КАЛИБРОВКА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
519.27
Последовательный метод калибровки измерительных средств с использованием
фильтра Калмана
Ч. М. ГАДЖИЕВ (Турция)
Приведен вывод рекуррентного алгоритма оценивания параметров калибровочной кривой с учетом погрешности воспроизведения входных воздействий. Совместное использование выведенного алгоритма оценивания с предложенным в работе правилом останова процесса калибровки значительно сокращает продолжительность процесса калибровки, что предполагает реальный экономический эффект.
Ключевые слова: калибровка, датчики давления, оценивание параметров, фильтр Калмана.
The derivation of the recurrent algorithm of the parameters estimation of calibration curve with taking into account the reproduction errors of input effects is given.The joint use of the derivated estimation algorithm with the proposed stopping rule of the calibration process considerably reduces the duration of the calibration process promising the real economic effect.
Key words: calibration, pressure transducers, parameter estimation, Kalman filter.
В измерительной технике калибровка измерительного прибора осуществляется с помощью высокоточного эталонного прибора, воспроизводящего эталонные сигналы через определенные интервалы измерения, эти сигналы поступают на вход калибрируемого измерительного прибора и по значениям его выходных сигналов определяется калибровочная характеристика прибора [1]. В настоящее время применяют три основных способа задания калибровочных зависимостей [2]:
с использованием коэффициентов аппроксимирующего полинома;
в виде таблицы значений, соответствующих узловым точкам, выбранным на сглаженной зависимости, с последующей линейной интерполяцией текущих значений параметра;
с помощью коэффициентов аппроксимирующего средне-квадратического сплайна.
На практике часто ограничиваются аппроксимацией калибровочной зависимости полиномом третьей степени или кубическим среднеквадратическим сплайном. Сплайн-аппроксимацию применяют для повышения точности представления существенно нелинейных зависимостей.
Коэффициенты калибровочных зависимостей обычно определяют с помощью тестового метода или метода наименьших квадратов (МНК) [2, 3]. При вычислении калибровочных коэффициентов тестовым методом случайные погрешности измерений не учитывают, поэтому применение этого метода для решения большинства практических задач нецелесообразно. Метод наименьших квадратов используют для статистического оценивания с высокой точностью коэффициентов калибровочных кривых. Однако, как извест-
но, применение МНК существенно ограничено [4]. Прежде всего, при построении зависимости у = f(x) значения аргументов х(к), к=1, п могут быть также известны с погрешностями. В этом случае использование МНК обычно приводит к смещенным результатам, а главное — дает неверные оценки их погрешностей. Учитывая, что эталонные приборы для калибровки (воспроизводящие входные воздействия) тоже имеют погрешности, применение МНК в упомянутом случае может привести к получению ошибочных результатов.
Автором предложен подход к оцениванию линейной модели регрессии, учитывающий погрешности входных воздействий [5], использованный в [6] для идентификации параметров математической модели нефтяного пласта в случае, когда входные параметры модели известны с погрешностями. Авторы [6] развивают указанный подход применительно к задаче калибровки измерительных приборов и дают строгий вывод рекуррентного алгоритма оценивания параметров калибровочной кривой с учетом погрешности воспроизведения входных воздействий. Совместное использование выведенного алгоритма оценивания с предложенным в работе правилом останова процесса калибровки значительно сокращает продолжительность этого процесса, что ведет к реальному экономическому эффекту.
Постановка задачи. Калибровочную характеристику измерительного прибора адекватно описывают полиномом порядка т:
у = а0 + а,р + а2 р2 + ... + ат рт. (1)
Уравнение измерений записывают в следующем виде:
1у(к) = ао + а1р(к) + а2Р2(к) +... + атрт(к) + 5у(к), к = 1, л, (2)
Калибровочную характеристику (1) запишем в векторном виде
где 5у(к) — случайные гауссовы погрешности измерения с
нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2.
Предполагают, что значения аргументов р(к), к = 1, п, воспроизводимые эталонными приборами входных воздействий, тоже известны с погрешностями.
Необходимо разработать последовательный алгоритм оценивания коэффициентов калибровочной зависимости (1), учитывающий погрешности воспроизведения входных воздействий и обеспечивающий требуемую точность калибровки с минимальным числом измерений.
Алгоритм оценивания коэффициентов калибровочной кривой с учетом погрешности входных воздействий. Для вывода алгоритма используем аналогию с фильтром Кал-мана, предназначенным для оценивания состояния линейной дискретной динамической системы при соответствующих начальных условиях и исходных данных:
х(к + 1) = Ф(к + 1, к) х(к) + В(к + 1, к) и(к) + 0(к + 1, к) 1ж(к);
у(к) = х'(к) 0(к), к = 1, 2, ... , л,
(8)
2х(к) = Н(к) х(к) + и(к),
(3)
где х(к) — вектор состояния системы, Ф(к + 1, к) — ее переходная матрица; В(к + 1, к) — переходная матрица входных воздействий; и(к) — вектор входных воздействий; 0(к+1, к) — переходная матрица шумов возмущений; ^(к) — случайный вектор гауссовых шумов возмущений с нулевым средним и корреляционной матрицей Е [^(к)^Т( у)] =0(к)6(к у) (здесь Е — оператор статистического усреднения, Т — знак транспонирования, 5(к у) — символ Кронекера); гх(к) — вектор измерений; Н(к) — матрица измерений системы; у(к) — случайный вектор гауссовых шумов измерений с нулевым средним и корреляционной матрицей Е [у(к)уТ(у)] = Я(к) 6(к/).
