ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 4, с. 8-14
УДК 550.383
ПОМАСШТАБНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В МОДЕЛЯХ ДИНАМО
© 2014 г. М. Ю. Решетняк
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: m.reshetnyak@gmail.com Поступила в редакцию 02.10.2013 г.
Рассмотрена трехмерная модель динамо в быстровращающемся плоском слое с подогревом снизу. Исследован переход генерации магнитного поля с линейного на нелинейный. Используя вейвлет-анализ, показано, как изменяются во времени пространственные спектры кинетической и магнитной энергий, а также гидродинамической, магнитной, кросс- и токовой спиральностей. Предложены сценарии подавления а-эффекта магнитным полем.
Ключевые слова: геодинамо, циклоническая турбулентность, а-квенчинг. DOI: 10.7868/S0002333714040140
ВВЕДЕНИЕ
Многие астрофизические объекты имеют собственные магнитные поля [Rudiger, Hollerbach, 2004], генерируемые процессами динамо. В классической постановке теории динамо считается, что произвольное затравочное магнитное поле может быть усилено механизмом динамо так, что на нелинейном, квазиастаионарном режиме его конфигурация должна быть похожа на наблюдаемую. Поскольку магнитные поля в космосе весьма распространены, то проблемы с затравочными полями не существует. Затравочные поля слабы, и требуется некоторое время для роста магнитного поля до тех пор, пока этот рост не прекратится в силу обратного воздействия (квенчинга) магнитного поля на гидродинамические течения. Поскольку уравнение индукции линейны по магнитному полю, рост поля является экспоненциальным, и процесс стабилизации наступает достаточно быстро. Так, для земного ядра конвективная оценка времени установления магнитного поля из затравочного галактического магнитного поля Bo = 10-10 Тл [Зельдович и др., 2006] до величины современных оценок напряженности в жидком ядре Bo = 10-2 Тл,
дает Tc = тс ln I B I. Здесь тc = l/V конвективное
V Bo)
время, l — характерный масштаб магнитного поля принимаем равным одной десятой толщины жидкого ядра Rc = 3400 км, т.е. l ~ 0. 1Rc ~ 340 км, а скорость течений V, равной скорости западного дрейфа магнитного поля Vwd = 0.2°/год. Тогда Tc ~ 300 лет, что соответствует короткопериодной части спектра археомагнитных вариаций поля. Приведенные со-
отношения, характерные для быстрого динамо [Вайнштейн и др., 1980], когда магнитная диффузия не учитывается, дают минимальную оценку для времени установления магнитного поля.
Учет магнитной диффузии приводит к более длительному процессу установления с характерным временем Td = (лЦя2^) ~ 104 лет [Gubbins, Roberts, 1987], где п = 2 м2/с — коэффициент магнитной диффузии жидкого ядра. Оценка Td совпадает с так называемым основным периодом геодинамо: вариаций амплитуды диполя магнитного поля. Здесь Td следует понимать в том смысле, что после экспоненциального роста с характерным временем Tc, наступает медленная фаза, связанная с перестройкой конфигурации магнитного поля и течений уже с учетом магнитной диффузии. Это не противоречит и численным расчетам, требующих как минимум нескольких диффузионных времен для установления.
Как легко заметить, рост магнитного поля на разных масштабах будет иметь различную длительность, определяемую скоростью вихря vk на масштабе 1/k: тk = (kvk)-1, где k — волновое число. Для спектра скорости vk = Vok имеем т k = т ok а-1, что для колмогоровской турбулентности с а = 1/3 приводит к Tk ~ k~2/3, т.е. на малых масштабах магнитное поле возрастает быстрее. Далее, в силу нелинейных взаимодействий между гармониками возникает затравочное поле для большего масштаба и рост продолжается. Накачка магнитной энергия с малых масштабов и крупномасштабный рост магнитного поля за счет пре-
образования кинетической энергии крупномасштабной скорости происходят одновременно.
Ситуация осложняется тем фактом, что существуют ограничения на конфигурацию магнитного поля, сводящиеся к сохранению магнитной спиральности [Moffat, 1978] и токовой спираль-ности в приближении больших чисел магнитного Рейнольдса, для которых интеграл по объему сохраняется [Berger, 1984; Brandenburg, Subramani-an, 2005], см. подробнее в [Hejda, Reshetnyak, 2010]. Поскольку эти псевдоскалярные величины в свою очередь знакопеременны по объему, то возможны весьма различные состояния системы.
Ниже, на примере циклонической конвекции в быстровращающемся жидком слое с подогревом снизу, мы рассмотрим процесс перехода системы динамо с линейного кинематического режима на нелинейный как в физическом пространстве, так и в волновом, следя за взаимными корреляциями физических полей и изменениями интегралов системы: энергий и спиральностей. Так как турбулентные течения представляют собой набор разномасштабных конвективных вихрей, то для пространственных спектральных оценок используется вейвлет-анализ. Постановка задачи и выбор параметров соответствуют задачам геодинамо.
