научная статья по теме ПЛАЗМОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛОВУШЕК-ГАЛАТЕЙ С МАГНИТОПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ Физика

Текст научной статьи на тему «ПЛАЗМОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛОВУШЕК-ГАЛАТЕЙ С МАГНИТОПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 8, с. 687-696

МАГНИТНЫЕ ЛОВУШКИ

УДК 533.9.072

ПЛАЗМОСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛОВУШЕК-ГАЛАТЕИ С МАГНИТОПРОНИЦАЕМЫМИ ГРАНИЦАМИ

© 2014 г. К. В. Брушлинский*, **, А. С. Гольдич**

* Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия ** Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Москва, Россия e-mail: brush@keldysh.ru, alexdeph@gmail.com Поступила в редакцию 28.01.2014 г.

Представлены математические модели и результаты расчетов равновесия плазмы в круглом цилиндре с погруженными в нее тремя винтовыми или прямыми проводниками с током — распрямленном аналоге тороидальных ловушек-галатей. Равновесие описывается двумерными краевыми задачами с плоским и винтовым аналогами уравнения Грэда—Шафранова для скалярной функции магнитного потока. Рассмотрены задачи с граничными условиями первого рода, которые соответствуют прозрачной для магнитного поля границе цилиндра, и второго рода — в задачах с заданной величиной электрического тока, протекающего по плазме помимо токов в проводниках. В расчетах исследованы деформации магнитоплазменных конфигураций в цилиндре, обязанные указанным разновидностям постановки задач.

DOI: 10.7868/S0367292114080022

1. ВВЕДЕНИЕ

Одно из направлений в проблеме управляемого термоядерного синтеза — разработка и исследование ловушек-галатей, в которых проводники с током, создающие магнитное поле, погружены в плазменный объем. Перспективы таких ловушек и ожидаемая эффективность удержания связаны, во-первых, с большим разнообразием геометрии поля при различных взаимных расположениях проводников и, во-вторых, — с возможностью удерживать проводники в равновесии без дополнительных устройств, компенсируя силу тяжести магнитным давлением. Идеология галатей (и их название) предложены А.И. Морозовым [1], первому этапу исследований посвящен обзор [2]. Примером современных разработок галатей может служить "Тримикс-3М" [3]. Галатеи предполагаются, как правило, традиционной для ловушек тороидальной формы, однако многие теоретические положения и даже некоторые экспериментальные исследования, связанные с ними, возможны и удобны в более простом распрямленном варианте — цилиндре, однородном или периодическом в осевом направлении. В качестве простого примера приведем ловушку "Пояс" [4] — плазменный тор с двумя кольцевыми проводниками внутри и его прямой аналог — цилиндр с двумя проводниками, параллельными оси. Исследования "Пояса" первоначально опирались на опыт работ С.И. Сыроватского [5] с нейтральным токовым слоем. Теоретические [4] и экспериментальные [6] исследования "Пояса" дополнены его математическими моделями:

плазмостатическими [7—9], описывающими возможные равновесные конфигурации в нем, и плазмодинамическими [10—12], связанными с их формированием. К обобщениям и развитию "Пояса" следует отнести "Трилистник" — цилиндр с тремя параллельными токами [8] и его более интересную разновидность — "стелларатор-гала-тею" (СГ) [13], в которой эти три тока являются винтовыми, обвивающими ось цилиндра. Изучение их проведено пока только численно на языке плазмостатических моделей [14, 15, 8], результаты которых могут стать полезными в становлении будущей теории. МГД-модели обсуждаемых равновесных магнитоплазменных конфигураций основаны на численном решении двумерных краевых задач с известным уравнением Грэда—Шафранова [16, 17] в круговом сечении цилиндра. Во всех рассмотренных случаях [8, 14, 15] граница цилиндра предполагается непроницаемой для магнитного поля, т.е. в граничных условиях первого рода искомая функция магнитного потока ¥ считается постоянной, а ее значение определяется конкретными обстоятельствами задачи. Модели при этом имеют относительно простую и замкнутую логику, не зависящую от того, что происходит за границами цилиндра.

Однако в интересах полноты теории и перспектив приложений к экспериментам в более сложных условиях имеет смысл рассмотреть краевые задачи с более сложными граничными условиями: первого рода — с непостоянной по азимуту функцией ¥ (ф) на границе, и второго рода — с заданием нормальной производной д^/ди, которая

(с обратным знаком) равна тангенциальной компоненте магнитного поля на границе. В обоих случаях граница становится прозрачной для магнитного поля, что может быть связано, например, с влиянием дополнительных проводников с током, расположенных вне цилиндра. Кроме того, задание поля и тем самым его циркуляции вдоль границы, означает задание полного электрического тока (в проводниках и в плазме) в ловушке, величина которого раньше определялась в расчетах и зависела от других параметров.

Постановка обоих типов задач и их реализация в расчетах осуществлена в работе [9] применительно к "Поясу". Результаты расчетов продемонстрировали разнообразие равновесных плазменных конфигураций и изменение их параметров в зависимости от магнитного потока сквозь границу и от величины полного электрического тока.

