АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 2, с. 112-121
УДК 521.13
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
© 2013 г. В. В. Чазов
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 24.05.2011 г.
Выполнено разложение обратного расстояния между двумя материальными точками, обращающимися вокруг центрального тела и находящимися на непересекающихся орбитах. Разложение получено с точностью до десятого порядка относительно малых параметров — эксцентриситетов и синусов углов наклонений орбит объектов. Результат стал основой операции осреднения возмущающих функций в системе восьми больших планет Солнечной системы и численного интегрирования осред-ненных уравнений движения. В осредненный гамильтониан включены слагаемые, имеющие период изменения более 200 лет. Численное интегрирование 48 дифференциальных уравнений первого порядка было выполнено с шагом 100 лет на двух интервалах от момента начала нашей эры: 25 млн. лет вперед и 25 млн. лет назад по времени. Для представления результатов вычислений разработан Интернет-ресурс (URL: http://vadimchazov.narod.ru/secequat.htm). На странице в Интернете содержатся исходные тексты вычислительных процедур, выполняемые модули программ, результаты расчетов в графическом виде, текстовые наборы данных с начальными условиями, таблицами разложения обратного расстояния между двумя материальными точками и таблицами разложения осредненной возмущающей функции для 8 больших планет Солнечной системы.
DOI: 10.7868/S0320930X13010015
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Первая модель вековых возмущений планетных орбит была построена Лагранжем, оригинальный подход автора воспроизведен в пятом томе собрания сочинений (Lagrange, 1870). В разложении возмущающей функции задачи присутствует лишь вековая часть, в которой отброшены все слагаемые, пропорциональные эксцентриситетам и углам наклонений небесных тел, возведенным в третью и более высокие степени. Большие полуоси орбит являются постоянными величинами. В середине двадцатого века такой подход был дополнен решением (Brouwer, van Woerkom, 1950), учитывающим соизмеримость средних движений Юпитера и Сатурна. Анолик и др. в работе (1969) применили метод канонических преобразований и существенно улучшили этот результат: эмпирические соотношения были заменены аналитически обоснованными формулами. Выводы, сделанные Лагранжем, получили подтверждение: эксцентриситеты и углы наклонений планетных орбит изменяются периодическим образом и остаются малыми на любых интервалах времени. В статье (Cohen и др., 1973) модель Brouwer и Woerkom была представлена в графическом виде на интервале 10 млн. лет.
В статье (Laskar, 1990) были представлены результаты исследований вековой эволюции орби-
тальных элементов больших планет, исключая Плутон, на больших интервалах времени. В разложении исходной пертурбационной функции были оставлены члены, содержащие эксцентриситеты и синусы половинных углов наклонений до пятой степени включительно. Для получения системы дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию элементов планетных орбит, из возмущающей функции были исключены слагаемые, зависящие от средних аномалий орбит. В результате этой операции большие полуоси планетных орбит получили фиксированные значения. Система осредненных уравнений интегрировалась численным образом на интервалах времени, составляющих несколько миллиардов лет. Особенность метода исследований состояла в выполнении большого числа однотипных расчетов. Очередной вариант отличался от предыдущего малыми случайными поправками в начальные условия — числовые значения элементов планетных орбит. Результаты численных экспериментов вступают в противоречие с выводами классической модели вековых возмущений. На интервалах времени более 5 млн. лет эксцентриситет орбиты Меркурия неустойчив по отношению к начальным данным ^а8каг, 1997). На рубеже 3 миллиардов лет эксцентриситет орбиты Меркурия может стать больше 0.5. Laskar (1994) подчеркивает, что
вероятность развития событий по такому сценарию достаточно велика.
Кузнецов и Холшевников (2004) получили гамильтониан двупланетной задачи с точностью до второго порядка малости относительно малого параметра, отношения массы Юпитера к массе Солнца. Гамильтониан содержит члены, пропорциональные эксцентриситетам и синусам половинных углов наклонений, возведенных в степени, от первой до шестой. Модель была использована для исследования эволюции системы Солнце—Юпитер—Сатурн (Кузнецов, Холшевников, 2006). Было получено численное решение осредненной задачи на промежутке времени, равном десяти миллиардам лет. Основной вывод: в рассматриваемой модели эксцентриситеты и углы наклонений орбит планет сохраняют малые значения и не испытывают резких изменений.
В цитированных работах численным методом исследовалась эволюционная система дифференциальных уравнений. Преимущества такого подхода для решения ряда задач подчеркивает Лидов в обзорном докладе (1978). Правые части осред-ненных уравнений движения не содержат быстрых переменных. Численное интегрирование таких дифференциальных уравнений выполняют с большим шагом, порядка сотен лет. Вашковьяк (2005), Вашковьяк и Тесленко (2008а, 2008б) применили этот метод для исследования эволюции орбит далеких спутников планет.
