научная статья по теме ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРАЕВЫХ ДИРАКОВСКИХ ФЕРМИОНОВ Физика

Текст научной статьи на тему «ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРАЕВЫХ ДИРАКОВСКИХ ФЕРМИОНОВ»

Письма в ЖЭТФ, том 97, вып. 7, с. 469-472

© 2013 г. 10 апреля

Плазменные колебания краевых дираковских фермионов

В. А. Волков1^, И. В. Загороднев Институт радиотехники и электроники им. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия Поступила в редакцию 27 февраля 2013 г.

Вычислен закон дисперсии одномерных (Ш) плазмонов в квазиодномерной системе безмассовых дираковских фермионов (ДФ). Рассмотрены две модельные 2Б-системы, на краю которых возникают зоны краевых состояний, заполненные такими ДФ. Краевые состояния в первой системе, топологическом изоляторе, обусловлены топологическими причинами. Во второй же системе, системе массивных ДФ, они имеют таммовское происхождение. Показано, что законы дисперсии плазмонов в обеих системах в длинноволновом пределе отличаются только определением параметров (скоростью и глубиной локализации ДФ). Частота плазмонов формально имеет квантовый характер (ш ж Н-1/2) и в случае ку-лоновского взаимодействия между электронами слабо зависит от уровня Ферми Ер. В случае точечного взаимодействия зависимость от Ер усиливается. Квантовые особенности колебаний безмассовых 1Б ДФ устраняются введением массы ДФ на уровне Ферми и их концентрации. Выявлено соответствие закону дисперсии классических 1Б плазменных колебаний в узкой полосе "шредингеровских" электронов.

БО!: 10.7868/80370274X13070060

1. Введение. Плазмоны в низкоразмерных электронных системах интересны своим бесщелевым законом дисперсии, зависящим от геометрии структуры, и возможностью непрерывной перестройки частоты с помощью напряжения на затворе. Остановимся на некоторых свойствах классических 1D-плазмонов. Такие колебания удобно измерять в узкой полоске с вырожденным 2D-газом обычных (шредингеровских) электронов со спектром Е = h2k2/2m. Закон дисперсии плазменных колебаний в такой структуре в длинноволновом и низкочастотном пределах в пренебрежении запаздыванием имеет вид

. . . . /2е2п Г~

= —(!)

где es - фоновая диэлектрическая проницаемость, l -характерная ширина полосы, qy - волновой вектор плазмона вдоль нее, m - эффективная масса электронов. Проинтегрированная по поперечным координатам концентрация электронов n в (1) зависит от положения уровня Ферми Ер. Детальные расчеты дисперсии lD-плазмонов в приближении хаотических фаз (ПХФ) проведены в [1]. Экспериментальные доказательства закона (1) получены в [2, 3].

Выражение (1) имеет классический характер. Следует ожидать, что оно будет применимо и в системах с непараболическим спектром (например с релятивистским). Фермионы с релятивистским спектром

e-mail: VoVA@cplire.ru

часто называют дираковскими (ДФ). Особого внимания заслуживает система безмассовых ДФ, обладающих ультрарелятивистским спектром, Е = ±сН\к\. Закон дисперсии плазменных колебаний безмассовых ДФ произвольной размерности был вычислен в рамках ПХФ в работе [4]. Оказалось, что в 1Б-случае частота плазмонов не зависит от концентрации электронов, но содержит постоянную Планка Н. Объяснение этого удивительного результата основано на утверждении авторов [4] о принципиальной неклассичности плазмы безмассовых ДФ. Одна из целей настоящей работы - проверить эти выводы в двух разных моделях безмассовых квази-Ш

ДФ.

