РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 3-13
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.876
ПОЛУЦИЛИНДР С ПОЛОСТЬЮ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ ВБЛИЗИ ЛИНЕЙНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ © 2015 г. Т. И. Бичуцкая, Г. И. Макаров
Санкт-Петербургский государственный университет Российская Федерация, 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, ул. Ульяновская, 3
E-mail: tib@niirf.spbu.ru Поступила в редакцию16.07.2014 г.
Двумерная задача для поля нити диполей, размещенной вблизи полуцилиндра, содержащего полость и расположенного на идеально проводящей плоскости, решена с использованием теоремы об отражении и конформного преобразования двухсвязной области. В квазистатическом приближении получены выражения для поля линейного источника и исследованы закономерности функции влияния неоднородности при смещении полости различной кривизны внутри полуцилиндра.
DOI: 10.7868/S0033849415010027
ВВЕДЕНИЕ
Для решения ряда двумерных задач в приближении квазистатики использование аппарата конформных преобразований оказывается весьма эффективным [1—3]. В результате строгого решения электростатической задачи получены аналитические выражения для поля при наличии осесиммет-ричных неоднородностей, выступающих из полупространства. В рассмотрение введена функция влияния неоднородности, позволяющая распространить результаты квазистатики на дальнее поле. Воздействие неоднородности на дальнее поле определено при помощи асимптотики функции влияния, найденной по ближнему полю. Включение асимптотики в эквивалентный дипольный момент источника позволяет решать задачу Зоммерфельда без неоднородности с произвольными свойствами нижнего полупространства.
Описанный подход к решению двумерных задач с осесимметричной неоднородностью в приближении квазистатики был также развит в задаче двух тел: двух полуцилиндров, расположенных на идеально проводящей плоскости и имеющих произвольные свойства [4]. В указанной работе получены выражения для электрического поля и исследована функция влияния для произвольного расстояния между полуцилиндрами различной кривизны. При сближении полуцилиндров было обнаружено возрастание поля вблизи поверхности полуцилиндра, несущего источник. Причина этого возрастания не была выяснена в [4], обсудим ее ниже на примере рассматриваемой задачи.
В данной работе продолжим изучение задачи двух тел и решим задачу о вложенном полуцилин-
дре. Исследуем поле нити электрических диполей (ЭД), размещенной вблизи полуцилиндра, содержащего полость и расположенного на идеально проводящей плоскости. Функцию влияния изучим для различных смещений полости произвольного размера внутри полуцилиндра. Исследуем распределение плотности индуцированных зарядов на поверхности внешнего полуцилиндра и обсудим его связь с возрастанием поля вблизи поверхности полуцилиндра. Дипольные моменты источников, расположенных вблизи внешнего полуцилиндра или внутри полости, полагаем направленными как ортогонально (вертикальный электрический диполь (ВЭД)), так и параллельно (горизонтальный электрический диполь (ГЭД)) идеально проводящей плоскости.
1. ПОТЕНЦИАЛ И ПЛОТНОСТЬ ИНДУЦИРОВАННЫХ ЗАРЯДОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУЦИЛИНДРА
Рассмотрим сначала электростатическую задачу для поля нити точечных зарядов расположенной на вершине одного из полуцилиндров, а затем перейдем к полю дипольных источников. Оси полуцилиндров с радиусами г1, г2 и относительной диэлектрической проницаемостью ех, е2 полагаем расположенными на некотором расстоянии х0 друг от друга (рис. 1а). Согласно теореме об отражении задача сводится к определению поля двух симметрично расположенных нитей точечных зарядов в среде с диэлектрической проницаемостью е0, содержащей цилиндр со смещенной цилиндрической полостью.
БИЧУЦКАЯ, МАКАРОВ (а)
(б)
Рис. 1. Полуцилиндр с полостью на идеально проводящей плоскости (а) и геометрия задачи на плоскости конформного переменного (б).
В плоскости г = х + 1у поперечного сечения цилиндров воспользуемся конформным преобразованием
w = .
