ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 12, с. 2184-2194
УДК 519.634
К столетию со дня рождения академика А.А. Дородницына
ПЛАЗМОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОЙ ЛОВУШКИ
"ГАЛАТЕЯ-ПОЯС"1)
© 2010 г. К. В. Брушлинский*, П. А. Игнатов**
(* 125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМатем. РАН;
** 115409 Москва, Каширское ш., 31, Нац. иссл. ядерный ун-т, МИФИ) e-mail: brush@keldysh.ru Поступила в редакцию 28.04.2010 г.
Математический аппарат плазм о статики, включающий в себя магнитогазодинамическое уравнение равновесия и стационарные уравнения Максвелла, в двумерных задачах, обязанных симметрии, сводится к одному скалярному уравнению второго порядка эллиптического типа с нелинейной правой частью — уравнению Грэда—Шафранова. В предлагаемой работе представлено численное решение серии краевых задач с этим уравнением, которые моделируют равновесные конфигурации плазмы в магнитном поле ловушки-галатеи типа "Пояс" в цилиндре с двумя погруженными в плазму проводниками. После краткого изложения математической модели приведены результаты расчетов магнитного поля и давления плазмы в цилиндре в зависимости от параметров задачи, вычислены основные интегральные характеристики ловушки. Обращено внимание на вопросы существования и единственности решения, и найдены предельные значения максимального давления, при котором существует решение задачи о равновесии. Библ. 16. Фиг. 4. Табл. 2.
Ключевые слова: математический аппарат плазм о статики, уравнение Грэда—Шафранова, расчеты равновесных конфигураций плазмы в магнитных ловушках.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) включает в себя удержание предполагаемого "топлива" в сильно сжатом и нагретом состоянии в течение времени, достаточного для осуществления ожидаемой реакции. Поскольку необходимая для этого температура измеряется десятками миллионов градусов, любое рабочее вещество может быть только в состоянии плазмы, а роль удерживающих ее сосудов может играть только магнитное поле. По этим причинам основным объектом многих исследований в области УТС становятся равновесные конфигурации плазмы в магнитном поле. Их часто имеет смысл изучать в плазмостатической модели вне зависимости от вопросов истории их формирования и устойчивости равновесия: и те, и другие представляют самостоятельный интерес и являются темой отдельных работ (см., например, [1]). Если конфигурация обладает какой-либо симметрией (плоской, осевой, винтовой), то математический аппарат плазмостатики, опирающийся на уравнения магнитной газодинамики, достаточно прост и весьма распространен в приложениях.
Представляет интерес перспективный класс ловушек, предложенных А.И. Морозовым в [2] и названных им "галатеями". Их отличительное свойство состоит в том, что проводники с электрическим током, создающие магнитное поле, погружены в плазменный объем. В результате геометрия поля становится более разнообразной и позволяет рассчитывать на более высокие параметры удержания. Одним из примеров галатей является тороидальная ловушка "Пояс". Ее основные особенности можно исследовать в упрощенной распрямленной модели: плазменный цилиндр с расположенными в нем двумя прямолинейными проводниками с токами, одинаковыми по величине и направлению. Идея ловушки, относящиеся к ней теоретические вопросы и име-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 09-01-00181 и 09-01-12056 офи-м).
2184
Фиг. 1.
ющиеся экспериментальные результаты изложены в [3]. Ряд вариантов равновесных конфигураций плазмы и поля в плазмостатической модели исследованы аналитически в простейших предположениях в [3], [4]. Интересны теоретические результаты об идеальных фигурах равновесия "дублет", полученные методами комплексного анализа в [5], [6]. Расчетам формирования равновесных конфигураций в нестационарной двумерной МГД-модели посвящены работы [7], [8] (см. также [1], [9], [10] с подробной библиографией).
В настоящей работе рассмотрена плазмостатическая модель распрямленной конфигурации типа "Пояс" на основе численного решения краевой задачи с уравнением Грэда—Шафранова. Связь давления плазмы с магнитными поверхностями ("магнитобарическая характеристика") предполагает сосредоточить плазму в центральной части цилиндра и вдоль сепаратрисы магнитного поля, проходящей через центр. В серии расчетов найдены распределения равновесных магнитного поля и давления в цилиндре в зависимости от параметров задачи, и на их основе получены интегральные характеристики, касающиеся азимутального магнитного потока и соотношения между величинами положительного (сонаправленного с током в проводниках) и отрицательного токов в плазме. Взаимодействие этих токов с магнитным полем создает амперо-ву силу, удерживающую плазму в указанной окрестности сепаратрисы. Получены также максимально возможные значения давления плазмы и полного тока в ней в каждом варианте расчетов, допускающие единственное и устойчивое решение задачи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МОДЕЛЬ МГД-РАВНОВЕСИЯ С УРАВНЕНИЕМ ГРЭДА-ШАФРАНОВА
В круглый2) цилиндр с плазмой погружены два проводника с токами. Сечение цилиндра и проводников плоскостью г = const, а также силовые линии созданного токами магнитного поля схематически представлены на фиг. 1. Предполагается, что поле не пересекает внешнюю границу цилиндра, а внутри его уравновешивает неоднородное по сечению давление плазмы. Задача со-
2) Форма внешней границы цилиндра не играет принципиальной роли в задаче. В работах [7], [8] он имеет квадратное сечение.
