КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 6, с. 489-499
УДК 521.1,629
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ И ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА, СНАБЖЕННОГО СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ И ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОНОВ И ПЕРЕМЕННЫХ
КУСТААНХЕЙМО-ШТИФЕЛЯ © 2014 г. Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Институт проблем точной механики и управления РАН ChelnokovYuN@gmail.com Поступила в редакцию 24.05.2012 г.
Рассматривается задача об оптимальной встрече управляемого космического аппарата (КА) с неуправляемым аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите в поле тяготения Солнца. Управление КА осуществляется с помощью солнечного паруса и двигателя малой тяги. Для решения задачи используются регулярные кватернионные уравнения задачи двух тел в переменных Кустаанхеймо—Штифеля и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала используется комбинированный интегральный функционал качества, характеризующий расход энергии на перевод управляемого КА из начального в конечное состояние и время, затраченное на этот перевод. Сформулированы дифференциальные краевые задачи оптимизации, найдены их первые интегралы. Статья развивает работы [1—6] по применению кватернионных регулярных уравнений в переменных Кустаанхеймо—Штифеля в механике космического полета.
Б01: 10.7868/80023420614060053
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Космический аппарат (КА) рассматриваем как материальную точку В переменной массы т = т((). Движение КА рассматриваем в системе координат ОХ1Х2Х3 (X) с началом в центре О притяжения (в центре масс Солнца) и с координатными осями, параллельными осям инерциальной системы координат. Управляемое движение КА в ньютоновском центральном поле сил тяготения описывается векторным уравнением [7, 8]
—3 I |
г + /Иг г = р + р^„ г = |г|. (1.1)
Здесь г — радиус-вектор КА, проводимый из центра притяжения, / — гравитационная постоянная, М — масса притягивающего тела, р — вектор ускорения КА, создаваемый двигателем малой тяги (вектор тяги этого двигателя, отнесенный к единице массы КА), р0 — вектор тяги солнечного паруса, отнесенный к единице массы КА, определяемый соотношениями [9]
р5о1 = йг~2соъ20и = йг-(г ■ п)2п, где п — единичный вектор нормали к плоскости паруса, обращенной от Солнца, 0 — угол между векторами г и п, d — коэффициент, характеризующий площадь паруса.
Введем в рассмотрение систему координат П1П2Пз (п) с началом в точке В. Ось п1 этой системы координат направим вдоль радиуса-вектора г. Угловое положение системы координат п в системе отсчета X будем задавать нормированным кватернионом [10, 11]
Х = ^0 + М1 + ^2 ¡2 + ^3 iз,
цхц2 = + + + + = 1,
где 12, 13 — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона); X/ (/ = 0.3 ) — компоненты кватерниона ориентации X (параметры Родрига—Гамильтона (Эйлера)), одинаковые в базисах X и п. Полагаем, что на движение трехгранника п наложена неголономная связь
ю1 = 2(—+ + Х3Х2 - Х2Х3) = 0, (1.2)
где ю1 — проекция вектора абсолютной угловой скорости ю трехгранника п на направление радиуса-вектора г (ось п1), верхняя точка означает производную по времени I. Запишем уравнения движения КА во вращающейся системе координат п, используя переменные Кустаанхеймо—
Штифеля и, [12], связанные с параметрами Х, соотношениями [6, 13]
1/2» 1 /2» "0 = Г Хо, Ык = - Г Хк,
к = 1, 2, 3.
(1.3)
Уравнения аналогичны регулярным уравнениям Кустаанхеймо-Штифеля задачи двух тел [12] и имеют в скалярной записи вид
й и, к й т
йк йио
- 2 и = 2, , = 0'1'2'3,
й т йг
= 2 ( до
йи. йи2 йи3
— + д1—1 + д2—2 + д3—3 йт йт й т йт
(1.4)
2222 = г ; г = |г| = и0 + и1 + и2 + и3,
йт
до = и0(Р1 + Ро11) - "302 + Р*о12) + и203 + Р*о13) ,
д1 = "1 (Р1 + Ро11) + и2(Р2 + Р&о!2) + и3(Р3 + Р*о13 )(1 5)
д2 = - "2(Р1 + Р,о11) + и1 (Р2 + Рsol2) + и0Р + Р„13) ,
д3 = -"3(Р1 + Р5о11) - Щ(Р2 + Ро12) + "1(Р3 + Ро13).