(1)
г - Z2
где w = и + ¡У; г1, г2 — точки, принадлежащие линии центров обеих окружностей и симметричные
одновременно относительно них [5]: г1г2 = г1 ,
(г1 - х0)(г2 - х0) = г2. В полярных координатах связь (1) между переменными w = Я ехр(/ф), г = г ехр(г'у) в обозначениях г± = г1 ± г2 имеет вид
2 r2 - 2z1r cos у + Zi2
R =
2 о , 2 -
r - 2z2r cos у + z2
2 = z2R2 - 2ziz2Rcos ф + zj R2 - 2R cos ф + 1 '
z_r sin у r2 - z+r cos у + z1z2 z R sin ф
(2)
tg9 =
tgy
z2R - z+R cos ф + z1 Положение точек z1, z2 в терминах параметров
Xn
представим в виде
Y = r2/ri, (y < 1)
и sin a =
zi'2
ri(1 - Y)
= /1(1 + y) x 2sina
1 +1—Y sin2 a ± cos a 1 - 1—Y
2
sin a
(3)
(x
- r2 ) -
В результате преобразования (1) две эксцентрические окружности на плоскости г перейдут в концентрические на плоскости w (рис. 1б) с радиусами
Ri =
riz -
2 2 ri - z 2
' R2 =;
/2z -
rl - (Xn - z2)2
(4)
При этом область между обеими окружностями
г < гъ л] г2 - 2гх0 ео8 + х2 > г2 переходит в область кольца Я2 > Я > Я1, внутренний круг
— во внешнюю область
i
r2 - 2rxn cosy + x0
< r2
Я > Я2, внешняя область г > г1 — во внутренний круг Я < Я1. Используя представление (3), выразим радиусы Я1 и Я2 (4) через параметры а и у:
Я1
= 1 + Y ,
2 sin a
1 ± -—Y sin2 a + cos a 1 - 1—Y
■ 2
sin a
1 + Y V U + Yy
Заметим, что при малых а из (5) следует
(5)
Ri
R
1 + у sin a
1 + y
1 --
Y
Y sin a
1 -
(i + y)2 1
2
rsin a
(i + y)2
2
;sin a
(6)
1+ Y \ ч1 + YУ
Здесь параметр а определяет расстояние между осями полуцилиндров, его величина меняется от малого положительного значения а > 0 при очень близком расположении осей полуцилиндров (х0 > 0) до а = я/2 при касании полуцилиндров
так что для a ^ 0 имеем соотношение радиусов R2 > R1 > 1. В другом предельном случае, при касании полуцилиндров, параметр a ^ я/2 и радиусы цилиндров (5) принимают значения, близкие к 1:
1 + -Jy cos a, R2 « 1 + cos аД/Y-
Ri
(7)
Потенциал поля источника в исходном физическом безграничном пространстве Ф0 = —^^— 1п |г -
в переменных w, где z - Zt = = z -
2яб0 w - wI
(1 - w)(1 - wl)
со-
гласно (1), принимает вид Ф0 = Ф01 + Ф02. Здесь с Учитывая коэффициенты (10), для потенциала Ф1
точностью до произвольной постоянной -ln\w - w\ = -
в области R > R получим следующее выражение:
ф01 = -Лс_
2ns0 2ns0
да
lnRi + У-cosm(p - ф,)Rm/R™,R < R,
ф1
2ns0
" 1 Rm
ln R + У--—cosm(m - m.):
У mRm ^ T
m=1
да
m
(8)
1 +
m=1
n 2m <*2m
R_a1 + a 2Z
r 2m
R1 1 + a1a 2Z _
(11)
lnR + У—cosm(p-p,) R™/Rm,R > R, m
m =1
w - w,
а для потенциала Ф — выражение, аналогичное (11), в котором R = 1, ф;-= 0. Здесь £ = К2.
.--Полное представление потенциала с учетом двух
¡\-у]R2 + К2 - 2RR со8(ф-ф;) в полярных симметрично расположенных источников согласно теореме об отражении в обозначениях = ф ± ф;- получим в виде
координатах. Второе слагаемое Ф02, обеспечива
ющее ограниченность потенциала Ф при ^ да (г ^ г2), имеет также вид (8) с К = 1, ф;- = 0. Потенциал полного поля удовлетворяет уравнению Пуассона, граничным условиям
Ф+
Ф = У -(cos тф_ - cos тф+): 2ns0 , m
m=1
s(k) дФ(к)
ф(к)| = ф Ir=R,
(k+1)|
'-к-1"
dR
дф
R=Rk (k+1)
R=Rk
dR
(9)
R=Rk
rKr1 a + a2Z
nm nm , ^
R1 R1 1 + a1a 2Z
2m
2m
+
, R < R < R1
r.™
Rm
Rm
—, R < R < R1
R m 1
(12)
на границах раздела (к = 1,2), условию ограниченности решения при К = 0 (г ^ г1) и при К ^ да (г ^ г2). Представим потенциал в обла-
Отметим, что в частном случае полуцилиндра без полости (б1 = б2, а 2 = 0) выражение (12) сводится к известному потенциалу поля четырех нитей точечных зарядов [6]. Действительно, выпол-
сти К < К1 в виде разложения Ф = Ф0 + ненное в этом случае суммирование по т в (12)
для области К < К < К1 приводит к выражению Ф =
+У(фm cosтф + Фm sinтф), гдес учетом потенци-
f
m=1
Q0
ала (8) радиальные функции имеют представление q0 cos mtyARm/Rm, R < Ri,
2nsn
, | W - Wi | , | W - W :
ln!-^+a1ln--
w - w.
Здесь |w - w,\ =
w - w* |
Фc = A Rm +
* m ¿-ю-* v I
Ф1 = CmRm +
2n&0 m {r1/Rm, R > R,
q0 sin mфi■ { Rm/Rm , R < R, 2ns0 m
{Rm/Rm, R > R.
В результате последовательного решения уравнений (9) получим коэффициенты разложения в q fln R, R < R,
= R2 - 2RR cos ф_ + R2, черта у wt означает комплексное сопряжение, w* = —ехр(;фг) — точка
Ri
расположения источника, симметричного исходному относительно окружности R = R1. Для расстояний |w - w,| согласно (1) справедливы соотношения
виде ф 0 = —
|w - w i|2 \z - Zi
4пе0 [ln R, R > R,
A _ q0a1 cos r™ a2 + a
hRhR
T%2m / -r}2m 1R2 /R1
2ns0
m
R2 + a1a 2 R1
* 2 _ 1 *
w - w* z - z*
hRhR*
(13)
ai _ ■
s 0 — 81
s 0 +81
C _ q0 sin m^j Rm a2 + a
Cm _ - Ri „9™
7) 2m / t) 2m 1R 2 /R1
(10)
2ns0 m ' R22m + a1a 2R2m
где h1
_\z - z 2I2
z * = ^Lexp( i^i),
является коэффициентом Ламе
m a 2
81 —s 2 . 81 + 8 2
преобразования (1) h =
dz
dw
w - J
lz - z2|2 z-
Ко-
x
aj
z
z
2
эффициенты НЯ,, кЯ> имеют тот же вид, что и НЯ при
соответствующей замене г = г, г = г*. С учетом приведенных соотношений потенциал (12) для полуцилиндра без полости в исходном физическом пространстве принимает вид известной суммы потенциалов поля четырех нитевидных источ-
(
ников: ф = —
#0
2nsr
1 z — Zi , ln|-^ + a! ln
|z — z;|
*
z — z*
—*
z — z¡
Изучим распределение плотности зарядов ст, индуцированых на поверхности внешнего полуцилиндра г = г1 (Я = Я1), согласно определениям
= 60Er\, Er =
1 дФ
h dR
. Продифференцируем
потенциал (12) и получим выражение
#o 1 -«i w
a = —
2п R1h
Ri
х ^Rim (cos тф_ — cos тф+)
i R1
m=1 1
где hR,
vRm
=1 R1m
_ z 2 |2r cos y- z+
2m
1 — a 2Z
1 + a1a 2Z2m
(14)
с учетом преобразова-
ния (1) и соотношения г1г2 = г1 . Отметим, что в случае идеально проводящего полуцилиндра (а1 = -1) свойства полости не влияют на распределение плотности зарядов (14), как и должно быть.
Используя в (14) разложение функции
(1 + а1а2т) в степенной ряд для ^ ^ 1 и выполняя суммирование по т, получим плотность зарядов в виде
q01 - a1 a = -—-1 х
2п R1hRi
да
х ^(-a1a2)"[S-1 - S+ - a2(^2 - $+2)], 2 - cosф_,+
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.