работали полезную модель точечного направленного излучателя - мультиполя, потенциал которого определяется дифференцированием выражения (1) по соответствующим пространственным координатам. Такой подход можно эффективно применять для решения прямых задач. Но в связи с тем, что получаемая при дифференцировании потенциала у0 система функций разложения Тейлора является линейно зависимой, использование этого подхода для решения обратных задач, в которых необходимо определять направленные свойства излучателей по создаваемым ими полям, затруднительно. И.Д. Иванов [4] рассматривал краевую задачу для волновода с излучателем и получил интересное решение в виде контурного интеграла, который вычислялся с помощью вычетов. А. Хауг (А. На^) и др. [5] находили решение краевой задачи непосредственно в виде разложения по нормальным волнам. Получаемые такими методами выражения для поля сложно использовать при решении обратных задач, поскольку для интегрирования по занятой источником произвольной формы и размеров области необходимо задавать в этой области функцию пространственного распределения источников с заданными характеристиками. Но эта функция и характеристики излучателей, как правило, неизвестны. Кроме того, коэффициенты возбуждения нормальных волн оказываются зависящими не только от свойств источника, но и от граничных условий, что, вообще говоря, не позволяет найти описание источника, не зависящее от формы и размеров зоны распространения звука.
Известно, что решение обратных задач требует параметрического представления моделей и минимизации описания, т.е. ограничения числа независимых параметров, характеризующих модель. В противном случае, задача может оказаться незамкнутой из-за неопределенности числа уравнений и ограничивающих функций и управляющих исходных данных. При описании реального объемного протяженного источника на средних и высоких частотах удобно заменить его эквивалентным источником в виде дискретной антенны с распределенными по поверхности или по объему элементарными источниками (например, монополями и диполями), параметры которых необходимо вычислить, решая обратную задачу. Однако на низких частотах из-за дифракции звука на излучающей поверхности формируется консолидированное достаточно коррелированное поле, которое, по мнению авторов, удобно аппроксимировать мультипольного типа источником, эквивалентным объемному источнику.
В работах [6-8] предложено для описания низкочастотных объемных направленных источни-
ков использовать модель точечного направленного излучателя (4), основанную на разложении потенциала у0 в ряд по сферическим функциям, которые в отличие от разложения Тейлора образуют систему линейно не зависимых на сфере функций. Это является необходимым условием корректного решения обратных задач, сформулированных для данной модели. Исследовано приближенное интегральное представление для потенциала мультипольного излучателя в неограниченном пространстве, аналогичное разложению потенциала монополя (1). В настоящей работе приводится точное интегральное представление для поля сложного мультипольного типа излучателя в неограниченном пространстве, и на его основе уточнены выражения для поля этого излучателя в различных волноводах. Выполняется обобщение основных теоретических результатов и анализируются результаты численного исследования структуры низкочастотных полей мультиполей в волноводе.
Эквивалентная модель точечного направленного излучателя в неограниченном пространстве.
Пусть в однородном неограниченном пространстве находится монохроматический источник звука конечных размеров и произвольной формы. Выбрав внутри источника произвольную точку О, построим из нее как из центра сферу 50 радиуса г0. Построим далее сферическую систему координат, центр которой совмещен с точкой О. Давление, создаваемое монохроматическим источником в некоторой точке поверхности сферы, определяется
вещественной частью функции Р (г0, 0, ф, = = /юр0 у (г0, 0, ф)ехр(-/'юО, где ^ - время, р0 - плотность среды, у - потенциал скоростей звукового поля источника. Будем считать, что у (г0, 0, ф) представляет собой непрерывно дифференцируемую до второго порядка включительно функцию. Звуковые колебания, создаваемые исходным источником в области О вне сферы £0, можно описать функцией, которая является решением внешней задачи Дирихле, поставленной для сферы £0. Эта задача формулируется следующим образом: найти функцию у(М), удовлетворяющую в области О однородному уравнению Гельмгольца У2у(М) + £2у(М) = 0, М е О, и принимающую на ее границе £0 заданное значение (М) = у (М), М е е Б0, где V2 - оператор Лапласа, М - точка внутри рассматриваемой области О или на ее границе £0. Кроме того, на бесконечности искомый потенциал у должен удовлетворять условию излучения ду(М) д г
Зоммерфельда
+ /£у(М) = о(1/г). Решение
этой задачи единственно и может быть представлено равномерно сходящимся рядом [9]
!(r, Э, Ф) = XX Спт(го)
hn ) (kr)
0 h(n1)(kr0)
n = 0 m = -n и/
х^nml(cosЭ)exP(?тф), r > r0,
x
(2)
где Н^ - сферические функции Бесселя третьего
рода порядка п, Рп - присоединенные полиномы Лежандра. Зависимость коэффициентов разложения Спт от радиуса г0 сферы 50, для которой поставлена внешняя задача Дирихле, имеет вид [9]
С ( ) - 2п + 1 ( п - | т| )!
Спт( г0) — л / 1 1 1 ч | X
4п (п + \т\)!
