научная статья по теме ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ Физика

Текст научной статьи на тему «ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 57, № 3, с. 313-322

НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА

УДК 542.34

ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ

© 2011 г. А. Г. Кудрявцев, О. А. Сапожников*

Институт прикладной механики РАН 119991 Москва, Ленинский проспект 32а * МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119991 Москва, Ленинские горы E-mail: oleg@acs366.phys.msu.ru Поступила в редакцию 2.11.10 г.

Описывается метод нахождения точных решений неоднородного уравнения Бюргерса на основе преобразования Дарбу. Показано, что однократное преобразование Дарбу, примененное к однородному уравнению Бюргерса, переводит его в неоднородное уравнение, которое описывает распространение акустической волны навстречу околозвуковому потоку в сопле Лаваля. Степень сужения сопла при этом оказывается заданной и определяется коэффициентом вязкости среды. Базируясь на точном решении однородного уравнения Бюргерса, для полученной задачи о потоке в сопле выписаны все возможные регулярные стационарные решения и исследован характер эволюции нестационарных решений. Найден алгоритм многократного преобразования Дарбу, дающий возможность повысить силу неоднородности, т.е. увеличить степень сужения сопла. Оказалось, что такой подход приводит к дискретному набору возможных степеней сужения сопла, при которых возможно получение точных решений. С использованием теоремы Крама выписана формула, позволяющая находить точные решения неоднородного уравнения Бюргерса на основе решений однородного уравнения теплопроводности. Отмечено, что найденный алгоритм многократного преобразования Дарбу фактически позволяет дискретно уменьшать коэффициент вязкости среды.

Ключевые слова: неоднородное уравнение Бюргерса, преобразование Дарбу, сопло Лаваля, точные решения нелинейных уравнений.

ВВЕДЕНИЕ Уравнение Бюргерса

2

ди . ,,ди хд и п ■ + и--о—- = U,

dt дх дх

(1)

является одним из эталонных нелинейных уравнений математической физики. Изначально оно было выписано как модельное уравнение для описания одномерной турбулентности [1], но позже было показано, что это уравнение описывает ряд других различных по своей природе физических явлений. В частности, в нелинейной акустике уравнение Бюргерса используется для описания распространения одномерных акустических волн конечной амплитуды в условиях проявления диссипации; при этом и (х, г) задает колебательную скорость гидродинамических частиц как функцию координаты х и времени г, а ко-станта 5 характеризует вязкость и теплопроводность среды [2, 3].

При наличии в среде источников уравнение Бюргерса модифицируется и принимает вид неоднородного уравнения

ди + иди - дд-и = Г, (2)

дг дх дх

где функция Г (х, г) в правой части описывает источники. Такое уравнение было впервые выведено из уравнений гидродинамики и использовалось в связи с исследованиями по лазерной генерации звука [4, 5]. Позже по аналогии были рассмотрены и другие физические ситуации [6]. Примерно в это же время неоднородное уравнение Бюргерса стало анализироваться в работах математиков [7—10].

Уравнение (1) уникально тем, что с помощью подстановки

и = - 2^ dw w дх

(3)

оно сводится к линейному уравнению теплопроводности для вспомогательной функции w (х, г). Указанная линеаризация позволяет записать общее решение уравнения Бюргерса. Преобразование (3) для однородного уравнения было найдено в работе [11], но стало более известным после появления работ [12, 13] и поэтому получило назва-

ние подстановки Хопфа—Коула. Линеаризация позволяет выписать решение начальной задачи в интегральном виде. Соответствующий интеграл при произвольном начальном профиле и (х,0) в аналитическом виде не вычисляется, но для ряда случаев это сделать удается. Такой подход позволяет регулярным образом выписать точное решение уравнения Бюргерса для ряда физически интересных ситуаций [14].

Весьма примечательно, что подстановка Хопфа—Коула (3) линеаризует и неоднородное уравнение (2), на что впервые было указано в работе [5]. Соответствующее линейное уравнение имеет вид:

+ V* = 0,

дг дх

(4)

где "потенциал" V (х, г) определяется источниками:

Г = 25

д¥ дх

(5)

Особенность такого перехода состоит в том, что если функция у удовлетворяет уравнению (6) с потенциалом V, то при определенном выборе зависимости Я (х, г) функция у также будет удовлетворять уравнению (6), но уже с другим потенциалом V. На этой возможности и основан метод преобразования Дарбу. Идея состоит в том, чтобы для известного решения уравнения с "простым" потенциалом (например, V = 0) подобрать функцию Я так, чтобы получить решение уравнения с более "сложным" потенциалом.

Покажем, как метод работает в случае уравнения (4). Обозначим в (7) 5 = 28Я и рассмотрим следующий вид преобразования Дарбу для решений уравнения (3):

* (х, t) = 5 (х, г) /(28) + -£-

дх.

