в случае симметрии пластической области. Сложение перемещений материальных точек на деформированной левой границе приводит к наклонной свободной границе A1B1 левой пластической области с длиной стороны a и центральным углом 2а нового многоугольника с числом сторон 2N0.
AB
АС
Рис. 2
Ai
3 А
AB
Рис. 3
Угол веера линий скольжения у на рис. 2 определяется равенством напряжения ст в точке C, рассчитываемого от правой и левой свободных границ пластической области
у = п/2 - (а0 + р/2). (8)
На границе контакта с инструментом появляется касательное напряжение тс, определяемое по третьей формуле (5) при ф = —(п/4 + р/2) в точке C: тс = к sin р.
Нормальное давление q на инструмент рассчитывается по формуле (7) с подстановкой угла у из формулы (8) и увеличивается на величину кр по сравнению с деформированием первой пары ребер. Точка раздела течения C смещается от оси y и разрывы скорости [Vh и [V]2 вдоль правой и левой жесткопластической границы становятся различными. Однако вследствие малости угла р и напряжения тс это различие практически несущественно.
При деформировании последней пары ребер 3 и 6 (рис. 1) пластическая область, показанная на рис. 3, вновь становится симметричной. Свободные границы пластической области при повороте ранее полученных наклонных границ на угол р в противоположном направлении становятся параллельными границам начального многоугольника. Угол у центрированного веера линий скольжения, показанного на рис. 3, определяется формулой у = п/2 — а0.
Давление q на инструмент при деформировании последней пары ребер принимает наибольшее значение. Но вследствие малости углов р различие давления q и годографов скоростей при деформировании всех ребер практически несущественно.
Деформированное состояние в пластической области при сжатии ребер определяется годографами скоростей, показанными на рис. 1—3. При движении инструмента со
0
x
скоростью V поле скоростей, удовлетворяющее уравнениям (6) и граничным условиям V = 0, Vy = — Vна границе AC и Vx = 0, Vy = 0 на границе BC, определяется условием ортогональности линий скольжения на физической плоскости и на плоскости годографа, с разрывом скорости [V] на жесткопластических границах. Вследствие незначительного изменения пластической области при сжатии различных пар ребер, при расчетах деформированного состояния принимаем симметричное поле линий
скольжения и годограф скоростей с разрывом [V] = V/ 42 .
Деформированное состояние в пластической области при перемещении инстр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.