ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 6, 2009
УДК 539.3
© 2009 г. В. М. Александров, Л. А. Костырева
ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ
Рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в верхнюю грань слоя при наличии в слое однородного поля начальных напряжений. Используется модель изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, задаваемого потенциалом Муни. Исследуется случай опирания слоя по нижней грани без трения. Считается, что дополнительные напряжения, вызванные вдавливаемым штампом, малы по-сравнению с начальными. Такое предположение позволяет линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений. В дальнейшем она сводится к решению интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно давления в области контакта. В зависимости от безразмерного параметра X, характеризующего относительную толщину слоя, строятся асимптотические решения для больших и малых значений этого параметра. Также с помощью модифицированного метода Мультоппа — Каландии получается решение для всего интервала значений параметра, исследуемого методами "больших" и "малых" X.
1. Постановка задачи. Рассмотрим слой толщины к из изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, опирающийся по нижней грани без трения. Слой находится в однородном напряженном состоянии, создаваемом растягивающими силами, приложенными на бесконечности. Выберем систему координат Оху таким образом, чтобы ось Оу была перпендикулярна поверхности слоя. Тогда компоненты тензора напряжений в начальном состоянии имеют вид
0 0 0 0 0 0 п /11Ч
а11 = Я > а 22 = а33 = а12 = а13 = а 23 = 0 (1Л)
Далее будем считать, что после предварительной большой деформации на верхнюю грань слоя действует жесткий штамп, имеющий форму бесконечной полосы
\х\ < а, - ад < у < ад
Предполагаем, что вызванные воздействием штампа возмущения деформаций и напряжений относительно малы. Это позволяет линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений и перемещений на фоне основного напряженно-деформированного состояния.
Предполагается, что упругие свойства материала задаются потенциалом Муни [1]. Поэтому компоненты тензора дополнительных напряжений после линеаризации будут иметь вид
(1.2)
где q — дополнительное гидростатическое давление, и и и — дополнительные перемещения вдоль осей х и у. При учете этого получаются уравнения Ламе. Дополнив их условием несжимаемости, имеем полную систему уравнений для определения неизвестных перемещений u, и и функции q
цди - s^-UL + д! = 0, цАи - s+ д1 = 0, + ^ = о (1.3)
дх дх дхду ду дх ду
Граничные условия имеют вид
у = h : с ух = 0; с уу = 0 при |х| > а, и = -[5 + вх - /(х)\ при |х| < а (
у = 0 :сух = 0, и = 0
Здесь 5 — глубина погружения штампа в слой, Р — угол его поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости Оху, /(х) задает поверхность штампа.
Необходимо рассмотреть вспомогательную задачу, в которой к краевым условиям, помимо уже указанных, прибавится еще одно — относительно нормального напряжения под штампом:
у = h, |х| < а : а уу = - q1(х)
В дальнейшем будет показано, что задача сводится к определению этого контактного давления из интегрального уравнения.
