КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 6, с. 547-552
УДК 629
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ГРАНИЦ КОРИДОРА ВХОДА
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В АТМОСФЕРУ ПЛАНЕТЫ ПРИ НЕМАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ДОПУСТИМОЙ МАКСИМАЛЬНОЙ
ПЕРЕГРУЗКИ
© 2008 г. В. А. Ярошевский
ЦАГИ, г. Жуковский Поступила в редакцию 30.10.2007 г.
Рассматриваются траектории входа космического аппарата в атмосферу планеты со скоростью, существенно превышающей первую космическую. Основной интерес представляет оценка минимально допустимого значения высоты условного перицентра (перигея - в случае Земли), при котором достигается предельно допустимое значение максимальной перегрузки. Предлагаются полуаналитические формулы, включающие случаи немалых значений максимальной перегрузки.
PACS: 45.10.Db
Как известно, условия для траектории входа КА в атмосферу планеты со скоростью, существенно превышающей первую космическую (круговую), можно охарактеризовать значением высоты так называемого условного перицентра Нр и значением скорости в условном перицентре Ур или скорости входа в атмосферу У0, фиксируемой на границе атмосферы. Эти параметры вычисляются в предположении об отсутствии атмосферы (и поверхности) планеты и вычисляются по формулам Кеплерова движения.
В работе [1] было показано (см. также [2],[3],[4]), что начальные условия для траектории входа КА в атмосферу при использовании приближенных уравнений движения удобно определить значением параметра условного перицентра ур (а не значением начального угла наклона траектории) и безразмерной скоростью входа в атмосферу У0 (отнесенной к средней круговой скорости в диапазоне высот, включающем наиболее важный участок траектории).
В настоящей работе расчеты проводились с использованием приближенного уравнения движения КА при входе в атмосферу ([2],[3])
,2 2 х 1
d у e - 1
—z = - n +-
2
dx
q CxaS R p
Здесь y = rnkp'
y
(i)
! 1 ! Mg
x = ln- = ln ——-
V V
П = л/RXK cos y , cxa, S, m, K - коэффициент сопротивления, характерная площадь, масса и аэродинамическое качество КА, p, X = -1~ const -
r p dH
плотность и логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте, Я, g - радиус планеты и ускорение силы тяжести на ее поверхности, Y -"силовой" угол крена (угол поворота КА относительно вектора скорости). Наиболее важные параметры, угол наклона траектории б и полная перегрузка п = Faer/mg определяются соотношениями
е = -dy Ш,
dx
= Vl + K2Hxa = л/l + к 2JrX ye
(2)
(3)
Начальные условия для уравнения (1) имеют вид ([1-4]):
х = х0, y0 - малая величина,
у'(Хо) = 12(1- e 0)ln
2 Хо_ yp
y0
(4)
В отличие от входа в атмосферу с околокруговой скоростью, согласно формуле (4), у' —► ^ при у —► 0, поэтому построить простое аналитическое решение уравнения (1) в виде ряда по степеням x - x0 не удается.
Вместо этого можно вывести некоторые приближенные интегральные соотношения, которые позволят вычислить наиболее важные параметры траекторий.
Умножим уравнение (1) на у' и проинтегрируем его в пределах от x0 до x, считая, что n = const. В результате получим:
у"
2 Уо
= -П(У - У о) + J
2 х л
e - 1
dy.
(5)
Уо
547
4*
х
n
Последний член можно представить суммой
7 2 х 1 у 2 *0 у
IЧ-йу = IЧт- йу+1
2 х
ьв - в
2 х 0
у
у
у
-йу. (6)
у0
у0
у0
у- = - пу + (е2х°-1) 1пу- +1
в - в у
- йу. (7)
1п^ =
п у«
у«
1-в
2х
(8)
2х 2
'в - в
- йу = 12в2 х 1пуу« йх.
у
(9)
Предполагая, что разность хт - х0 невелика, заме-
„2х
2 х 0
у'
2(1-в2х°) 1п^ + 2п(у« - у).
