КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 2, с. 176-184
УДК 521.14
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ НА ОСНОВЕ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ПОТЕНЦИАЛА
ТЯГОТЕНИЯ © 2014 г. М. C. Петровская, А. Н. Вершков
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, г. Санкт-Петербург petrovsk@gao.spb.ru; avershkov@mail.ru Поступила в редакцию 12.03.2012 г.
Полученные ранее авторами выражения для первых и вторых производных от потенциала преобразованы к форме, наиболее удобной для решения обратной задачи — определения стоксовых постоянных по спутниковым измерениям этих производных. Каждый член нового ряда для производной зависит от суммы двух стоксовых постоянных, умноженных на линейные комбинации нескольких сферических функций. Новая форма разложений для производных от потенциала позволяет вычислять стоксовы постоянные путем одновременного использования спутниковых данных либо о всех трех производных первого порядка, либо о всех шести производных второго порядка. Построенные ряды могут быть применены для моделирования гравитационного поля Земли по спутниковым данным, полученным в международных миссиях CHAMP, GRACE и GOCE.
Б01: 10.7868/8002342061402006Х
1. ВВЕДЕНИЕ
В статье [1] и в настоящей работе рассматривается гравитационный потенциал Земли и его производные в прямоугольной геоцентрической системе координат, вращающейся вместе с Землей. Полученные результаты могут быть применены к любой другой планете.
В упомянутой статье построены ряды сферических функций для производных всех порядков от геопотенциала и описан круг задач, в которых эти ряды могут найти применение. В настоящей работе такие ряды для первых и вторых производных преобразованы к форме, удобной для определения стоксовых постоянных на основе спутниковых измерений этих производных.
Набор стоксовых постоянных при фиксированном верхнем пределе N значений п и 0 < т < п определяет модель геопотенциала. Такие модели используются при решении широкого крута научных и практических задач. В частности, они играют основополагающую роль при решении задач спутниковой динамики, наземной и спутниковой геодезии, геодинамики, космической навигации, океанографии, климатологии и геологии.
Традиционные методы определения стоксо-вых постоянных основаны на измерениях силы тяжести на континентальной поверхности Земли, анализе возмущений спутниковых орбит и спутниковых альтиметрических измерениях над океанами. Эти методы практически исчерпали свои возможности в смысле точности и разрешающей
способности моделей геопотенциала. В последние десятилетия интенсивно разрабатывался новый класс программ спутникового моделирования гравитационного поля. Программа CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload), которая начала реализовываться в 2000 г., и программа GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment), стартовавшая в 2002 г., позволяют с высокой точностью определять орбиты спутников с помощью глобальных позиционных измерений. Путем интерполяции положений спутника вдоль орбиты и последующего численного дифференцирования вычисляется вектор ускорения спутника в инерциальной (не вращающейся) геоцентрической системе координат. Из найденного вектора ускорения исключается большое число поправок земного и внеземного происхождения, в частности поправки за прецессию, нутацию, движение полюса, влияние приливов, притяжения Солнца, Луны и больших планет. После перехода от инерциальной к вращающейся геоцентрической системе координат х, y, z по полученным откорректированным данным о векторе ускорения вычисляются величины первых производных от потенциала по х, y, z. Так как математические выражения для этих производных представляют собой линейные функции стоксовых постоянных, то по ним методом наименьших квадратов строятся новые более точные модели гравитационного поля Земли. Основы описанной методики разработаны в [2], [3], [4], [5].
Коэффициенты сферических функций степени n в рядах для первых производных от потенци-
ала в n раз превосходят коэффициенты самого потенциала. В рядах же для вторых производных появляется еще один такой же множитель. Поэтому при использовании спутниковых измерений вторых производных представляется возможность учесть большее число членов рядов и, тем самым, определить большее число стоксовых постоянных.
Миссия GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Ехр1огег) начала реализовывать-ся после запуска спутника в 2009 г. с космодрома "Плесецк". В то время как первые производные от потенциала вычисляются на основе данных о спутниковых орбитах, с помощью спутникового градиентометра впервые измеряются вторые производные от геопотенциала, называемые градиентами силы притяжения. Ожидается, что данные спутниковой градиентометрии позволят повысить на порядок точность и разрешающую способность модели гравитационного поля. В [6] приведены результаты построения такой модели по данным за первые месяцы измерений в миссии GOCE.
В [7] делается следующее заключение: "Основной прогресс в качественном повышении точности и детальности построения планетарных моделей связан с Европейским космическим проектом GOCE, реализующим метод спутниковой градиентометрии. В дальнейшем, при решении проблем координатно-временного и навигационного обеспечения (КВНО) в России вопросам применения методов спутниковой градиентомет-рии должно быть уделено самое серьезное внимание".
Технические и научные аспекты миссии GOCE исследовались многими научными центрами. Наиболее полно теоретические основы спутниковой градиентометрии изложены в [8—11]. В [12] и [13] также рассматривалась проблема моделирования геопотенциала по данным спутниковой градиентометрии. Было построено оптимальное соотношение, связывающее измеренные значения всех шести производных второго порядка от потенциала Земли и стоксовы постоянные. Поскольку в окончательном варианте программы, реализованной в миссии GOCE, измеряются с большой точностью только четыре вторых производных от геопотенциала, то не представляется возможным использовать вышеупомянутое соотношение для построения модели гравитационного поля в рамках программы GOCE.
177
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПРОИЗВОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛА ВТОРОГО ПОРЯДКА В ВИДЕ ФУНКЦИЙ СТОКСОВЫХ ПОСТОЯННЫХ
Возмущающий потенциал тяготения T, рассмотренный в [1], представляет собой полный потенциал V, из которого исключены гармоники нулевой и первой степени.