УРАВНЕНИЯ ДИНАМО
Рассмотрим уравнения динамо для несжимаемой жидкости (V • V = 0) во вращающемся с угловой скоростью Q относительно вертикальной оси z бесконечном слое 0 < z < 1. Введя следующие единицы измерения для скорости V, времени t, давления P и магнитного поля B: к/ L, L2/к, рк2 / L2 и
V2QpK^, где L — единица длины, к — коэффициент молекулярной теплопроводности, р — плотность вещества, ц — магнитная проницаемость, запишем систему уравнений динамо в декартовой системе координат (x, y, z) в виде:
— = V х B + q-1AA, B = rotA, dt
E Pr
-i
^ - V x (Vx V)
= rotB x B -
(1)
-VP - 1z x V + RaT1z + EAV,
dT
dt
+ (V -V)(T + T0) = AT.
Безразмерные числа Прандтля, Экмана, Рэлея и
Робертса заданы в виде: Pr =
E =
к 2^2
= L и д = к, где V — коэффициент кинема-
2^к п тической вязкости, а — коэффициент объемного расширения, g0 — ускорение свободного паде-
ния, ST — единица возмущения температуры T относительно "диффузионного" (не конвективного) распределения температуры T0 = 1 - z, П — коэффициент магнитной диффузии. Использование в уравнении индукции вектора-потенциала вместо магнитного поля позволяет получить бездивергентное магнитное поле на каждом шаге по времени.
Система (1) замыкается периодическими граничными условиями по горизонтали. Для границ Z = 0, 1 используются нулевые значения для возмущений температуры T = 0, что с учетом выбранного профиля T0, эквивалентно заданию температур на границах: T = T + T0 = 1, 0. Для поля скорости принимаем условие непроникновения и равенство нулю градиентов тангенциальных компонент на
п i т/ dVx dVy п и Z = 0, 1: Vz = —- = —- = 0. Для векторного потен-
dz dz
циала магнитного поля A используются псевдоваку-
дА- ЭЛу
умные граничные условия: —- = —- = Az = 0, что
dz dz
dB
соответствует для самого поля Bx = By = —1 = 0.
dz
Система (1) решалась численно на сетках 1283, методом контрольных объемов (КО) на кластере из персональных компьютеров. Код реализован на языке Фортран-95 с использованием библиотек MPI [Решетняк, 2012]. Последующая обработка данных и графика выполнена на языке Питон, включающего модули NumPy и Matplotlib.
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ
Использование метода КО имеет некоторую специфику. Метод является конечно-разностным, и все операции производятся в физическом пространстве. Это позволяет эффективное двумерное распараллеливание кода, которое производится в горизонтальной плоскости. Получаемые физические области на каждом процессоре являются вытянутыми вдоль оси параллелепипедами, см., например, описание Pencil-кода [Brandenburg, Dobler, 2002].
С другой стороны, в алгоритмах метода КО используются смещенные сетки с неравномерным у твердых границ шагом. Более того, сетки для векторных и скалярных полей имеют различное количество точек. Это обстоятельство затрудняет использование быстрого преобразования Фурье для анализа спектральных характеристик полей. В тоже время, для диагностических целей использование быстрого преобразования не принципиально, и возможно применение других спектральных методов, требующих больших затрат времени. Поскольку мы планируем анализировать спектральный состав пространственного распре-
V
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0
Рис. 1. Сечения вертикальной компоненты поля скорости Vг. Диапазоны полей: (—238, 203), (—501, 489). Затравочное магнитное поле включено в момент времени Тв.
деления физических полей в модели (1), то вообще говоря, следует использовать методы, позволяющие описывать локализованные в пространстве структуры, в частности конвективные вихри, наблюдаемые в турбулентности. Метод также должен позволять проводить корреляционный анализ различных физических полей.
Всем перечисленным выше требованиям удовлетворяет вейвлет-анализ. Ниже мы напомним некоторые основные положения непрерывного выйвлет-анализа и введем ряд полезных далее определений. По вейвлетам существует обширная литература, однако для наших целей будет достаточно материала, изложенного в [Фрик, 2010]. Обратим внимание, что данный метод не испытывает сложностей при анализе ступенчатых сигналов с разрывными первыми производными [Решетняк, Павлов, 2000]. В этой работе с помощью вейвлетов анализировался сигнал прямой и обратной полярности геомагнитного поля, принимающий значения ±1.
Непрерывное вейвлет-преобразование функции /(х) имеет вид:
да
м>(а, Ъ) = а - | /(х)у* (Х-Ь их, (2)
—да
где в качестве вейвлет-функции у используется
комплексный вейвлет Морле у(^) = ехр(2тсй - ^2/2), представляющий собой быстро убывающую осциллирующую функцию, позволяющую отслеживать сигнал /(х), локализованный в точке х = Ь.
Преобразование w является комплексной величиной. Величина а соответствует характерному масштабу сигнала. Степень к в множителе перед интегралом в (2) позволяет получать различные нормировки. Ниже мы будем использовать нормировку с к = —1, дающую равную амплитуду спектров для равных амплитуд гармоник сигнала /
После интегрирования по диапазону значений Ь получаем вейвлет-спектр сигнала /
да
S(a) = | |^(а, Ь)|2 йЪ. (3)
—да
Для двух различных сигналов/ и/2 введем взаимный мгновенный комплексный спектр в виде:
S(a, 0 = ^(а, ЬМ*(а, Ъ), (4)
для которого физический смысл имеет действительная часть ^ S.
ЭВОЛЮЦИЯ ПОЛЕЙ
В отличие от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.