(10)
1п^ =
Ц-
72 у«
2 х°Ъ!2 ( 1 - в )
! 1(Ц ),
(11)
где Ц =
пу
р /1(ц)=|
1п — йг
г
1п + Ц (1 - г)
[й1. 1 у'
у«
I
=/ 2 (ц). (12)
2 (1-в °)
причем при малых у0 основной вклад в величину интеграла дает первое слагаемое в (6).
В итоге, при исчезающее малых у0, с учетом (4) и (6), соотношение (5) удобно переписать в виде
где /2( Ц) = |
йг
1п г+Ц (1 - г)
Функции /1( Ц), f2( Ц) не выражаются в аналитическом виде, однако их можно аппроксимировать в следующем виде
Предположим, что в некоторой точке хт, не слишком удаленной от начальной точки х0, значение у достигает максимума, равного ут. Такая ситуация возникает, если на начальном участке траектории используется положительная подъемная сила или при отсутствии подъемной силы значение ур не очень велико.
Если пренебречь последним членом в (7), то формула для определения ут приобретает вид
/1 (Ц) =
п
271 + 0.524 Ц
/ 2(Ц )■
п
71 + пЦЦ/4
(13)
требуя, чтобы значения этих функций совпали с
точными при Ц = 0 и при Ц -«- гс.
Точность формул (13) иллюстрируется таблицей 1.
В итоге, используя эти формулы, получим два приближенных соотношения, связывающие значения Ут, V«. VП и Ур.
Для уточнения этой формулы рассмотрим последний член в (7), выполним интегрирование по частям и получим
у
ур _
п у«
п/2у«
1
1 --Ц
2
=2 (V°-1) К 1 --2 | + 0.524Пу
V 0
(14)
= -V 0
п/2у«
+ ппу«/4
V
(15)
ним в выражении под интегралом е на в . а в дифференциале ёх = ёу/у' выразим у' с помощью соотношения (7), в котором последний малый член не учтен:
В результате, с учетом поправочного члена (9), соотношение (7) приобретает вид
Добавим к этим соотношениям формулу, приближенно определяющую максимальное значение
параметра п = у V2 = уе-2х, пропорционального перегрузке (см. (3)).
При немалых значениях аэродинамического качества максимальное значение перегрузки до-
-хп
п = в . незначительно
превышающей скорость V«. Тогда в окрестности точки х = хт, с учетом уравнения (1), можно представить функцию у(х) в виде
у ^ у« -1 п +
2х
1-в
у«
(х - х«) /2.
(16)
Умножая эту функцию на е-2х, дифференцируя по х и приравнивая производную нулю, найдем, что при малых ут справедливы соотношения
Аналогично определим приближенное значение скорости V«. при которой достигается минимум высоты:
2 у«
— 2 '
п у« + 1 - 1/V«
(17)
у
х« = х0 +
х0 +
0
0
у
2
2
х
х
0
у
х
«
х
0
х
0
2
х
0
«
0
лт хп
12.5 -
10.0 -
7.50 -
5.00
2.50
Рис. 1. Зависимость lgypmax (nn
.). Vo = 1.4, П = 15,
10
8 -
6 "
7, 5, 3. Сплошные кривые - расчет по формулам (14), (15) и (18), точки - решение уравнения (1), пунктир -расчет по формуле (19).
Рис. 2. Зависимость lgypmax (nm 7, 5.
), V o = 1.6, n = 15,
т-Л
'max Jm " m
Ут Vm( 1 + xm - Xn) =
T?
= ymVm
1+
2 ym
n ym +1-1/V2my
(18)
Поскольку значение nmax при использовании соотношения (15), можно выразить через значение ym, получим в итоге в параметрическом ("полуаналитическом") виде связь между значениями yp и nmax.
Для того, чтобы проиллюстрировать точность этих формул, приведем две таблицы, соответствующие случаю V0 = 1.8, n = 7.5 и 15 (для Земли, при JRk = 30, эти значения соответствуют эффективному аэродинамическому качеству K cos у = 0.25 и 0.5).
Здесь при вычислении значений ^ ур. хт1 и птах1 использованы формулы (15), (16) и (18) (при заданном ут1). Затем, при вычисленном ^ ур. параметры ут2, хт2 и птах2 определяются при решении уравнения (1) с начальными условиями (2). Как видно, величины ут1 и ут2, хт1 и хт2, «тах1 и
max2
отличаются незначительно.