2. Сведение задачи к решению интегрального уравнения. Применим к уравнениям (1.3) преобразование Фурье и, воспользовавшись его свойствами, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант, для которых введем обозначения
да да да
U(a,у) = |и(х,у)е'ах йх, V(a,у) = Jи(х,у)е'ах йх, Q(a,у) = J 1(х,у)е'ах йх
—да —да —да
Тогда общее решение имеет вид V = (С1 + С2ау)еау + (С3 + С4ау )е ~ау
U = (С3 - С4(1 - ау))е~ау - '(С1 + С2(1 + ау))еау (2.1)
Q = а^С3 - С4^ + 2ц - sаy))е~ау - a(sQ + С2 (s + 2ц + sаy))еау
Чтобы определить неизвестные функции С' = С'(а)(' = 1,2,3,4), подставим полученные решения (2.1) в краевые условия (1.4), преобразованные в граничные условия для трансформант. Также введем обозначение для трансформанты контактного давления
Ша) = |
-а
В результате придем к системе четырех линейных алгебраических уравнений относительно С, (а), решив которую, получим, в частности,
да 2
иХн) = Гт)-ь*аа. ь{и) =-2(^и -1) 1
- а 2сЪи&Ы + 2и _ и
а
Воспользуемся последним граничным условием (остальные уже удовлетворены). Получим
u(x,h) = -[5 + вx - f(x)] = -g(x), |x| < a
Заметим, что функция K(u) = L(u)/u четная, поэтому, используя представление для трансформанты Q(a), придем к интегральному уравнению, которое после перехода к безразмерных величинам
x- = x, z Д х= h, s' = s, ф(^) = |(x') = ^
a a a ц ц a
(в дальнейшем штрихи и тильды будем опускать) представляется следующим образом:
1 <»
Гф(^ f^cosu(^- x)du = ng(x), Ixl < 1 (2.2)
J J u X
-1 0
3. Модифицированный метод Мультоппа—Калландии [2]. Этот метод позволяет с помощью определенной дискретизации интегрального уравнения свести его к системе линейных алгебраических уравнений. Будем иметь в виду поведение функции L (u) в нуле и на бесконечности
L(u) = —2— u + O(u3), u ^ 0; L(u) = 1 + O(e 2u), u ^ да
4 - s
Можно показать, что в этом случае ядро интегрального уравнения (2.2) позволяет выделить логарифмическую особенность:
k (t) = - ln |t| + F(t) (3.1)
где F( t) — регулярная четная функция. Следовательно, уравнение (2.2) приводится к виду
- |ф(^)1п ^ = ng(x) - J9(^)F|x| < 1 (3.2)
-1 -1
Пусть функция g(x) такова, что ее производная удовлетворяет условию Липшица
|g'(x^ - g'(xi) ^ m|x1 - x^, Vxb x2 e [-1,1]; m = const
Тогда при данном значении X существует решение уравнения (3.2) в классе Lp[—1, 1] (1 < p < 2), и оно представимо в форме
Ф (x) = Ф (x) л/Т—
2
■ x
причем функция Ф^) по меньшей мере непрерывна.
Построим для нее интерполяционный многочлен Лагранжа Ф (0) (x = cos0) по чебышевским узлам. Тогда после замены в уравнении (3.2) функции Ф^) ее полиномом Лагранжа интегралы в левой части этого уравнения явно вычислятся, а в правой части, с подынтегральной функцией F( t), их можно вычислить приближенно по квадратурной формуле Гаусса. Ранее было замечено также, что функция F(t) четная, поэтому можно взять нечетное число узлов N = 21 + 1 и получить систему l + 1 линейных алгебраических уравнений для определения значений Ф(9„) (n = 1, ..., l + 1; 9n = л(2и - 1)/2N, xn = cos9n)
1+1
п = 1 +
где
X Ф(Зп)5п|1п2^ + ^+(ЗпА) +
„¡соьЭ» - соьЭк\ * \ --'' +
совЭп + cosЭk ^
)}=(1+2)кад, к=1,...,1+1
<т/+/ оч ^ соя2тусоя2т§ . . ч , Р
^ 1 (¥,9) = Ъ- -' = &(Хк), §п =1
, т [1
т = 1 ^
1, П * 1 + 1
1/2, п = 1 + 1
4. Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя [3]. Для построения асимптотического решения, воспользуемся представлениями (3.1) и (3.2), а функцию ) разложим в сходящийся степенной ряд
к(Щ) = - 1п Щ - X а4
2п
п = 0
да и п
а0 = I1——е— ¿и, ап = ( 1) [(1 - Ь(и))и2пЛйи, п = 1,2.... J и (2п)! -1
0 У ' 0
Следовательно, уравнение (3.2) преобразуется к виду
1 да 1
- ]ф(¡^)1п ^ ^ = щ>(х) + X Огп /ф^ХЪ - х)2"аЪ X * 1
-1 Л п = 0 Л -1
Ищем решение уравнения (4.2) в форме ряда
(4.1)
ф(х) = Е
п = 0
^п(х) X
2п
(4.2)
(4.3)
Подставляя выражение (4.3) в уравнение (4.2) и приравнивая в нем члены при равных степенях А, придем к бесконечной системе последовательно решаемых интегральных уравнений относительно функций фп. Решение имеет вид
N0
"х Г 18
ф(х) =
п¡l—.
