научная статья по теме ПОКАЗАТЕЛИ ЛОКАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ПОКАЗАТЕЛИ ЛОКАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 424-430

УДК 629

ПОКАЗАТЕЛИ ЛОКАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ

© 2004 г. Н. И. Амелькин

Московский физико-технический институт Поступила в редакцию 24.12.2002 г.

Исследуются управляющие свойства произвольной системы силовых гироскопов в зависимости от текущего углового положения гироскопов и ограничений на угловые скорости поворотов гироскопов. Для трех типов ограничений определены показатели локальной управляемости как функции углового положения гироскопов и получены оптимальные алгоритмы формирования управляющего момента. Получены сравнительные оценки различных показателей локальной управляемости. Исследована зависимость погрешностей в управляющем моменте от значений показателей локальной управляемости.

1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для систем силовых гироскопов, используемых для управления ориентации КА, их способности к созданию управляющих моментов не являются неизменными. Они зависят от текущего состояния системы, т.е. от текущего углового положения гироскопов, которое неизбежно меняется в процессе работы гиросистемы.

Локальной характеристикой управляющих возможностей системы является гарантированная величина управляющего момента, которую способна создать гиросистема независимо от направления в трехмерном пространстве. Эта величина является функцией состояния системы, а конкретный вид ее определяется видом ограничений на скорости поворотов гироскопов.

В данной работе для произвольной гиросистемы с N степенями свободы рассматриваются три типа ограничений на угловые скорости поворотов гироскопов. Для каждого из них определяются показатели локальной управляемости - функции, через которые выражается гарантированный управляющий момент в зависимости от текущего состояния системы.

Необходимость определения указанных показателей обусловлена несколькими причинами. Во-первых, только по значениям этих функций, вычисляемым в текущем режиме работы гиросистемы, можно достоверно судить, способна ли система создавать требуемые для управления ориентацией управляющие моменты. Кроме того, для систем с избыточным числом степеней свободы (Д > 3) указанные показатели используются при выборе программы настройки гиросистемы, задача которой состоит в том, чтобы поддерживать значения этих показателей на приемлемом уровне.

С точки зрения реализации управляющих возможностей системы существенное значение имеет алгоритм формирования управляющего момента, т.е. закон, по которому формируются скорости поворотов гироскопов в зависимости от требуемого значения вектора управляющего момента. Для избыточных систем этот алгоритм не однозначен. В связи с этим для каждого из рассматриваемых ограничений определяется оптимальный алгоритм формирования управляющего момента, при использовании которого управляющие возможности системы используются в полном объеме.

Вектор суммарного кинетического момента гиросистемы Н(е) является функцией Д-мерного вектора состояний е = (е1, е2, ..., ед), координатами которого являются углы поворота роторов гироскопов относительно корпуса КА. В текущем состоянии е управляющие возможности гиросистемы характеризует область 8М вариации активной составляющей управляющего момента Мг = = -М, который определяется формулой (см. [1])

N

М = Н = £ ш, = IV, (1)

к = 1

где I - матрица размера (3 х Д), составленная из векторов шк = ЭН/ЭЕк, а V = (у1, ч2,..., vN) - производная по времени от вектора состояния V = е.

Форма и размеры области 8М определяются текущим состоянием системы (векторы шк являются функциями е) и областью допустимых значений вектора V. При этом гарантированная величина управляющего момента характеризуется минимальным расстоянием от точки М = 0 до границы области £М, а оптимальным алгоритмом является такой закон управления v*(M), который позволяет получить любой вектор М из области £М.

При определении оптимального алгоритма и величины гарантированного момента возникает необходимость в нахождении всех граничных точек области 8М и соответствующих значений вектора V, на которых эти граничные точки достигаются. В некоторых случаях поиск решения существенно упрощается, если область 8М обладает свойствами выпуклости и симметричности. Поскольку, в силу (1), управляющий момент является линейной функцией вектора V, то область 8М выпукла и симметрична относительно точки М = 0, если область выпукла и симметрична относительно точки V = 0. Для каждого из рассматриваемых ниже ограничений условия выпуклости и симметричности имеют место.

2. МИНИМАКСНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАЗМЕРОВ ВЫПУКЛЫХ СИММЕТРИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Рассмотрим граничный вектор М* = М*е области 8М в направлении, определяемом единичным вектором е. Если область выпуклая, то для каждого М* существует опорный единичный вектор п* (внешняя нормаль к опорной плоскости), такой, что для любых векторов М из области 8М выполняется неравенство М* ■ п* > М ■ п* (см. [3]). Из этого неравенства и уравнения (1) следует

M*(e • n *) = max(M • n*) = max I (mk • n *) vk. (2) m •

k = 1

Пусть область SM симметрична относительно точки M = 0, т.е. для любого вектора M этой области существует симметричный ему вектор (-M) из этой области. Тогда для любого единичного

вектора n имеет место равенство |max(M • n)| =

1 м 1

= max|M • n|. Отсюда с учетом (2) и очевидного м

неравенства max|M • n| > |M* ■ n|. получаем

м

maxiM • n* maxiM • n|

M* =

м

>

м

e • n*

e • n

(3)

Полученное неравенство дает следующую формулу для расстояния от центра области БМ до ее границы в заданном направлении е:

max|M • n| \M*| = min- м

max

v

I( mk • n ) vi

k = 1

e • n

= minn

e • n

-. (4)

Из (4) получаем, что минимальное расстояние от центра области БМ до ее границы определяется формулой

Mmin = minmax|M • n| = minmax

n M n v

I( mk • n) vk

k = 1

. (5)

В полученных формулах максимум вычисляется по всем векторам V из области а минимум в общем случае по всем векторам п из трехмерного единичной сферы.