В последние годы развиваются исследования 3Б топологических изоляторов (ТИ) в кристаллах типа халькогенидов висмута [5]. В рамках непрерывного подхода они описываются модифицированным уравнением Дирака с диспергирующим массовым членом. По топологическим соображениям на поверхности этих систем образуется 2Б-зона безмассовых ДФ. Аналогичные краевые состояния (КС) могут существовать на краю полубесконечного 2Б ТИ [6]. Так, зона квази-Ш ДФ обнаружена в 2Б топологическом изоляторе на основе квантовых ям ЩТе/(Щ,С^Те [7]. Эта полупроводниковая структура имеет частично заполненный Ш проводящий канал КС. Краевые состояния защищены от рассеяния назад благодаря жесткой связи спина и импульса. Тем не менее, в дальнейшем мы будем пренебрегать вкладом спиновых колебаний в плазменные ко-

лебания. Для 3Б ТИ это справедливо в отсутствие сильных межчастичных корреляций [8, 9].

Безмассовые ДФ наблюдаются не только в ТИ. Так, поверхностные состояния с коническим спектром могут существовать на границе раздела узкощелевых полупроводников (типа халькогенидов свинца), зонная структура которых описывается уравнением Дирака, с вакуумом [10], а также на плавном (на атомных масштабах) гетеропереходе из таких полупроводников [11].

В настоящей работе в рамках ПХФ вычислен закон дисперсии плазмонов, обусловленных колебаниями квази-Ш безмассовых ДФ, заполняющих зону КС в 2Б-системах двух типов: ТИ и системе массивных ДФ.

2. Плазменные колебания краевых ферми-онов в 20 ТИ. Считается, что в квантовых ямах ЩТе/(Щ,С^Те при определенных условиях (толщине и составе квантовой ямы) возникает фаза 2Б ТИ [5, 6], которая и будет рассматриваться ниже. Электронный спектр такого состояния описывается эффективным гамильтонианом

Н

ей1 —

Н (к) 0 0 Н *(—к)

Н(к)

М — Б+к2 Л(кх — гку) Л(кх + гку) —М + Б—к2

(2)

(3)

где Нк — Н(кх, ку, 0) - 2Б-импульс, М < 0 - энергетический параметр, определяющий ширину запрещенной зоны, Л/Н - эффективная скорость света (Л> 0). Параметры Б± — Б ± В < 0 отвечают за дисперсию массы и приводят к модификации дираковского спектра. Величина параметров Б± имеет существенное значение для появления фазы ТИ [5, 12].

На краю системы гамильтониан (2) следует дополнить граничными условиями (ГУ). В ТИ обычно используют так называемые открытые ГУ, за-нуляющие на границе все четыре компоненты эффективной волновой функции [5, 13]. Используя эти ГУ и решая уравнение Шредингера с гамильтонианом (2) на полуплоскости х > 0, получим энергетический спектр электронов как функцию импульса вдоль границы Нку. Среди решений будут как объемные, энергии Е которых лежат в области \Е — Вк^\ >

> ^/(М — Вк2)2 + Ак2, так и краевые со спектром

Ез(ку

Ео + вНуку

МВ Ео =--V

НБ

Л.

(4)

(5)

Здесь в — ±1 - киральность, различающая две ветви КС, V - скорость КС. Выражение (4) является точным (ср. с [13]).

В силу киральности КС их волновые функции содержат только две ненулевые компоненты. Опишем состояния с в — +1.

Выражение для двух верхних компонент собственной функции гамильтониана (2) имеет вид

Ф + ,ку

К2Б_

1

Б

-К2'х \ егку у

(6)

где кх — ¿«1,2, «1,2 > 0. Здесь использовано условие К2 ^ «1, что в рассматриваемых квантовых ямах Б^Те/(Б^С^Те хорошо выполняется для КС, лежащих внутри объемной щели, т.е. при

М ~А

В этой же щели Л

К1

< К < - А

К2

м^/ЩЖ

АВ

+ вк

у

(7)

(8)

Если уровень Ферми Ер расположен в объемной щели, то имеется частично заполненная зона КС, в которой могут возникать плазменные колебания. Определим обратную глубину локализации КС на уровне Ферми как значение К2 на этом уровне:

МБ ВЕр

Кр

+

Ал/В+В- А^/ЩВ

(9)

Для характерных значений Б и В [5] в случае, когда Ер лежит достаточно близко к дираковской точке Ео, вторым членом в (9) можно пренебречь. Тогда характерная "толщина" Ш-системы к— не будет зависеть от положения уровня Ферми.

