научная статья по теме ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ТРАНСФОРМАЦИЙ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ S- И R- АППРОКСИМАЦИЙ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ТРАНСФОРМАЦИЙ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ S- И R- АППРОКСИМАЦИЙ»

УДК 550.831

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ТРАНСФОРМАЦИЙ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ И Я- АППРОКСИМАЦИЙ

© 2011 г. И. Э. Степанова

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 08.02.2010 г.

В работе описаны способы построения линейных трансформаций аномальных физических полей на основе методов Я- и ¿-аппроксимаций исходного элемента поля. Приводятся результаты математического эксперимента, а также результаты аналитического продолжения гравитационного поля по данным детальной гравиразведки в двух регионах России.

ВВЕДЕНИЕ

Построение трансформаций аномалий силы тяжести (нахождение пространственного распределения поля и его производных, разделение полей, осреднение, сглаживание, пересчет их в некоторые другие функции и др.) всегда являлось сложной проблемой при интерпретации гравитационных данных. Как известно, гравитационному потенциалу и его производным присуще так называемое свойство аддитивности.

Наблюдаемые гравитационные аномалии Буге являются суммарными аномалиями, представляющими совокупность аномалий обусловленных структурно-тектоническими особенностями осадочного чехла земной коры, строением кристаллического фундамента, глубинным строением Земли и верхней мантии и другими геологическими факторами.

Любая трансформация гравитационных аномалий выполняется на основе априорных предпосылок (диапазон глубин, в котором заключены источники аномалий, либо минимальные и максимальные значениями градиента поля и др.). При трансформациях полагают, что порядок интенсивности и размеров аномалий силы тяжести соответствуют порядку геологических структур.

При разделении аномалий используют трансформации, основанные: а) на уменьшении амплитуды аномалий части источников (пересчет в верхнее пространство); б) на усилении амплитуды аномалий части источников (аналитическое продолжение в нижнее полупространство и др.); в) на локализации аномалий от отдельных тел (аналитическое продолжение в нижнее полупространство, пересчет в высшие производные потенциала). К числу важнейших трансформаций гравитационных полей и наиболее широко употребляющимся относятся аналитическое продолжение в верхнее и нижнее полупространство, а также вычисление горизонтальных и вертикальных производных.

Еще в 50—60-е годы прошлого века как отечественными, так и западными исследователями были

предложены различные методы вычисления сглаженного поля, пересчета его на высоту, вычисления вертикального градиента и т.д. Одним из направлений в проблеме трансформации, которое активно развивалось отечественными геофизиками, было разделение потенциальных полей. Сначала проблема была решена в теоретическом виде, а затем были получены и практические результаты.

Отметим также, что отличительная особенность направления исследований отечественных геофизиков в области трансформаций состояла в том, что большое значение уделялось проблеме аналитического продолжения потенциальных полей. Сначала изучено было аналитически, а затем реализовано численно продолжение полей в верхнее полупространство (работы Б. А. Андреева, В.Н. Страхова и др.). Были начаты серьезные исследования по проблеме продолжения поля в нижнее полупространство, в сторону возмущающих источников (Б.А. Андреев, ГМ. Воскобойников, А.В. Цирульский, ГА. Трошков, А.А. Грознова и др.). Частным случаем продолжения является проблема приведения измерений потенциальных полей к единому уровню. Самые разные методы и подходы применялись для решения этой непростой задачи (работы М.А. Алек-сидзе, В.И. Аронова, В.Н. Страхова, К.Ф. Тяпкина). Значительное внимание уделялось в разведочной геофизике вычислению производных — высших по отношению к измеряемому элементу поля. Высшие производные необходимо было вычислять для локализации объектов поиска. Высшие производные находятся с погрешностью из-за очевидной некорректности задачи [Тихонов, Арсенин, 1985].

Как известно, большинство процедур трансформаций (аналитическое продолжение в сторону возмущающих масс, пересчет в высшие производные потенциала), обладающих наибольшей разрешающей способностью, являются неустойчивыми.

В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства су-

ществующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике (в них часто не принимается во внимание нерегулярность и разно-высотность гравиметрических сетей; присутствуют также и другие идеализации).

Развиваемый В.Н. Страховым в рамках метода интегральных представлений аппроксимационный подход позволяет принципиально по-новому решать ряд вопросов трансформаций потенциальных полей. В данной статье рассмотрены алгоритмы и компьютерные технологии нахождения линейных трансформаций потенциальных полей (нахождение пространственного распределения поля и его производных, разделение полей) на основе ¿-аппроксимаций [Страхов, 1999; Страхов и др., 1997; Страхов, Степанова, 1999; 2000; 2002; Степанова, 2007; 2008] а также ^-аппроксимаций [Степанова, 2009а; , 20096]. Приводятся также результаты опробования компьютерных программ на модельных и практических геолого-гравиметрических материалах. Подробное описание метода линейных интегральных представлений и, в частности, двух его вариантов: метода /-аппроксимаций (основанного на преобразовании Фурье) и метода ¿-аппроксимаций (основанного на представлении гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев) — приводится в монографии [Страхов и др., 2009].

В данной статье линейные трансформации потенциальных полей строятся как с помощью ¿-аппроксимаций, так и ^-аппроксимаций; метод Л-ап-проксимаций основан на преобразовании Радона, или лучевом преобразовании. Он позволяет лучше учитывать "геометрию" поля. Если мы обрабатываем данные по профилям (например, меридиональной направленности), то лучевое преобразование позволяет лучше, чем другие варианты метода линейных интегральных представлений, выявить структуру аномалий. В данной работе в модельных примерах всюду, кроме модельного примера № 5, предполагается, что плотность источников гравитационного поля постоянна. Однако это предположение не ограничивает общности. Результат построения линейных трансформаций зависит существенным образом от свойств матрицы системы линейных алгебраических уравнений, к которой редуцируется задача интерпретации, если мы применяем метод линейных интегральных представлений. Поскольку представления линейные, то умножение плотности на ненулевой множитель влечет за собой пропорциональные изменения компонентов вектора решения системы. Однако, чтобы не привносить в решение задачи дополнительные ошибки при выполнении расчетов на ЭВМ, рекомендуется учитывать норму правой части СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений). Правая часть такой системы представляет собой измеренные тем или иным способом элементы аномального гравитационного поля — силу тяжести, горизонтальный градиент и т.п. Можно осуществлять вычисления и с нормированной пра-

вой частью. В этом случае полученный вектор решения СЛАУ необходимо умножить затем на норму правой части.

В следующих разделах статьи будут даны основные формулы, с помощью которых можно строить линейные трансформации полей на основе S- и R-аппроксимаций в локальном случае — т.е. когда не нужно учитывать кривизну земной поверхности. В дальнейшем предполагается рассмотреть также региональный и глобальный варианты указанных аппроксимаций. Теоретические основы регионального варианта метода R-аппроксимаций находятся в стадии разработки.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В ЛОКАЛЬНОМ СЛУЧАЕ. S-АППРОКСИМАЦИЯ

Для нахождения производных гравитационного поля в некоторой совокупности точек Mv с координатами x= (ic(v), x3(v)), из внешности СЕ некоторой

области E с RЗв рамках метода линейных интегральных представлений [Страхов, 1999] необходимо действовать следующим образом.

Пусть D — плоскость, описываемая уравнением

x3 = const = H.

По заданным плотностям pi (2,b £,2) £ L2 (D)и р2 (2,!, 2,2) е L (D) простого и двойного слоев мы должны найти совокупность ограниченных линейных функционалов вида

Ps = JPi (%i, %2 )PlW (%i, % 2 )d %d %2 +

+

Jp2 (%i, %2) P>(S) (%i, %2) d%id%2, S = 1, 2,..., S,

(1)

D

где для всех s

II2

|Pi(1 = J(Pi(S)) fe,^)d^id^2 <+®,

M

= J(((S))2fe,^2)d^id^2 <

(2)

Действительно, значения аномалий силы тяжести g (Мх; р) выражаются соотношением (1) при 8 = = V:

Pi(v) ((i, (2, (3 ) = Y

((3 - X3(v))

= Y

((

R3 ((-x(v)) P2(V) ((i, (2, (3) = -Xiv))2 + ((2 - x2v))2 - 2((3 - X3

3V))2)

R5 ((- x(v))

D

D

D

а значения элементов аномального поля и (Му; р) соотношением вида

и (Му; р) = (х; р)\х_хм, (4)

где а = (а,!, а2, а3) — мультииндекс; а = «1 + а2 + а2 + а3 > 1;

Ба =■

л-

д|с

^ Р = (P1, Р2 ),

-*> а <-\ а 2 -л аз '

дх1 дх2 2 д1 ( = ((1, (2, (з), I = ((1, (2),

и соотношением (1) при 8 = V:

(5)

((1, $2, (з ) = У (-1ГАа

Рм ((1, (2, (з ) = Г ИГва *

($1 - |Г + ((2 - |)2 - 2 ((з - Хз)2

(з Хз

3 ((- Х)

1а\ тла

Х

(6)

В соотношении (1) р1 £,2), р2 £,2) находятся по заданным значениям gk,5 аномалий силы тяжести из решения следующей вариационной задачи:

= Ш1П,

Р (7)

я5 ((- х м)

Везде у — гравитационная постоянная

(у = 6.67 х 10-11 Нм2/кг2). Здесь у нас точка Миме-

ет координаты М = (х1, х2, х3). Причем х3 > Н, т.е. мы вычисляем значения производных потенциала выше носителя, которым в нашем случае является плоскость Б.

а (р) = Ц(р2 (|) + р2

—да —да +да +да

g» - Л(Р1 (()#>()+Р2(1)йк>(())) = 0. (8)

—да —да

к = 1,2,..., N. В соответствии с правилами вариационного исчисления [Лаврентьев, Люстерник, 1950], получим, что искомые функции должны иметь вид:

Р1(й) (|) = р 1 (|, X) , Р2(а) (|) = р2 (|, X) ,

Р1 (I, х) = £ хссР (I), Р 2 (I, X) = X хС/ (|). (9) 1=1 1=1 Таким образом, приходим к следующей системе линейных уравнений

АХ = (10)

где

+да +да

а, = Ц(( (|)а(Л () +(1)сс2;) (1))4,

—да —да

1 </< N 1 < , < N, (11)

X = (Д 2,...,Х N ) , g 5 = (ъ g5,2,..., g&,N)T ■

В нашем случае элементы матрицы (11)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»