КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 189-192
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ :
УДК 531.391
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ (ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД)
© 2007 г. В. Ф. Чуб
Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С П. Королева, г. Королев Поступила в редакцию 29.06.2004 г.
РАС8: 03.30.+р
Излагается подход к постановке ряда задач, связанных с инерциальной навигацией [1, с. 369; 2,
1 2 с. 28] , основанный на понятии симметрии [3-5]
(точнее, на непрерывных группах симметрии пространства-времени). Последовательно будут рассмотрены задачи, в основе которых лежат: 1-пара-метрическая группа переносов во времени; 4-пара-метрическая группа, включающая переносы во времени и пространственные повороты; 10-пара-метрическая группа Галилея, включающая переносы во времени и в пространстве, пространственные повороты и преобразования Галилея (нерелятивистские бусты); 13-параметрическая группа, включающая все преобразования 10-параметриче-ской группы Галилея и преобразования, позволяющие описывать гравитационные ускорения; 15-параметрическая конформная группа, позволяющая учесть релятивистские эффекты при постановке задачи инерциальной навигации.
При наличии симметрии появляется основание использовать в пространстве-времени выделен-
з
ные (инерциальные) системы отсчета , которые связаны между собой преобразованиями группы.
Движение объекта моделируется последовательностью таких выделенных систем отсчета, связанных, как минимум, переносом во времени. Введем следующие обозначения: I - инерциаль-ная система отсчета, относительно которой рассматривается движение интересующего нас объекта; Е(х) - текущая инерциальная система отсчета, связанная с объектом (х - непрерывный индекс, нумерующий инерциальные системы от-
1 Ссылка дается на первый абзац работы А.Ю. Ишлинского "Истоки пространственной инерциальной навигации" и на второй после формулы (6) абзац работы Л.И. Седова "Об основных соотношениях в инерциальной навигации".
2 В монографии [5] особое внимание уделяется конформным симметриям в биологических телах. О роли инерциальной навигации для живых организмов см., например, введение к [6] ("Принципы ориентации организмов в гравитационном поле Земли"). Отметим, что книга [6] вышла как том 12 в серии "Проблемы космической биологии".
3 В пространстве - базисы, реперы или системы координат, во времени - шкалы времени.
счета, которые объект проходит при движении); Л1Е(Т) - текущее преобразование, связывающее базовую систему отсчета I с текущим положением объекта.
Тогда постановку всех рассматриваемых далее задач можно свести к следующему символическому уравнению:
Л1Е(х + йх) = Л1Е(х) ° ЛЕ(т)Е(т + йх) ■ (1)
Здесь Е(т) и Е(т + йх) - две бесконечно близкие инерциальные системы отсчета, проходимые объектом; соответственно, ЛЕ(х)Е(х+йх) - бесконечно малое преобразование, их связывающее. Знак (°) -символ групповой операции (композиции преобразований), в общем случае некоммутативной, то есть порядок, в котором выполняются преобразования, не безразличен. Выписанная формула -частный случай общей формулы сложения (умножения, композиции) преобразований группы, отличающийся тем, что одно из преобразований бесконечно малое. Есть и еще одна особенность, тоже связанная с постановкой задачи инерциальной навигации, накладывающая дополнительное ограничение на вид бесконечно малого преобразования ЛЕ(Х)Е(Х + йХ) - отсутствие в нем пространственного переноса.
Собственно задачу инерциальной навигации, следуя уравнению (1), можно сформулировать следующим образом: по известному положению объекта Л1Е(Х) в момент х и измеряемому (с помощью жестко связанных с объектом инерциальных приборов) приращению положения ЛЕ(Х)Е/Х+требуется найти новое положение объекта Л1Е(Х + йх) в момент х + йх. Повторяя этот элементарный процесс, можно, зная начальное положение и получая информацию от инерциальных приборов, рассчитывать текущее положение объекта.
1. Часы как инерциальная навигационная система. Одна из важнейших навигационных задач -определение времени на борту движущегося объекта. Давно изобретен и прибор для автономного определения ("хранения") времени - часы (хронометр) [7].
По сути, хронометр (часы) представляет собой [8, с. 203-204] (не считая конструктивных и крепежных элементов, источника энергии и т.п.) совокупность чувствительного элемента, регистрирующего приращение времени на некое малое значение (такт), вычислителя, подсчитывающего количество тактов и складывающего его с начальным временем, и интерфейса, по которому результат передается наблюдателю или в систему
управления4. Налицо все признаки инерциальной навигационной системы [9] с тем уточнением, что требуется определять только текущее положение
во времени5. Точность такой инерциальной навигационной системы, как обычно, зависит от погрешности начальной выставки (часов), точности выходного сигнала чувствительного элемента, ошибок вычислений (округлений), и может быть повышена при возможности подстройки (коррекции) от внешнего более точного источника (информации о) времени. В соответствии с развитой выше терминологией так называемое программно-временное управление следует считать частным случаем инерциального управления.