Замечание. Если существует такое подмножество п' векторов п, что для любой граничной точки области найдется опорный вектор, принадлежащий этому подмножеству, то в формулах (4) и (5) можно ограничиться вычислением минимума по подмножеству п'. В этом случае, рассматривая в неравенстве (3) в качестве п векторы п', получаем с учетом условия п* е п' равенство (4), в котором минимум вычисляется только по векторам п'.

Примером может служить случай, когда границей области является многогранник. Здесь в качестве подмножества векторов п' можно взять совокупность всех нормалей к граням многогранника.

Ограничения в ^-мерном шаре:

= I v2<Q2.

(6)

k = 1

В граничной точке М*, характеризующейся некоторым опорным вектором п, функция

1 (тк ■ п) V в силу (2) должна достигать максимума на множестве (6). Записывая условия экстремума этой функции методом множителей Лагран-жа, получаем следующую систему уравнений:

(тк • п) + 2X= 0, к = 1, ..., N.

В полученной системе множитель X полагается тождественно равным нулю, если V2 < О2. Но из уравнений этой системы следует, что решение X = 0 возможно только в случае компланарности всех векторов тк, т.е. для особых состояний гиросис-тебмы. При этом область 8М представляет собой плоскую фигуру. Для состояний системы, не являющихся особыми, получаем X Ф 0, т.е. экстремумы достигаются в точках V2 = О2.

Для определения граничной точки в заданном направлении е нужно дополнительно учесть векторное уравнение (1), положив в нем М = Ме. Поэтому полная система уравнений имеет вид

Me = Jv; JT n + 2X v = 0; v2 = Q2.

(7)

Умножив второе уравнение системы (7) на матрицу Л слева, получаем с учетом первого уравнения выражение для вектора п: п = 2ХБ-1Ме, где Б = - матрица Грамма размера 3 х 3. Подставляя полученное выражение снова во второе уравнение системы (7), находим решение V:

= JTD 1 Me = JTD-

M.

(8)

N

N

2

v

N

N

Отсюда, используя последнее уравнение системы (7), получаем формулу для расстояния М* от центра области 8М до границы в направлении е:

M *T D-1M * = M *2 (eTD 1 e) = Q2.

(9)

Из (9) следует, что для ограничений (6) область БМ ограничена эллипсоидом с полуосями

О , О„[й2, о , где й2, ¿3 - собственные

числа матрицы Грамма Б = ] • ]т, расположенные в порядке возрастания.

Наименьшее значение Мт,„ величины М* реализуется в направлении собственного вектора матрицы Б, соответствующего ее минимальному собственному числу Это значение определяется формулой

произвольном направлении, а также оптимальный алгоритм формирования управляющего момента.

Как показано в [2], область БМ для рассматриваемых ограничений представляет собой выпуклый многогранник, гранями которого являются параллелограммы, параллельные всевозможным парам неколлинеарных векторов Шу и Шк. Следовательно, всевозможные нормали к граням этого многогранника определяются формулами

njk - ±( mj х mk)/| mj x mk

(13)

Mmin = pi Q = Jdi Q.

(10)

и представляет собой гарантированную величину управляющего момента, которую способна развить гиросистема при ограничениях (6). При этом зависимость Мт)|1 от текущего состояния системы е

Отсюда, на основании замечания п. 2, получаем, что в рассматриваемой задаче для определения размеров области БМ можно использовать формулы (4) и (5), вычисляя минимум по множеству (13).

Для смешанного произведения векторов введем обозначение Ар = (ш; • Шу х Шк). Поскольку

выражение *, к А;ук vi| принимает на множестве (12) максимальное значение на двух решениях:

определяет функция p1 = Jd~1, которая и является 1 v* - Qsign(Aj); 2. v* - -Q sign(Aijk);

для рассматриваемых ограничении показателем локальной управляемости гиросистемы.

Решение (8) определяет оптимальный для ограничений (6) алгоритм формирования управляющего момента, поскольку позволяет получить любой вектор M из области SM. Этот же алгоритм был получен E.H. Токарем в [1] как решение задачи минимизации функции v2 на множестве значений v, удовлетворяющих уравнению (1). Из соотношений (9), (10) следует, что для алгоритма (8)

величина v2 подчиняется неравенству v2 < M2/ pi.

Формула (5) дает возможность представить величину Mmin в следующем виде (со

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»