^ t )•

(8)

'х2 и

Уравнение (4) для краткости будем называть уравнением теплопроводности, т.е. так же как в случае V = 0. Применительно к задаче теплопроводности дополнительный член Vw описывает внутренний теплоотвод (или теплоподвод), пропорциональный локальной температуре. Подобная ситуация, например, характерна для процесса теплопроводности в насыщенных мелкими кровеносными сосудами биотканях [15]. Отметим, что уравнение (4) входит в класс уравнений вида

а^-А + ^ = 0, (6)

дг дх2 т

для решения которых показал свою эффективность метод преобразования Дарбу [16]. В частности, при а = г указанное уравнение (6) представляет собой нестационарное уравнение Шрёдин-гера для волновой функции у частицы при одномерном движении в потенциальном поле V. Именно в применении к уравнению Шрёдингера преобразование Дарбу привлекало в последние годы наибольшее внимание. Такой подход дает возможность получения новых решаемых моделей квантовой механики; он представляет интерес также в связи с его многочисленными связями с популярной тематикой метода обратной задачи рассеяния и теорией солитонов (см., например, [17]).

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ДАРБУ

Преобразование Дарбу для уравнения вида (6) представляет собой следующее линейное преобразование волновой функции [16]:

Вычисляя отсюда производные д*/дг и д2 */д. учитывая соотношение (4) получим, что если вспомогательная функция 5 (х, г) удовлетворяет уравнению

д5 , д5 я д2 5 --+ 5--О-

- 2 = Г (9)

дг дх дх

с правой частью (5), то новая функция * (х, г) является решением уравнения вида (4) с новым потенциалом V = V + дя/ дх:

-5^ + V* = 0,

(10)

у (х, г) = [Я (х, г) + д/дх ] у (х, г).

(7)

дг дх£

Условие (9) на функцию 5 (х, г) есть не что иное, как неоднородное уравнение Бюргерса (2), решения которого связаны преобразованием Хопфа— Коула (3) с решениями соответствующего уравнения теплопроводности (4). Этот факт весьма примечателен и указывает на более глубокую связь между уравнением Бюргерса и уравнением теплопроводности, чем просто переход от одного уравнения к другому посредством преобразования Хопфа—Коула (хотя существование указанного преобразования (3), сводящего нелинейное уравнение к линейному, само по себе уникально).

Из приведенных соотношений нетрудно видеть, что преобразование Дарбу и для неоднородного уравнения Бюргерса, и для парного ему уравнения теплопроводности можно записать в виде, относящемся только к одному из этих двух типов уравнений.

Например, рассмотрим уравнение теплопроводности (4) для функции * (х, г). Пусть V (х, г) — одно из его частных решений. Тогда для функции

* = *25—(1п V - 1п *)

дх

получим то же самое уравнение вида (4), но с новым потенциалом

V = V - 25 д2 (1п V)/дх2.

Аналогично можно оставаться в рамках уравнения вида (2). Если взять одно из решений 5 (х, г) уравнения Бюргерса (2) с правой частью (5), то при замене

U = и - 25—ln (u - s)

дх

(11)

вновь придем к неоднородному уравнению Бюр-герса, но с новой правой частью

F = F + 255 2s/ дх2. (12)

В частном случае s = const преобразование Дарбу не меняет правую часть: F = F, и для F = 0 формула (11) совпадает с формулой автопреобразования Бэклунда однородного уравнения Бюргерса [18]. Формулы (11), (12), по-видимому, впервые появились в работе [19], где они были использованы для анализа решений неоднородных уравнений Бюргерса с правыми частями, получающимися на основе класса точных решений неоднородного уравнения Бюргерса с линейной по х правой частью.

Примечательно, что указанная процедура перехода от уравнения Бюргерса с источником F к уравнению с другим источником F (или, то же самое, переход от задачи теплопроводности с одним

потенциалом V к задаче с другим потенциалом V) может быть повторена. Многократное применение преобразований Дарбу может в принципе позволить найти решения неоднородного уравнения Бюргерса для ряда нетривиальных источников. В настоящей работе рассматривается получение цепочки решений уравнений вида (4) с различными потенциалами, получающимися при многократном применении преобразования Дарбу при выборе нулевого потенциала V = 0 в качестве исходного. Указанные решения уравнения (4) путем применения преобразования Хопфа—Коула (3) позволяют найти последовательность точно решаемых неоднородных уравнений Бюргерса (2). Ниже будет показано, что полученные решения описывают встречное распространение нелинейных волн в околозвуковом потоке вязкой жидкости в сопле Лаваля с различной степенью сужения сопла.

РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА, ПОЛУЧАЮЩЕГОСЯ ПРИ ОДНОКРАТНОМ ПРИМЕНЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ К ОДНОРОДНОМУ УРАВНЕНИЮ

Ограничимся рассмотрением класса стационарных неоднородностей, т.е. будем предполагать, что правая часть неоднородного уравнения Бюргерса не зависит от времени г .

Будем исходить из однородного уравнения Бюргерса (1). Его решения хорошо известны и выражаются с помощью подстановки Хопфа— Коула (3) через решения классического уравнения теплопроводности. Как отмечалось выше, неоднородное уравнение Бюргерса, "порождаемое" преобразованием Дарбу, имеет вид

да + йдй _5Щ = р (1)

dt дх дх где F выражается по формуле (12), в которой s (х, t) — некоторое решение однородного уравнения Бюргерса (1). Если интересоваться случаем не зависящих от времени и

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком