КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 3, с. 248-259
УДК 629.198
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ С ВЫСОКОЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
НА ГЕОСТАЦИОНАР
© 2004 г. Р. 3. Ахметшин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 25.06.2002 г.
Полеты с малой тягой с высокоэллиптических орбит представляют интерес, так как позволяют уменьшить затраты рабочего вещества по сравнению с перелетами с большой тягой, и позволяют уменьшить продолжительность полета, а также снизить вредное влияние радиационных поясов - по сравнению со спиральной раскруткой с низких околокруговых орбит. На основе принципа максимума задача оптимизации сводится к двухточечной краевой задаче, которая решается численно модифицированным методом Ньютона. Предложена методика получения начального приближения для решения краевой задачи, использующая идею перехода от приближенно-оптимальной траектории к оптимальной. Рассмотрены две задачи, различающиеся моделями малой тяги: постоянно действующей, и с возможностью включения/выключения. На направление тяги в обоих случаях ограничений не накладывается. Проведено сравнение этих задач. Исследовано, какой выигрыш в конечной массе может быть получен при переходе от первой задачи ко второй, за счет какого проигрыша в продолжительности перелета, и как при этом изменяется оптимальная программа управления.
Определенный интерес возник в последнее время к возможности использования малой тяги для вывода космического аппарата на геостационарную орбиту [4-7, 9-11]. Если в 60-е годы для подобных целей (перелет на круговую орбиту; разгон до параболической скорости ухода из сферы действия Земли) большее внимание уделялось исследованию спиральной раскрутки с низкой круговой или околокруговой орбиты, то сейчас больший интерес представляют перелеты с малой тягой с высокоэллиптической орбиты. Главные преимущества комбинированного маневра, включающего перевод с низкой орбиты на высокоэллиптическую с помощью большой тяги, и последующий полет на геостационар с помощью малой тяги - меньшая продолжительность перелета и меньшее вредное воздействие на работоспособность солнечных батарей (которые рассматриваются в качестве основного источника электроэнергии на борту КА) - по сравнению с чисто спиральной раскруткой малой тягой с низкой орбиты; и меньшие затраты рабочего вещества - по сравнению с чисто импульсным маневром с большой тягой.
Характерной особенностью рассматриваемых траекторий является большое число витков вокруг Земли - от нескольких десятков до нескольких сотен (возможно, до тысячи), что представляет немалые трудности при численном поиске оптимального управления. Например, в задаче с возможностью включения/выключения тяги необходимо достаточно точно определять нули функции переключения, число которых может достигать 1-2 тысяч и более.
В случае постоянно действующей тяги, как показывает опыт, хорошо работают методы осреднения [3, 5-9]. При другом подходе к решению задачи явно задается структура управления и используются прямые методы оптимизации [1, 4]. Возможно комбинирование этих подходов. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Так, прямые методы оптимизации порой оказываются "грубыми": погрешность приближенного решения задачи оптимизации сравнима с влиянием параметров задачи. Большая случайная составляющая не позволяет в этом случае получить приемлемой количественной и качественной картины. Аккуратное решение задачи оптимизации представляет особенные трудности [10].
В данной работе задача оптимизации решается "точно" - на основе принципа максимума формируется двухточечная краевая задача, которая решается численно. Это позволило аккуратно исследовать некоторые тонкие эффекты. Задача решена для двух моделей малой тяги: 1) постоянно действующей и 2) с возможностью включения/выключения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача оптимального перелета в центральном поле Земли космического аппарата с малой тягой. Оптимальная программа управления вектором малой тяги, направление которой может быть произвольным, определяется из условия принципа максимума и находится в результате решения двухточечной краевой задачи. Максимизируемый функционал - конечная масса
КА. Начальная и конечная орбиты заданы (рис. 1). Задача решается в двух различных постановках.
А. / е {0, /тах} - величина тяги / может принимать два значения: нулевое и максимальное. Соответственно траектория состоит из пассивных и активных участков. Моменты включения и выключения тяги определяются из условия максимума гамильтониана задачи. Продолжительность перелета Т задана. Угловую дальность перелета с началом в перигее эллиптической орбиты, выраженную в витках N будем для простоты задавать целым числом и подбирать оптимальным.
Б. / е /тах} - постоянно действующая тяга. В этом случае задача на максимум конечной массы оказывается задачей на минимум продолжительности перелета, то есть задачей быстродействия. Будут рассмотрены две модификации задачи: Б1. с заданной угловой дальностью N е К (И может быть нецелым);
Б2. со свободным N е К, оптимальное значение которого должно быть найдено из решения краевой задачи.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
В плоской задаче оптимальное движение КА описывается системой дифференциальных уравнений 10 порядка (см. Приложение 1):
для фазовых переменных х = (ш, Н, ф, у, г) и сопряженных переменных 1 = (, ХН, А,ф, Ху, А. Заданы начальный ¿0 и конечный ¿о моменты времени.
В момент времени ¿0 (на эллиптической орбите) имеем
ш(¿0) = Шо, Н(¿0) = Но, ф(¿0) = фо, (1)
У(¿о) = Уо, г(¿о) = го,
величины
^ш(¿о)> ^Н(¿о)> ^ф(¿о)> ^(¿о)> \(¿о)
(2)
- произвольны.