Как известно [7], оптимальный фильтр Калмана для оценивания вектора состояния системы (3) описывается системой рекуррентных уравнений следующего вида: уравнение оценки
х(к / к)=х (к / к -1)+К (к) [х (к) - Н(к) X (к / к -1)],
(4)
где х (к / к -1) — оценка экстраполяции; К(к) — матричный коэффицент усиления оптимального фильтра,
К(к) = Р(к / к - 1)Н Т(к) [Н(к) Р(к / к - 1)НТ (к) + Я(к)]-1; (5)
корреляционная матрица ошибок фильтрации Р(к / к) = Р(к / к - 1) - Р(к / к - 1)НТ (к) ■
■ [Н(к) P(k / к - 1)НТ (к) + Я(к)]-1 Н(к) P(k / к - 1); (6) корреляционная матрица ошибок экстраполяции Р(к / к - 1) = Ф(к, к - 1) Р(к - 1 / к - 1) Фт(к, к - 1) + + В(к, к - 1) Ои(к - 1) Вт(к, к - 1) + + 0(к, к - 1) 0(к - 1) От(к, к - 1), (7)
где Ои(к - 1) — корреляционная матрица входных воздействий.
где хт(к) = [1, р(к), р2(к), ... , рт(к)] — вектор входных воздействий; 8г(к) = [а0, а1, а2, ... , ат] — вектор неизвестных (оцениваемых) параметров.
С учетом (2) и (8) математическую модель калибровки представим в форме (3):
6(к + 1) = 6(к), (к) = хт(к) 6(к) + (к).
(9)
Отметим, что в (9), кроме погрешности измерения выходной координаты 6у (к), входит еще погрешность определения вектора входных воздействий х(к) - 6х(к). С учетом указанного гу(к) запишем как
2У (к)=[х(к)+6х (к)]т е(к)+6у (к)=хт (к) 6(к) + 6Х (к) 9(к)+ + 6 у (к) = хт (к) 9(к)+6Пр (к),
где 6пр (к)=6Х (к) 9(к)+6у (к) — приведенные погрешности.
В дальнейшем в качестве погрешности измерения (к) используем характеристики приведенных погрешностей. Определим дисперсию приведенных погрешностей
Обпр (к) = о2 + ет (к) йх (к) е (к),
(10)
где Ох(к) — корреляционная матрица погрешностей входных воздействий, диагональными элементами которой являются дисперсии соответствующих составляющих вектора х(к).
Применив к модели (9) фильтр Калмана (4)—(7) с параметрами Ф(к + 1, к) = I, Н(к) = хт (к), Е Ик) м7" (у)] = О(к) = 0, Е [и(к)^г (у)] = Я(к) = о2 с учетом того, что дисперсия погрешности измерения гу(к) известна из (10), получим
9(к)=9(к -1) + К (к) [у (к) - хт (к) 9(к -1)];
_Р (к - 1) х (к)_,
К (к) = -т--. 2
х' (к)Р(к-1)х(к)+ е' (к-1)Ох(к)9(к-1)+о2
р(к)=р(к-1)- 2 т р(к -1)х(к)х;тк)Р(к -1),—,
о2 + х' (к)Р(к-1)х(к)+е' (к- 1)Ох(к)9(к-1) (||)
где параметры К(к) и Р(к) имеют тот же смысл, что и в фильтре Калмана (4)—(7), однако шаг итерации к здесь указывает порядковый номер проведенного эксперимента.
Полученная система уравнений (11) представляет рекуррентную процедуру и позволяет провести оценивание коэффициентов калибровочной зависимости (8) с учетом погрешности вектора входных воздействий.
9—430
Экспериментальный пример и анализ полученных результатов. Рассмотрим задачу калибровки дифференциального измерителя давления с помощью эталонных задатчи-ков.
Калибровочную характеристику дифференциального измерителя опишем полиномом второго порядка
у = ао + а:р + 32 р2. (12)
Уравнение измерений запишем в виде
2у(к) = ао + а1р(к) + 32Р2(к) + 5у(к), к=1ТП, (13)
где 6у(к) — погрешность измерения с нулевым средним и У 2 дисперсией о2.
Для оценивания коэффициентов калибровочного полинома (10) использовали МНК [3]. При этом предполагали, что значения аргументов (значения, воспроизводимые за-датчиками давлений) известны точно. Поскольку воспроизведение происходит с погрешностями, использование МНК приводит к неточным (смещенным) результатам, а главное — дает неправильные оценки их погрешностей. В указанном случае при обработке данных применяют рекуррентный алгоритм оценивания (11), учитывающий погрешности входных воздействий. Для этого представим (12) и (13) в векторной форме
у(к) = хт(к) 9 (к);
2у(к) = хт(к) 9(к) + 5у(к), к = 1, п,
(14)
где хт(к) = [1, р(к), р2(к)] — вектор входных воздействий; 9т(к) = [а0, а1, а2] — вектор неизвестных (оцениваемых) параметров.
Учитывая, что в данном случае
Ох (к) =
Ор (к)
К 2 (к)
р , рк '
К 2 (к)
р, р2 ^ '
Ор 2(к)
где Ор2 (к)= 4р2(к)Ор(к); Ор(к) — дисперсия погрешности
воспроизведения входных давлений; К^ ^2 (к) = К^2р (к) —
корреляционный момент погрешностей членов р(к) и р2(к), применим алгоритм оценивания (11).
В ходе эксперимента и для расчетов принимали следующие начальные условия и исходные данные.
Эталонные давления задавали в интервале 0 < р(к) < < 16 ■ 104 кПа с шагом 1 ■ 104 кПа с помощью поршневого манометра МП-2,5 класса точности 0,02.
Измерения проводили на дифферен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.