х Цexp(/тф)!^(r0, 0, ф)Pm(cos0)sin
(3)
00
Авторами доказано, что входящие в выражение (2) отношения Спт = Спт (г0)/ НП) (£г0) не зависят от радиуса г0 сферы и, следовательно, величины Спт являются константами, характеризующими источник. Это позволяет, подставляя Спт в выражение для потенциала волнового поля (2) и ограничиваясь конечным числом слагаемых Ы, получить выражение для потенциала поля, не зависящее от использованной для его построения сферы
N т = n
(r, 0, ф) = XX Cnmh{n\ kr)
X
n = 0 m = -n
(4)
xPm (cos0)exp(imф), r > 0.
излучателя, совпадает с потенциалом монопольного, то есть ненаправленного излучателя, модель которого предложена Л.М. Бреховских.
Интегральное представление потенциала муль-типольного излучателя в неограниченном пространстве. Л.М. Бреховских использовал разложение потенциала монопольного излучателя в совокупность плоских волн (1) для решения задач, связанных с ненаправленным источником, находящимся в различных волноводах. Получим аналогичное интегральное представление для потенциала мультипольного типа модели (4). Для этого воспользуемся тем, что для больших значений аргумента сферические функции Бесселя аппроксимируются функцией влияния ненаправленного точечного излучателя h^ (kr) = (-1)n + 1exp(/kr)/kr, kr > 1. Заменив в (4) сферические функции Бесселя их аппроксимацией и положив z = r cos 0 = 0, найдем Фурье-образ полученного выражения. После возврата в пространство оригиналов получим интегральное представление для потенциала мультипольного типа излучателя в плоскости z = 0
Nn
ЯР.Ф) = ¿X X Cnm(-i)
n = 0 m = -n
n + 1
х
n/2- i^ n
х
J J exp (ikp cos (ф - a) sin в + ima)
х
Предлагается далее использовать выражение (4) в качестве модели направленного точечного излучателя, эквивалентного исходному реальному низкочастотному источнику конечных размеров. Эквивалентность эта понимается в том смысле, что акустическое поле такого точечного излучателя в дальней и, частично, в ближней зоне достаточно близко к полю исходного источника конечных размеров вне некоторой сферы, целиком содержащей в себе исходный источник. Направленные свойства модельного излучателя полностью определяются входящими в (4) комплексными параметрами Спт. Они имеют смысл моментов элементарных сферических мультиполей, из которых состоит разложение. Если известно значение функции у (г0, 0, ф) на некоторой сфере, внутри которой находится реальный излучатель, то мультипольные моменты модели Спт легко вычисляются с помощью приведенных выше соотношений. Заметим, что при N = 0 выражение (4), определяющее потенциал мультипольного
х (0) tgm 2 sin в da d в.
К трехмерному пространству можно перейти, продолжив решение с плоскости z = 0. Авторами доказано, что вблизи соответствующей z = 0 точки в = п/2 для любых n > 0 и m < |n| имеет место приближенное равенство Pm (cos в) ~ tgm 2 . Следовательно, для трехмерного пространства естественно записать выражение для потенциала в виде
N
!(r, 0, Ф) = XX signn + m (z)Dnmexp(^ф)
х
n = 0 m = -n
n/2 - i ^
x J H^kp sin в) exp (ikcos PIz\ )x
(5)
-n/2 + i~>
x Pm (cos в) sin вdв,
где D„m = C„m exp(in(m - n)/2)/2, H^) (kp sin в) - функция Ханкеля первого рода порядка m. В выражении для потенциала сомножитель signn +|m| (z) учитывает изменение знака z при продолжении в нижнюю полуплоскость.
2 ПП
00
n
Доказано также, что контурный интеграл в выражении (5) сходится везде, за исключением точки р = 0 л г = 0, а в области 0 < р' < р V 0 < г' < \г\, где р' и г' - произвольные сколь угодно малые положительные числа, интеграл (5) сходится равномерно и что функция у^г, 0, ф), заданная выражением (4), и функция у (г, 0, ф), определяемая выражением (5), в области равномерной сходимости интеграла (5) равны друг другу. Таким образом, разложение в совокупность плоских волн (5) является точным интегральным представлением для потенциала (4) мультипольного типа излучателя в неограниченном пространстве. Это позволяет использовать представление (5) вместо выражения (4) при определении поля мультипольного типа излучателя в областях, ограниченных плоскими поверхностями. Выражения (4) и (5) для потенциала поля мультипольного типа излучателя позволяют распространить на мультиполи произвольного порядка идеи, предложенные и развитые Л.М. Бреховских для монопольного излучателя. Кроме того, (4) и (5) представляют собой компактные явно заданные аналитические выражения, что удобнее, чем разложение и Тейлора и дифференцирование потенциала (1).
Ниже в рамках рассматриваемой мультипольного типа модели предлагается вместо неоднородного уравнения Гельмгольца, входящего в постановку краевых задач определения поля мультипольного излучателя в различных областях, решать соответствующее однородное, что существенно упрощает решение как прямы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.