В момент времени ¿о (на геостационарной орбите) должно быть
Н(¿о) = Но, ф( ¿о) = фа,
У(го) = Уо, г( ¿о) = го,
величины
^Н(¿оX ^ф( ¿оX ^У(¿о), \(¿о)
- произвольны; масса ш^о) должна быть максимальной, а для этого необходимо
^ш(¿оо. (4)
Поиск траектории, удовлетворяющей перечисленным требованиям, можно вести по-разному.
А1. Так как сопряженные переменные определены с точностью до положительного постоянно-
/ 30 Геостационар\
/ 20 1 / 1 1 1 ( Ч 1 I 1 1 1 1
V Орбита Земли V ) 10 20 30 40
тыс. км
\Высокоэллиптическая
\ орбита
V
Рис. 1. Начальная и конечная орбиты КА.
ч
х(0
^0
Рис. 2. Переход от приближенно-оптимальной траектории (пунктирная кривая) к оптимальной (штрих-пунктирная кривая).
го множителя, то из пяти величин (2) одну можно зафиксировать, например А.Ш(?о), а четыре значения
М¿о)> ¿о)> *У(¿о^ \(¿о)
(5)
подобрать так, чтобы обеспечить выполнение четырех существенных краевых условий (3).
Отметим, что Хш не входит в правые части дифференциальных уравнений, поэтому величина гкш(10) влияет на траекторию только через функцию переключения Л, т.е. через моменты включения и выключения тяги.
А2. Можно положить А,ш(^о) = 1, и искать пять значений
ш(¿о), ^Н(¿о), V¿о), ^У(¿о), К(¿о),
(6)
которые обеспечили бы выполнение пяти условий (1). Хотя размерность этой краевой задачи больше, она имеет некоторые преимущества перед задачей А1. Например, если есть некоторое решение, а необходимо найти решение с другими параметрами эллиптической орбиты, то исходное
г
4
Б2. Когда значение ф((О) не задано, имеем условие оптимальности А,ф((О) = 0, и вместо условий (3) - краевые условия
гс) = 0, Л(гс) = н0,
(8)
У(^) = Уо, z( гв) = ^О'
и
Рис. 3. Задание компонент {ы1}, I = 1, 2, 3 вектора управления и в виде линейных функций витка п и угла ф при использовании прямого метода оптимизации [1].
решение может быть взято в качестве начального приближения для новой краевой задачи.
Б1. В задаче быстродействия тяга работает все время, поэтому А,т((0) никак не влияет на величины Л(гО), ф(О), у(о), z(tО). В этом случае можно зафиксировать, например, А^((0), а выполнение четырех краевых условий (3) обеспечить выбором подходящих значений
(оЛл( (0 )Дф( (0 )Л у( (0)' (7)
Таблица 1. Оптимальные перелеты на геостационар с высокоэллиптической орбиты с радиусов перигея Як = = 6.621 км и радиусом апогея Яа для модели постоянно действующей малой тяги
тыс. км N, витки Т, сутки мт мт тк /т0 V™, км/с
12 776.75 174.99 0.78073 3.641
18 460.74 149.08 0.81319 3.042
24 311.72 132.93 0.83343 2.680
30 231.70 122.23 0.84684 2.445
36 183.69 114.93 0.85599 2.287
42 153.67 109.89 0.86230 2.179
48 134.66 106.42 0.86665 2.105
54 121.64 104.09 0.86957 2.056
60 111.15 102.56 0.87149 2.024
66 105.15 101.66 0.87262 2.004
72 100.17 101.23 0.87316 1.995
78 95.19 101.17 0.87323 1.994
84 92.19 101.43 0.87290 2.003
120 76.25 107.02 0.86590 2.118
150 68.25 112.73 0.85875 2.240
200 57.25 119.83 0.84985 2.393
400 43.20 132.21 0.83434 2.664
Примечание. N - угловая дальность в витках, Т - продолжи-
тельность перелета, га™ - конечная масса КА (начальная мас-
мт -7СП Л Т7МТ
са то = 750 кг), Vх - характеристическая скорость перелета.
ПОЛУЧЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Краевая задача А решается модифицированным методом Ньютона. Как известно, этот метод успешно работает, если только начальная траектория "близка" в функциональном пространстве к искомой, в частности, невязки (рассогласования в терминальных условиях) - невелики. Встает проблема поиска начального приближения.
При другом подходе к решению оптимизационной задачи - прямым методом оптимизации, проблема начального приближения не столь критична. Но при этом задача оптимизации решается приближенно. А это, в частности, затрудняет исследование влияния параметров задачи на функционал, если вариации функционала при варьировании параметров оказываются сравнимыми с погрешностью прямого метода.
Заманчива идея использовать прямой метод оптимизации для получения приближенного решения. А затем от него перейти к точному решению, то есть к решению краевой задачи. Приближенное и точное решения близки в фазовом пространстве и по функционалу, а в пространстве управлений различие может быть большим. Поэтому основным фактором, на который можно опереться при реализации идеи перехода, может служить близость траекторий в фазовом пространстве.
Схема перехода формально изоб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.