Модель движения развивалась и в других направлениях: с одной стороны, проводилось численное интегрирование исходных уравнений движения небесных тел в прямоугольных координатах, и, с другой стороны, были построены аналитические теории движения планет.
Современные численные модели движения небесных тел Солнечной системы были представлены в отчете 81апё1зк и др. (1998) и в статье Питьевой (2005). Начальные параметры моделей получены на основе наблюдений. Важнейшим практическим результатом стало создание численных эфемерид в электронном виде. Наборы данных удобны в применении и доступны пользователям Интернета. На интервалах времени от 100 до 6000 лет эти модели являются эталоном для сравнения с результатами других исследований.
Следует отметить статью (Ршпп и др., 1991) и публикацию (Мельников, Смульский, 2004). В этих работах выполнено численное интегрирование уравнений движения планет Солнечной системы на промежутке времени несколько млн. лет. Основное внимание Мельников и Смульский (2004) сосредоточили на анализе эволюции орбитальных элементов Земли, а Ршпп и др. (1991) изучают прецессию оси вращения Земли.
Ипатов (2000) применил специальный сим-плектический интегратор для численного инте-
грирования в прямоугольных координатах уравнений движения больших планет Солнечной системы на интервале 20 млн. лет и представил результаты расчетов в графическом виде.
Подробный обзор как методов построения моделей движения планет Солнечной системы, так и результатов расчетов, дан в статье (Холшевников, Кузнецов, 2007).
В работах (Ьа8каг, 1990) и (Кузнецов, Холшев-ников, 2004) разложение возмущающей функции было выполнено на компьютере с помощью специальных процессоров для перевода математических формул в вычислительный код.
В статье (Герасимов и др., 2000) было найдено другое решение вычислительных проблем. В качестве основы представления возмущающей функции предложено использовать элементарное слагаемое, для которого определены алгоритмы сложения, умножения, интегрирования и дифференцирования. Показано, что в результате применения этих операций внешний вид элементарного слагаемого не меняется. Показано также, что для каждой планеты возмущающая функция, обусловленная действием остальных планет, функция преобразования для вычисления корот-копериодических неравенств и осредненный гамильтониан являются суммой элементарных слагаемых. В предлагаемом исследовании на основе подхода, предложенного в работе (Герасимов и др., 2000), решены следующие задачи:
1. Получено разложение обратного расстояния между планетами в буквенном виде как функция кеплеровских элементов орбит.
2. Для каждой планеты получены осреднен-ный гамильтониан и функция преобразования для определения короткопериодических неравенств.
3. Выполнено численное интегрирование системы 48 осредненных дифференциальных уравнений первого порядка на большом интервале времени.
4. Исходные тексты вычислительных процедур, выполняемые модули программ, текстовые наборы данных и результаты вычислений в графическом виде представлены на Интернет-ресурсе.
Таблица 1 содержит сведения о величине шага численного интегрирования, использованного в цитированных исследованиях и в данной работе.
ОБРАТНОЕ РАССТОЯНИЕ
Одно из отличий метода построения модели движения планет Солнечной системы, предложенного в работе (Герасимов и др., 2000), заключается в способе представления обратного расстояния между планетами. Последовательность математических операций, необходимых для со-
Таблица 1. Величина шага численного интегрирования
Автор Тип уравнений Интервал Шаг
Berger, 1977 осредненные 106лет 1000 лет
Laskar, 1994 осредненные 1011 лет 250 лет
Standish и др., 1998 исходные 6000 лет 0.08 суток
Quinn и др., 1991 исходные 3 х 106 лет 0.75 суток
Мельников и др., 2004 исходные 3 х 106 лет 0.75 суток
Кузнецов и др., 2004 осредненные 1010 лет 1000 лет
Данная статья осредненные 50х106лет 100 лет
ставления вычислительных процедур, дана в этом разделе.
Пусть х, у, z и х', у', £ — гелиоцентрические эклиптические положения двух планет, г =
I 2 , 2 I ,2 ^ л
= Vх + ^ + г и г = Vх+ г — гелиоцен-
® п
A=1+1-) p
A r r \r/
X* + ZL + ZZ
r r
r r
r r
(1)
где Рп(х) — полином Лежандра порядка п. Верхний предел суммы, равный бесконечности, следует заменить конечным числом /. Способ выбора / обоснован в статье (Герасимов и др., 2000). С большим запасом по точности можно положить / = 27.
Условие г < Г является обязательным для разложения обратного расстояния. В случае Г < г в формуле (1) надо поменять местами величины со штрихом и величины без штриха.
Кеплеровские элементы орбиты: большая полуось а, эксцентриситет е, угол наклонения /, средняя аномалия I — относятся к первой планете, штрих отличает аналогичные параметры для втор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.