Переходя к изложенному во введении общему подходу рассмотрим, пользуясь однородностью времени, множество выделенных (равномерных) шкал времени, отличающихся одна от другой только переносом во времени (началом отсчета времени). Преобразования, переводящие эти шкалы времени друг в друга, образуют однопарамет-рическую группу переносов во времени, поэтому уравнение (1) можно переписать для данного случая в следующем виде:
2. Инерциальная ориентация. Следующая практически важная задача - определение ориентации объекта (рассматриваемого как твердое тело) с использованием датчиков угловой скорости. Соответственно, в число элементарных преобразований, связывающих две системы отсчета, нужно включить (помимо переноса во времени) поворот в пространстве. Уравнение (1) принимает следующий вид:
Т, + л, ©* + ф = (Т, 0ф) о (Г51), (3)
то есть ЛЩХ + ¿г) = Т, + л0ф + ф, Л1Е(т) = Т0Ф, ЛЕ(т)Е(т + Лт) =
= Ты0ы.
В силу независимости переносов во времени и поворотов в пространстве (то есть в силу свойства Т0Ф = 0ФТ, рассматриваемой 4-параметрической группы преобразований) уравнение (3) фактически разбивается на два независимых уравнения: + Л = = Т Ты и 0Ф + = 0Ф о 05Ф. Но если первое из этих уравнений, совпадающее с (2), приводит к тривиальному уравнению Л = 5,, то второе уравнение в силу некоммутативности группы вращений (ЛФ Ф 5Ф) приводит к существенно более сложным уравнениям инерциальной ориентации.
3. Инерциальная навигация без гравитации.
Следующий естественный шаг состоит в расширении 4-параметрической группы, включающей переносы во времени и повороты в пространстве, до 10-параметрической группы движений пространства-времени. Уравнение (1) в этом случае принимает вид:
Т, + Л " Т,Т5,> (2)
то есть Л1Е(т + Лт) = Тг + Л, Л1Е(т) = Тг, ЛЕ(т)Е(т + Лт) = Т5,.
Здесь Т это символ, который используется для обозначения переноса во времени, а нижний индекс при нем - параметр (величина относительного положения во времени систем отсчета).
Зная группу преобразований6, уже чисто формальным путем (в данном случае выкладки тривиальны) приходим к уравнению, соответствующему тому вычислительному процессу, который реализуется в часах.
4 Для настенных механических маятниковых часов такт -период (или полупериод) колебаний маятника, вычислитель - спусковой механизм и шестеренки, интерфейс - циферблат и стрелки.
5 Существуют и другие методы определения времени на борту движущегося объекта, без использования хронометра, например, регулярный прием радиосигналов точного времени, но это уже не инерциальная навигация во времени [10].
6 Ее свойства использовались фактически уже при записи уравнения (2), так как в нем опущен присутствовавший в (1) символ, предупреждающий о некоммутативности групповой операции.
ТЬ + ЛЯг + Лг Vv + ЛV 0 0Ф + ЛФ = (4)
= ( ТДг Vv о 0ф) о ( Ты V5v05Ф)
(очевидные формулы, устанавливающие соответствие с ЛЩт + Лт), Лщт), ЛЕ(т)Е(т + Лт), здесь и далее уже не выписываются).
В уравнении (4) проявляются уже все особенности общей постановки задачи инерциальной навигации, указанные во введении. Для получения информации об изменении связанной с объектом системы отсчета используется традиционный набор приборов: часы, акселерометры и датчики угловой скорости.
В силу свойств группы Галилея из уравнения (4) вытекает, в частности, уравнение (3), а некоммутативность композиции преобразований приходится учитывать уже при разложении преобразования, связывающего две системы отсчета, на элементарные; в данном случае: перенос во времени Т, перенос в пространстве Я, буст V и пространственный поворот 0.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
191
4. Нерелятивистская инерциальная навигация.
Последний шаг, который остается сделать для полноценной формулировки задачи инерциаль-ной навигации (оставаясь в рамках развиваемого метода) - это включение в фундаментальную группу преобразований элементарного преобразования, соответствующего гравитационному ускорению (ускорению тяготения). Обозначая это элементарное преобразование буквой О, выпишем очередную модификацию уравнения (1):
+ й—г + йг Vv + йV ° ©Ф + йФ ° + йщ = (5)
= (TtRrVv ° ©* ° ) ° (ТЫУ5VО5§).
Зная группу (в данном случае - 13-параметриче-ская расширенная группа Галилея), уже чисто формальным путем приходим к системе нерелятивистских уравнений инерциальной навигации [11]. В состав инерциальной навигационной системы приходится включать еще прибор, измеряющий приращение (или скорость приращения) гравитационного ускорения [2, с. 27].
В силу свойств расширенной группы Галилея из уравнения (5) вытекает уравнение (3), но не вытекает, в общем случае, уравнение (4). Поэтому гравитация не влияет (в нерелятивистской постановке) на определение времени и вектора ориентации, но существенна при определении скорости и радиус-вектора.
5. Релятивистская инерциальная навигация. Процедура расширения 4-параметрической группы, рассмотренн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.