В настоящей работе представлены результаты расчетов краевых задач с упомянутыми граничными условиями в моделях указанных выше ловушек с тремя проводниками в плазменном цилиндре. В рассматриваемых конфигурациях СГ плазма сосредоточена у сепаратрисы магнитного поля, отделяющей окрестности проводников от области в центре и от периферии цилиндра. Они предпочтительнее для удержания плазмы по сравнению с конфигурациями в центральной области [15].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Математические модели равновесных плазменных конфигураций в ловушках строятся в терминах уравнений магнитной газодинамики, от которых в состоянии покоя (д¡дt = 0, V = 0) остается только одно

Vp = 1 jpl х H, c

(1.1)

¡pi

где ] = у + ] — сумма индуцированного в плазме ("собственного") и заданного в проводнике ("внешнего") токов. Вместе с уравнениями Максвелла

v - H = 0, ^ j = v х H c

(1.2)

они составляют систему трех уравнений с неизвестными давлением р, напряженностью магнитного поля Н и плотностью электрического тока у Распределения этих величин в пространстве ловушки, полученные в результате решения краевой задачи с уравнениями (1.1), (1.2), полностью характеризуют искомую равновесную конфигурацию. Распрямленным аналогом СГ является круглый плазменный цилиндр, в который погружены три винтовых проводника с током. Есте-

ственно ввести дополнительное предположение о винтовой симметрии всей конфигурации: пусть ее характеристики зависят только от двух независимых переменных в цилиндрических координатах (r, ф, z):

r, 0 = ф - az, где а = 2я/h, h — шаг винта проводников.

В результате задача в круговом сечении цилиндра становится двумерной: уравнения (1.1), (1.2) сводятся к одному скалярному уравнению второго порядка для функции магнитного потока ¥ — винтовой разновидности уравнения Грэда—Ша-франова [18, 19, 14]

д **¥ + g(¥) = 0,

(1.3)

где

д**Р = 1 Ml +1 д2p

r dr vn dr J r 30

2 2

П = 1 + a r ,

g (p) = dp - 8na i + ^ = о

c dP cn2 c

Функция ¥ связана с магнитным полем уравнениями

rH = ^, H0 = H - arHz = .

r de 0 ф г dr

(1.4)

Давление p — функция от ¥, т.е. постоянно на каждой магнитной поверхности Т = const. Оно задается в соответствии с какими-либо требованиями к искомой конфигурации и в рассматриваемых задачах принимается вида

Р = Рое 4 ' ' , (1.5)

так что плазма сосредоточена около поверхности

^ = ^ о.

Величина I в уравнении (1.3) — функция электрического тока — положена постоянной I = 3Jc|h, равной отношению суммы токов в трех проводниках к шагу винта в соответствии со сделанными предположением о винтовой симметрии задачи [14].

Чтобы избежать постановки и решения задачи в многосвязной области — круге с вырезанными из него сечениями проводников конечного диаметра, в уравнение (1.3) введено слагаемое

2 (г-го )2+п(8-2ип/3)2

= Г (г, 0) = 7оXе " , (1.6)

п=0

соответствующее току в проводниках. Здесь (г0, 2пп/3) — координаты трех проводников, гс < г0 — условный радиус проводника, а коэффициент ]0 подобран из условия

JJ jex (r, Q)rdrdQ = 3Jc,

(1.7)

l <R

(а)

(б)

Рис. 1. Силовые линии магнитного поля - ^0 = const) и линии уровня давления p/p0 в базовых вариантах конфигурации: а) — в трилистнике ; б) — в СГ.

где Jc — величина тока в каждом из проводников [14, 20, 8].

Краевая задача с уравнением (1.3) в круге r < R включает в себя граничные условия при r = R. В предыдущих работах [14, 15, 8] они соответствовали изолированному кожуху Hn = Hr = 0, т.е. согласно (1.4), ¥ = ¥ г = const. Значение константы может быть произвольным, в расчетах она положена равной нулю, а параметр ¥ 0 в формуле (1.5) подбирается так, чтобы он соответствовал сепаратрисе, отделяющей окрестности проводников от центральной области и периферии ловушки (рис. 1). В интересах дальнейшего развития теории ловушек-галатей в настоящей работе рассматриваются два типа более сложных граничных условий:

1) Условие первого рода с заданной при г = Я функцией

Ч = Ч Г(0), (1.8)

оно позволяет магнитному полю проникать сквозь границу цилиндра, а именно,

d Ч.

Hn = Hr = ф 0. n r rdQ

(1.9)

= -Hr(6),

(1.10)

2) Условие второго рода с заданной нормальной производной искомой функции ¥

дЧ =

ди дг

где НГ = Н0(Я, 0) — "азимутальная" в винтовых координатах компонента магнитного поля. Как известно, вторая краевая задача с уравнением Пуассона разрешима только при выполнении необходимого согласования потока через границу с

интенсивностью источника. В рассматриваемой задаче аналогичное условие возникает, если проинтегрировать уравнение (1.3) по кругу г < r и использовать граничное условие (1.10):

П(К)

| HГ дое= Л g(x¥)гdгdе.

(1.11)

0 г <к

Равенство (1.11) при заданной функции ИГ(0) вместе с уравнением (1.3) однозначно определяют искомую функцию ¥ и максимальное значение давления p0 в формуле (1.5).

Поскольку электрический ток Jc во всех проводниках один и тот же, а их расположение симметрично относительно осей 0 = п п/3 , поставленная задача по физическому смыслу также симметрична относительно этих осей. Поэтому ее достаточно ставить и решать только в секторе

п

0 < г < ^ 0 < 0 <

3

(1.12)

дополнив очевидными условиями симметрии

(1.13)

— = 0 при 0 = 0, п.

5

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»