Усеченный ряд сферических функций для потенциала T имеет вид
,, N П ¡ \n+l
Г = х
a i n\rl (1)
n=2 m=0
х (Cnm cos mk + S„m sin mk).
Здесь ц = GM — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли, a — большая полуось общего земного эллипсоида, r, ф, X — сферические координаты (геоцентрическое расстояние, широта и долгота). Произведения Pnm(sin ф) на cos mX и на sin mX представляют собой сферические функции степени n и порядка m; Pn m(sin ф) — полностью нормированные присоединенные функции Лежандра; Cnm и S — стоксовы постоянные.
Также как в [1], рассматривается прямоугольная геоцентрическая система координат x, y, z, вращающаяся вместе с Землей. В этой системе ось z представляет собой среднюю ось вращения Земли, ось x направлена вдоль линии пересечения Гринвичского меридиана с плоскостью экватора и ось y направлена к востоку.
Введем обозначения: x¡, где x1 = x, x2 = y, x3 = z. Для производных первого и второго порядка от потенциала T будем использовать обозначения: Tx¡, Tx¡xj, где i, j = 1, 2, 3.
Ряды для этих производных от потенциала представлены в [1] в виде
U N+1 n /a\n+1 - -
T, = f2 XX (a) ( cos mk + snm sin mX) x
n=3 m=0
X Pn,m(sin ф), ¡ = 1, 2, 3,
N+2 n n+i
Txxj = 4 XX (a) (( cos mX + snm sin mX) x
a . (3)
n=4 m=0
X Pn,m(sin ф), ¡, j = 1, 2, 3.
Коэффициенты S£m и S*^ полагаются равными нулю при m = 0, поскольку они умножаются на sinmX.
В упомянутой статье в формулах (17)—(19) и (21—(26) приведены выражения для коэффициентов рядов (2) и (3).
В настоящей работе, в результате подстановки выражений (17)—(19) для коэффициентов первых производных из работы [1] в выражения (21)—(26) для вторых производных из этой же статьи, после преобразований, получены следующие формулы для коэффициентов вторых производных от потенциала в виде явных функций стоксовых постоянных:
Cxx - а(1)C л. fPс
Cn,0 — "я,0ся-2,0 + an,0Cn-2,2,
Cxx - с -+- rPc
Cxx - а(1) C + а(2) C C
^я,т u я,т я-2,т-2 + u я,т^я-2,т + и я,т^я-2,т+2>
Sxx - J^S + a(2)S
°я,1 - "я,1 "я-2,1 + "я,1 °я-2,3,
sxx - a1 s + а(2) s ■+■ a(3) s
ая,т — u я,т я-2,т-2 + u я,тая-2,т + " я,т°я-2,т+2,
т — 2,3,...,я, я — 4,5,...,N + 2.
суу = a(i) с _
ся,0 - "я,0ся-2,0 "я,0ся-2,2,
,(2);
Cyy = ^C _ ^C ся,1 - "я,1ся-2,1 "я,1ся-2,3,
(2)
Cyy = _а(1) с + а(2) C
^я.т и я,т^я-2,т-2 + и я,т^я-2,т
_ а(3) C
я,т^я-2,т+2>
syy = а(1) S _ а(2) S
°я,1 - "я,1°я-2,1 ая,1 °я-2,3,
syy =_а(1) S + а(2) S _ а(3) S
^я,т и я,т я-2,т-2 + и я,т^ я-2,т и я,т я-2,т+2,
т - 2,3,...,я, я - 4,5,...,N + 2.
Czz = а(0) C
Szz = а(0) S т = 0,1,..., я - 2,
Cn,rn = Sn,rn = ° т = я — 1 я
я = 4,5,..., N + 2.
Cxy — rps
ся,0 - "я,0°я-2,2,
Cxy — а<4) S + пу2) S Cn1 — "я,1°я-2,1 + "я,1°я-2,3,
(2)
Cxy — -а(1) S + П^' S
^я,т и я,т^я-2,т-2 + и я,т^я-2,т+2
(3)
Sxy — fPC - nwC
Sxy — а(1) C - а(3) C
^я,т u я,ту я-2,т-2 u я,ту я-2,т+2,
т — 2,3,...,я, я — 4,5,...,N + 2.
(2)
Cxz - b(1)C
Cxz = hiX)C + b ья,1 - ^,1^-2,0 + ья,1C я-2,2,
(2)
Cxz = b(1) C + b{¿> C
^ я,т ия,т^ я-2,т-1 + ия,т^ я-2,т+1
(2)
c<xz _ А(2)С
°я,1 - ья,1 °я-2,2,
Sxz = b(1) S
^я,т ия,т^ я-2,т-
т - 2,3,
+ b(2) S
1 + ия,т^ я-2,т+1,
я - 4,5,...,N + 2.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Cyz = b1 S Cyz = b(2)S
Cn,1 — °n,1 °я-2,2,
Cyz — -b(1) S + by2) S
^ я,т u я,т^ я-2,т-1 + ия,т^ я-2,т+1
(2)
Syz — bÍX)C - byL'C
°я,1 — 0п1Уя-2°° °п1 ^я-2,2,
(2)
Syz — b(1) C - C
^я,т ия,т^ я-2,т-1 ия,т^ я-2,т+1,
т — 2,3,я, я — 4,5,...,N + 2.
(2)
Численные константы в (4)—(9) приведены в Приложении.
3. НОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРВЫХ И ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ПОТЕНЦИАЛА
Ряды (2) для первых производных от потенциала преобразованы таким образом, чтобы общий член нового ряда представлял собой линейную комбинацию тольк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.