стоит в отыскании топологии магнитных поверхностей и удерживаемой ими равновесной плазменной конфигурации.
В приближении механики сплошных сред - магнитной газодинамики равновесие плазмы в магнитном поле описывается уравнением
Vp = - [jpl X H ], (1.1)
c
где p — давление, j — плотность тока, H — напряженность магнитного поля. Для получения замкнутой системы его следует дополнить уравнениями Максвелла
divH = 0, —j = rot H. (1.2)
c
Здесь j = jex + jpl — сумма заданного в проводниках внешнего jex и индуцированного в плазме jpl токов.
Предполагается плоская симметрия задачи в цилиндрических координатах (r, ф, г):
Э _ п тт _ л -ex_ -pl_ • _ л -ex_ -pl
dz
± - о, h-о, je; - jp - jr-о, j; - j; - j - o. (1.3)
Это, как известно (см., [1], [11], [12]), сильно упрощает математический аппарат исследования. Вместо магнитного поля Н удобно ввести вектор-потенциал, в данном случае его г-компо-ненту у:
= ду, H = .
Эф' ^ дr
rHr = ^, H = -™. (1.4)
Она является функцией магнитного потока, а ее линии уровня у(г, ф) = const — магнитными силовыми линиями. Из уравнений (1.1), (1.2) следует, что p и у функционально зависимы, т.е. p = р(у), и удовлетворяют скалярному уравнению Грэда—Шафранова
ду + 4п & + ^jex = 0. (1.5)
d у c
Здесь jex = jex, а p(y) — произвольная функция, которая не определяется формальной постановкой задачи и задается с помощью дополнительных требований к искомой конфигурации или на основе информации, полученной из экспериментальных данных. Это обстоятельство позволяет говорить о недоопределенности модели равновесия в терминах уравнения Грэда—Шафранова (см. [13]).
Краевая задача с уравнением (1.5) содержит граничное условие у = уг = const, соответствующее непротеканию магнитного поля Hn = 0 при r = R. Значение константы уг пока произвольно, поскольку потенциал у определяется с точностью до аддитивного слагаемого. Задача требует граничных условий также на границах проводников, однако, чтобы избежать трудностей ее решения в неодносвязной области, рассмотрим ее во всем круге r < R, задав в нем внешний ток jex(r, ф) распределенным в пространстве, но сосредоточенным вблизи центров проводников. По аналогии с циклом работ о стелларатор-галатеях (см. [1], [10], [14]) положим
_-ex , ^ „.„ i (r—roj2 _ (Ф - nnJ21
г =jo Z Н - - l^U (1.6)
n = 0
где (г = г0, ф = пп) — координаты центров проводников, а а и Ь — малые коэффициенты, определяющие их фактический поперечный размер. Коэффициент]0 подбирается так, чтобы полный внешний ток равнялся заданному току в проводниках:
R 2п
ЦТ ММф = 2Ic. (1.7)
00
Здесь Ic — значение тока в каждом из проводников.
В расчетах проверено, что результаты почти не меняются, если вместо экспоненты (1.6) задать финитные функции, например параболоиды
/с max {1 о J,
где х = rcos ф, y = rsin ф, подчиненные тому же требованию (1.7).
Функция p(y) задается в соответствии с логикой галатеи-пояса так, чтобы плазма оказалась сосредоточенной в центре и вдоль сепаратрисы магнитного поля, которая проходит через центр (фиг. 1). Для этого (по аналогии с [14]) положим
Р = Рос (1.8)
и подберем граничное значение уг так, чтобы у = 0 при r = 0.
Здесь p0 — характерная величина давления, q — параметр, влияющий на поперечный размер плазменной конфигурации.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Сформулированная краевая задача предварительно приведена к безразмерным переменным. Единицы измерения составлены из размерных величин, участвующих в постановке задачи, а именно от расстояния г0 от оси цилиндра до проводников и от заданной величины тока в одном проводнике 1с:
h = 2А
= H •
Ри 4 п, •
cH„
cru 4п 4п ги
У и = НиГи.
(2.1)
Параметры а и q в формулах (1.6) и (1.8) следует отнести к единицам ги и уи. В безразмерных переменных задача формулируется следующим образом. Уравнение Грэда—Шафранова
Ау + ¿(у) = 0 (2.2)
имеет место в круге г < Я (Я — радиус внешней границы, отнесенный к единице ги). Его правая часть
= f + / dy
содержит функции
РоехР
• = exp {
У о
q
2 ab ■
r - 1
2-,
ф - n п b
(2.3)
(2.4)
(2.5)
n = 0
Параметр у0 подбирается так, чтобы в искомом решении
у = у 0 при г = 0. (2.6)
Тогда граничное значение уг может быть любым, например уг = 0. Окончательный смысл функции потока в изложенных ниже результатах расчетов придается разности у — у0.
Задача, очевидно, симметрична относительно осей х(ф = 0) и у(ф = я/2), поэтому ее достаточно рассмотреть в одном квадранте
0<г<Я, 0<ф<п, г 2>
снабдив дополнительными граничными условиями ду/дф = 0 на упомянутых осях. В формуле (1.6) для внешнего тока достаточно оставить только первое сла
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.