1 _ --[1 _ х2] - 402.[1 _ х2 - х-
1 __г
--Г^=2 \$)^ + 2ах + 1[2а46х3 _ 6хV
П11 _ х _1 1ь_ х XX
+ 2х$2 _ 2х + 3$) + ^Ц^ + О^^ 2N0 = N0 — безразмерное давление под штампом, определяемое равенством
N0 =
1п2Х-а0 - 02 - О* - + О0--6) х2 4Х 4Х
-1
1 +^ \^2т ^+^+^+ о(х-6)
1
2
30
со
Метод Мультоппа—Каландии Асимптотические методы
s Малые X Большие X
X = 0.5 1 2 4 0.5 1 2 2 4
0 17.42 9.42 5.48 3.57 16.68 9.21 5.47 5.57 3.48
2 9.77 5.76 3.75 2.69 9.69 5.74 3.78 3.76 2.69
3 5.60 3.60 2.58 2.00 5.49 3.57 2.67 2.58 2.00
5. Асимптотическое решение при малой отностельной толщине слоя [3]. Можно показать, что при достаточно малых X решение уравнения (2.2) можно искать в виде
, Ч (1)Д + х\ (2)/1 - х\ (0)/ х\ 1Ч
Ф(Х) = „ (_) + Ю (_) (-) (5.1)
^ (1) (2) (0)
Функции ю ,ю ,ю — решения интегральных уравнении
от
|ю(1)(т)£(т- t)dт=пg(Xt - 1), 0 < t 2 X
о
от
|ю(2)(т)£(т - t)dт = пg(1 - Xt), 0 < t < да (5.2)
0
от
|ю(0)(т)£(т- t)dт=пg(Xt), -да< t 1 X
0
Решения первых двух уравнении (5.2) могут быть найдены методом Винера— Хопфа [4], последнего — с помощью теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье.
Рассмотрим конкретный простой случай. Пусть g(x) = 8' = 28/а (штрих в дальнейшем опускаем). Тогда решение третьего интегрального уравнения (5.2) имеет вид
^ = ^ (5.3)
Для построения решений первых двух интегральных уравнений (5.2) в аналитическом виде аппроксимируем функцию L(u )/и выражением
Ь*\и)_V« 2 + B2
- 2 .2 (5.4)
и и + А
Постоянные А и В подбираются таким образом, чтобы выполнялись соотношения
L*(«) = -1—и + 0(и3), и ^ 0; L*(u) = 1 + О1, и ^ ж С учетом аппроксимации получим
ю(1)(х) = ю(2)(х) = ^АвV(х), V(х) = АетЯЬ/вХ) +
Подставляя полученные решения в равенство (5.1) и вычисляя интегралы, получим
В таблице приведены значения величины N0 при разных X и 5. При этом для каждого значения 5 аппроксимация L *( и) строилась так, что погрешность не превосходила 14%.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований за (08-01-00003, 07-08-00730, 08-08-90033-Бел, 09-08-01141, 9-01-00004).
1. Александров В.М., Филиппова Л.М. Контактная задача для тяжелой полуплоскости // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 535-539.
2. Александров В.М. Осесимметричная контактная задача для упругого бесконечного цилиндра // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. 1962. № 5. С. 91-94.
3. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.
4. Noble B. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations. London, etc.: Pergamon Press, 1958 = Шбл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.