Результаты расчетов по формулам (15), (16) и (18) в виде зависимостей ^ ур (Птах) представлены также на рис. 1-4 для значений Vo = 1.4, 1.6,
1.8, 2.0 , п = 15, 7.5 (в случае У0 = 1.4 еще и п = 3). Результаты численных расчетов с использованием уравнения (1) представлены на этих же рисунках в виде точек. Совпадение оказывается весьма
Таблица 1
Таблица 2. V0 = 1.8, n = 7.5.
А 0 1 2 4 6 8 10
fi 0.8862 0.7083 0.6100 0.4970 0.4306 0.3854 0.3520
Ф (13) 0.8860 0.7179 0.6193 0.5038 0.4354 0.3890 0.3549
f2 1.7725 1.3163 1.0966 0.8651 0.7375 0.6537 0.5933
Ф(13) 1.7720 1.3263 1.1054 0.8709 0.7416 0.6567 0.5957
lg Ур ym1 ym2 xm1 xm2 nmax1 nmax2
-1.0784 0.05 0.05005 -0.5247 -0.524 0.1435 0.1435
0.5288 0.25 0.2507 -0.3748 -0.371 0.5566 0.5541
1.9801 0.5 0.5020 -0.2592 -0.253 0.9407 0.9326
3.3130 0.75 0.7536 -0.1719 -0.164 1.2590 1.2446
4.5983 1 1.005 -0.0993 -0.0893 1.5372 1.5172
4
2
8 -
6 -
2 -
Рис. 3. Заджжмостъ ^ У ртах ( пшах X У0 = 1.8, П = 15, 7 5.
Рис. 4. Зависимость 1ёу^шах (Птах ), Уо = 2.0, п = 15, 7, 5.
удовлетворительным несмотря на то, что при выводе формул использовалось допущение о близости значений У0 и Ут, которое в ряде случаев (при больших ур) оказывается далеким от истины, о чем свидетельствуют результаты расчетов, представленные на рис. 5-8 в виде зависимостей
Ут (1ё Ур), определяемых с использованием формул (15), (16) и (18) и при численном решении уравнения (1). Как и следовало ожидать, с увеличением аэродинамического качества погрешности полуаналитических формул уменьшаются. На рис. 1-4 штриховыми линиями обозначены кривые, подсчитанные по аналитической формуле, выведенной в [2] (см. также [3]), для случая небольших значений Пшах:
п
шах
— ехР у 0
М +
У2П(1 + ц)у
1 п
1 + ;4 м
(19)
Л Пшах
где м = —;-,
у 0-1
^=
У о л/у 0-1
Как видно, при не-
малых значениях пшах, эта формула заметно занижает значение ур то есть, занижает ширину коридора входа в атмосферу.
Верхняя граница коридора входа (условие захвата КА атмосферой планеты при использовании отрицательной эффективной подъемной силы) с достаточной точностью определяется формулой ([3])
. —2Ч
1п (Ур) ш1П - 1п (( 1-1/У 0 ) / п) -1--2.33/(п У 0>У-~1).
В табл. 4 приведены значения 1ё (ур )ш1п, численные с помощью этой формулы.
(20)
вы-
Рассмотрим для примера случай входа КА в атмосферу Марса, полагая значение равным 19.5 и учитывая, что ускорение силы тяжести вблизи поверхности Марса составляет 38% от земного. Тогда полной "земной перегрузке", равной п, соответствует значение Пшах =
= (п/19.5)/(0.38л/1 + К2), и при этом п = 19.5 К. Тогда значению п = 7.5 примерно соответствует аэродинамическое качество К - 0.385. В результате получим Пшах - п/8. Принимая значения допустимой перегрузки равными 4 и 8, получим с помощью рис. 1-4 соответствующие значения 1ёУршах. Вычитая из них значения 1ё (Ур^ при-
8
6
4
4
2
У
р
14
2 4 х 6 8 10
Рис. 5. Зависимость V« (^ур ), V0 = 1.4, п = 15, 7, 5.
Сплошные кривые - расчет по формулам (14) и (15), точки - решение уравнения (1).
Рис. 6. Зависимость
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.