Используем длинноволновый (\яу\ ^ Кр) и низкочастотный (Нш ^ \Еь(кР — яу) — Ер\) пределы (Еь - граница объемного спектра), когда можно считать систему КС квазиодномерной, а вкладом объемных состояний в поляризацию пренебречь. Тогда в ПХФ диэлектрическая проницаемость еуу(Чу,ш), фурье-компонента потенциала межэлектронного взаимодействия V(ду) и поляризационный оператор П(яу,ш) имеют вид

еуу(Яу,ш) — 1 — V(Яу)П(9у, ш),

(10)

2е2 Г

=- / \ФкР(х)'фкР(х')\2Ко[\ду(х - х')\]<1х<1х'

п(д ш) =

Ев (ку — Яу) — Ев (к у) + Нш + ¿0'

(11)

К1 х

— е

Плазменные колебания краевых дираковских фермионов

471

где Ко(х) - функция Макдональда, имеющая логарифмическую асимптотику на малых аргументах, фкр - волновая функция КС на уровне Ферми с любым индексом "в" (т.к. ¡фэ^^ |2 не зависит от в), /о(Е) - функция распределения Ферми-Дирака при нулевой температуре.

Нули диэлектрической проницаемости (10) обычным образом определяют закон дисперсии Ш-плазмонов в зоне КС, заполненной ДФ:

ш(Чу) = 1Чу и

/2е2Н

1п

4кр

Ы

+ V2

(12)

Особенностями полученного закона дисперсии являются наличие квантовой скорости е2 /Н и отсутствие зависимости от заполнения зоны КС при энергиях Ферми, лежащих достаточно близко к дираковской точке, что согласуется с [4]. Проясним физический смысл этих необычных результатов. Используем тот факт, что плотность состояний безмассовых ДФ в Ш-случае не зависит от энергии. Введем концентрацию пр и массу тр на уровне Ферми следующим образом:

Пр =

\Ер — Ер |

mрv2 = ¡Ер - Ео1. (13)

Вторым членом под корнем в (12) обычно пренебрегают. Используя (13), квантовую формулу (12) можно записать в виде (1), если принять, что ширина полосы в (1) равна (4кр)-1. В результате дисперсии Ш-плазмонов в системах безмассовых дираковских и шредингеровских электронов совпадают.

На квантовом языке это можно объяснить следующим образом. В пределе |чу | ^ кр вид волновых функций, по которым усредняется кулоновское взаимодействие, непринципиален. Он влияет только на выражение под логарифмом в (12), а поляризационные операторы без учета спина в обоих случаях совпадают после линеаризации нерелятивистского электронного спектра вблизи уровня Ферми.

Другая особенность закона дисперсии (12) связана с отсутствием затухания Ландау, т.к. в поляризационном операторе (11) ш > Vчу | и распад плазмона на пары электрон-дырка невозможен.

Наконец, отметим, что обсуждаемые плазменные колебания соответствуют зарядовым возбуждениям в Ш-жидкости Латтинжера (см. дискуссию в [14]).

Выше считалось, что плазменные колебания обусловлены дальнодействующим кулоновским взаимодействием между электронами. Рассмотрим теперь случай короткодействующего взаимодействия. Его можно реализовать с помощью экранирующего ме-

таллического электрода (затвора). Давно известно [15], что затвор сильно смягчает закон дисперсии 2Б-плазмонов. Этот вывод справедлив, если расстояние до затвора 1 мало, в частности при ^ 1 ^ 1. Тогда уравнение Пуассона для потенциала плазмона у сводится к уравнению 5р = е8у/(2п1) (приближение локальной емкости),

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком