научная статья по теме ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ, ЗАЩЕМЛЕННОГО ПО ОСНОВАНИЮ Механика

Текст научной статьи на тему «ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ, ЗАЩЕМЛЕННОГО ПО ОСНОВАНИЮ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2012

УДК 539.3

© 2012 г. В. М. АЛЕКСАНДРОВ, Л. А. КОСТЫРЕВА

ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО

НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ, ЗАЩЕМЛЕННОГО ПО ОСНОВАНИЮ

Рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в верхнюю грань слоя при наличии в слое однородного поля начальных напряжений. Используется модель изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, задаваемого потенциалом Муни. Исследуется случай жесткого защемления слоя по нижней грани. Считается, что дополнительные напряжения, вызванные вдавливаемым штампом, малы по сравнению с начальными. Такое предположение позволяет линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений. В дальнейшем она сводится к решению интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно давления в области контакта. Строится асимптотическое решение для больших значений параметра, характеризующего относительную толщину слоя. Также с помощью модифицированного метода Мультоппа-Ка-ландии получается решение для более широкого интервала значений параметра.

Ключевые слова: контактная задача, предварительное нагружение, слой, потенциал Муни.

1. Постановка задачи. Рассмотрим слой толщины к из изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, жестко защемленного по нижней грани. Слой находится в однородном напряженном состоянии, создаваемом растягивающими силами, приложенными на бесконечности. Выберем систему координат Оху таким образом, чтобы ось Оу была перпендикулярна поверхности слоя. Тогда компоненты тензора напряжений в начальном состоянии имеют вид

0 0 0 0 0 0 „ /11\ = =°33 =°12 = = а 23 = 0 и.1)

Далее будем считать, что после предварительной большой деформации нижняя грань слоя жестко защемлена, а на верхнюю грань действует жесткий штамп, имеющий форму бесконечной полосы |х| < а, - да < у < да.

Предполагаем, что вызванные воздействием штампа возмущения деформаций и напряжений относительно малы. Это позволяет линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений и перемещений на фоне основного напряженно-деформированного состояния.

Предполагается, что упругие свойства материала задаются потенциалом Муни [1]. Поэтому компоненты тензора дополнительных напряжений после линеаризации будут иметь вид

(1.2)

где q — дополнительное гидростатическое давление, и и и — дополнительные перемещения вдоль осей x и у. При учете этого получаются уравнения Ламе. Дополнив их условием несжимаемости, имеем полную систему уравнений для определения неизвестных перемещений и, и и функции q:

• д2и , дд „ . д2и , дд „ ди , ди п /, оЧ

цЛи - 5—- + — = 0, цЛи - 5--+ — = 0,--+— = 0 (1.3)

дх2 дх дхду ду дх ду

Граничные условия имеют вид

у = к: аху = 0; ауу = 0 при |х| > а

и = -[5 +вх - /(х)] при |х|< а (1.4)

у = 0: и = 0, и = 0

Здесь 5 — величина погружения штампа в слой, Р — угол его поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости Оху, функция /(х) задает поверхность штампа.

Необходимо рассмотреть вспомогательную задачу, в которой к краевым условиям, помимо уже указанных, прибавится еще одно — относительно нормального напряжения под штампом:

у = к, |х| < а: о уу = -^(х)

В дальнейшем будет показано, что задача сводится к определению контактного давления ^(х) из интегрального уравнения.

2. Сведение задачи к решению интегрального уравнения. Применим к уравнениям (1.3) преобразование Фурье и, воспользовавшись его свойствами, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант, для которых введем обозначения

да да

и (а, у) = | и(х, у)етх йх, V (а, у) = | и(х, у)етх йх

—да —да

да

2(а, у) = | д(х, у)е'ахйх

—да

Тогда общее решение имеет вид V = (С1 + С2ау)еау + (С3 + С4ау)е ~ау

и = (С3 - С4(1 - ау))е~ау - '(С1 + С2(1 + ау))еау (2.1)

<2 = а(5С3 - С4(5 + 2ц - 5ау))е ау - а(5С1 + С2(5 + 2ц + 5ау))еау

Чтобы определить неизвестные функции С1 = С 1 (а) (' = 1,2,3,4), подставим полученные решения (2.1) в краевые условия (1.4), преобразованные в граничные условия для трансформант. Также введем обозначение для трансформанты контактного давления

а

а(а) = 141©е'а^ ¡5

В результате придем к системе четырех линейных алгебраических уравнений относительно С' (а), решив которую, получим, в частности

lr,,, ч L(ah) -iax i Т / ч sh2u - 2u

u(x, h) = —— J Gl(a)e -axd a; L(u) =

-U 2

^ a ch2u +1 + (2 - sц )u

Воспользуемся последним граничным условием (остальные уже удовлетворены). Получим

u(x, h) = -[8 + вx - f (x)] = -g(x), |x| < a

Заметим, что функция K(u) = L(u)/u четная, поэтому, используя представление для трансформанты Q^a), придем к интегральному уравнению, которое после перехода к безразмерных величинам

x. = x, Д х = h, s. = ф(^.) = 21(1), Kx-) = 2gCx) a a a ц ц a

(в дальнейшем штрихи и тильды будем опускать) представляется следующим образом:

1 т

J ф(^ JL(u)cosu(^ - x)du = ng(x), |x| < 1 (2.2)

-1 0 u

3. Модифицированный метод Мультоппа—Калландии. Этот метод [2] позволяет с помощью определенной дискретизации интегрального уравнения свести его к системе линейных алгебраических уравнений. Будем иметь в виду поведение функции L(u) в нуле и на бесконечности:

L(u) = 2/3u3 + O(u5), u ^ 0; L(u) = 1 + O(e ~lu), u ^ да

Можно показать, что в этом случае ядро интегрального уравнения (2.2) позволяет выделить логарифмическую особенность:

k(t) = - + F (t) (3.1)

где F(t) — регулярная четная функция. Следовательно, уравнение (2.2) приводится к виду

- I ф© In ^ d% = ng(x) - j <p©F (JdЪ, |x| < 1 (3.2)

Пусть функция g(x) такова, что ее производная удовлетворяет условию Липшица

|g '(x1) - g '(x2)|m|x1 - x21, Vxb x2 e [-1,1]; m = const

Тогда при данном значении X существует решение уравнения (3.2) в классе Lp[ — 1, 1] (1 < p < 2), и оно представимо в форме

ф(*) = Ф(*)Л/1 - x2 (3.3)

причем функция Ф^) по меньшей мере непрерывна.

Построим для нее интерполяционный многочлен Лагранжа Ф (9) по чебышевским узлам xn = cos 9n, 9n = n(2n -1)/2N, n = 1,..., N:

N С N-1 ^

(3.4)

ф(9) « N Z Ф(0n) 1 + 2 Z cos m9n cos m9

n=1 V m=1

Перейдем в интегральном уравнении (3.2) к новым переменным 0 и у согласно формулам х = cos у, £ = cos 0. На основании (3.3) имеем

-J Ф (0)ln

cos у - cos 9

X

dV = «K9) - JФ(9)F(coscos9)dу

(3.5)

0 < 0 < п, ¿(0) = ¿(соб 0)

Подставив в интегральное уравнение (3.5) приближенное выражение (3.4) и использовав соотношение

-Jcossy ln

cos y - cos 9

X

n ln(2X), s = 0

dy = { -1

ns cos s9, s = 1,2,.

вычислим точно интегралы в левой части уравнения. Интегралы, стоящие справа, вычислим приближенно с помощью квадратурной формулы Гаусса. В итоге получим

N

(

N-1 / ч Л

1 ™ cos m9n cos m9 _( cos 9„ - cos 9 Ф(9) ln 2k + 2 ^---+ F

n=1

m=1

k

= Ng( 9)

Применив метод коллокации, т.е. положив 9 = 9к(к = 1,..., Ж), получим следующую систему N линейных алгебраических уравнений для определения значений Ф (9П):

1+1

X Ф(0n) |ln2X + 2^(0„,ек) + F

cos 9n - cos 9k

. X .

= Ng(0k),

N-1

^(v.0) = Z

cos my cos mQ

4. Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя. Для построения асимптотического решения [3] воспользуемся представлениями (3.1) и (3.2), а функцию Г(г) разложим в сходящийся степенной ряд, учитывая, что

k(t) = - ln 1t\ + ^ ant2

n=0

a0 = 1

L(u) - 1 + e u

u

(— 1)П

du, an = ( ^ J (L(u) - 1)un-du, n = 1,2, ...

0 4 ' 0 Следовательно, уравнение (3.2) преобразуется к виду 1 »1 - J <p© ln ^ d$ = ng(x) - х I p© ($ - х)2Х х < 1

-1

n=0 1 -1

Ищем решение уравнения (4.2) в форме ряда

(4.1)

(4.2)

ф(х) = z

Фп(х)

(4.3)

П

0

n=1

m

m=1

JO

n=0

5 Метод Мультоппа- -Каландии Асимптотический метод больших X

X = 0.5 1 2 3 4 2 3 4

0 77.901 24.865 10.252 6.853 5.403 10.572 6.867 5.405

2 62.616 19.372 8.263 5.727 4.627 8.249 5.727 4.627

3 54.437 16.428 7.145 5.0645 4.155 7.133 5.064 4.155

4 45.686 13.277 5.898 4.296 3.591 6.000 4.308 3.594

Подставляя выражение (4.3) в уравнение (4.2) и приравнивая в нем члены при равных степенях X, придем к бесконечной системе последовательно решаемых интегральных уравнений относительно функций фи. Решение имеет вид

Ф(*)

п/Т—

1 + 2а ГТ - * 21 + ^ Г7 _ *2 _ *4 ] +

X2 ^2

X4 18

+ 623 03 + 3 * 2 _ 9 * 4 _ * б ] _ За^ Г1 _ * 2

X6 18 4 2 ) X6 12

'© - _

п/1 _ *2 -Т * X2

_ 2а2(6*3 _ 6*2Г + 2*Г2 _ 2* + ЗГ) _ Щ* _

X

X

За

V

10*5 _ 20*+ *3(20Г2 + 5) _ *2(10Г3 _ 5Г) +

+* (2Г4 _ 9Г2 _ у) + 5Г + 5Г2

й Г + О

Величина контактного давления Ы0 = | в этом выражении должна быть

определена из соотношения

#0Ш2Х= | ¡¡Щ - ^ - 1 Ч>©(&-0

- о 1=0Х _1 п11 - о _1

;- 0)2 йй

С точностью до членов порядка X

N0 =

' 1п 2Х + а0 + - 4 + 921 -^ + ^ + о Г -1 0 Х2 4Х4 4Х4 Х6 4Х6 чХ8

г 1 1 _ , , м 4

и^ ^+* (,2+7)+Х6 (04+»2+39) - ^+о (хЛ ]*

V-1 ( -1

(4.4)

Рассмотрим конкретный простой случай. Пусть ¡(*) = 8' = 28/а (штрих в дальнейшем опускаем). В таблице приведены значения величины N при разных X и 5.

Авторы благодарят Российский фонд фундаментальных исследований за финансовую поддержку (08-01-00003, 08-08-90033-Бел, 09-08-01141, 9-01-00004).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В.М., Филиппова Л.М. Контактная задача для тяжелой полуплоскости // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 535-539.

2. Александров В.М. Осесимметричная контактная задача для упругого бесконечного цилиндра // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 5. С. 91-94.

3. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

Москва Поступила в редакцию

E-mail: alexand@ipmnet.ru 1.02.2010

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»