В этих уравнениях т — новая независимая переменная, рк и ро1к — проекции векторов р и р0 на ось Хк, к — полная механическая энергия единицы массы КА, определяемая уравнениями
1 1 2 Л || |.|
к = - V - /М-, V = IV = |г|, 2 г
к = (Р + Рsol) • V.
(1.6)
вид
= 2 £ и; - /М1 = 1 (2 £ (й-
, = 0
3 'йи-]2 -/М Г( йт] ]
, = 0 у
(1.7)
v3 = х3 = 2( и3и1 + и1и3 + и2 и0 + и0и2). (1.9)
Отметим, что фигурирующие в (1.5) проекции роа1к ускорения от тяги солнечного паруса определяются соотношениями
Р5о1к = йг- (х1п1 + Х2 п2 + х3п3 )2 пк =
= йг~4[(и0 + и1 - и2 - и2)п1 + 2(и1 и2 - и0и3)п2 + + 2(и1 и3 + и0и2)п3 ] пк,
где пк — проекция единичного вектора нормали п на ось ОХк инерциальной системы координат.
Уравнения (1.4), (1.5) обладают известными достоинствами регулярных уравнений Кустаан-хеймо—Штифеля [12, 6]: они регулярны для движений КА в ньютоновом гравитационном поле (не вырождаются при г = 0), что имеет важное значение при изучении движения КА по вытянутым орбитам; принимают вид линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для невозмущенных кеплеровых движений КА, близки к линейному виду для малых рк
и Р801к.
В кватернионной записи уравнения и соотношения (1.3)—(1.5), (1.8), (1.9) принимают вид [14, 15, 6]
I
йт
йи к г ---и = - а,
2 2 2
В переменных и, выражение (1.6) принимает
— = 2зсаЖ — ° а), йг/йт = г; йт (йт ]
а = —11 ° и ° (Рх + р^ы), Ро1х = йг~\гх • Пх)2Пх = йг-(эса1(гх ° пх))X;
Г = Ни = и ° и = и ° и, гх = и
Уравнения движения КА (1.4), (1.5) образуют систему дифференциальных уравнений десятого порядка относительно переменных и, йи/йт ( =
= 0! ), к и г.
Переменные и, и их производные и, связаны с декартовыми координатами КА хк и их производными хк нелинейными соотношениями
у-л 2 л 2 л 2 л 2\ 2 2 2 2
х1 = г(Х0 + Х1 - Х2 - Х3) = и0 + и1 - и2 - и3, х2 = 2г(Х1 Х2 + Х0Х3) = 2(и1 и2 - и0и3), х3 = 2 г (Х1Х3 - Х0 Х2) = 2( и1 и3 + и0и2); (1.8) v1 = хх1 = 2(и0и0 + и1и1 - и2и2 - и3и3), v2 = х2 = 2(и2и1 + и1и2 - и3и0 - и0и3),
й гх .
\х = — = 2 и ° 1] °
х йг 1
л -1/2-
x = г и,
1 ° и,
йи
йи т -1- • — = 2 г и ° 11 ° — йг йт
1 /2л
и = г X.
(1.10) (1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Здесь и = и0 + и111 + и212 + и313 — кватернионная переменная, связанная с радиусом-вектором г и кватернионом X соотношениями (1.13), (1.14); рх, Р¡оы, гх, Ух — отображения векторов р, рда?, г, V на базис X, определяемые как кватернионы
Рх = Р111 + Р212 + Р313 ,
рзо1х = Рэо1111 + Р*о1212 + Ло1313 ,
Ух = О111 + и, 1, + и313 = х11! + х, 1, + х
22
33
11
22
33
символ ° означает кватернионное умножение, верхняя черта — сопряженный кватернион, так
к
гх = х111 + х212 + х313
и = Ы0 — ы1\1 — ы212 — м313, 8са1(-) — скалярная часть кватерниона (•).
Уравнения движения КА (1.10)—(1.11) — замкнутая система дифференциальных уравнений относительно переменных и, йи/йт, к, содержащая осцилляторное кватернионное уравнение (1.10). Запишем уравнения движения КА в нормальной форме Коши. Обозначая
8 = йи/йт =
= йи0/йт + 1! йи1 / й т + 12йи2/й т + 13 йи3/йт,
получим
й и/й т = 8, й 8/й т = (к / 2) и + ( г/2) q,
йк/й т = 2^са/( 8 ° q), СИ/ й т = г.
(1.15)
л -1/2-
X = г и,
1/2Г
и = Г X,
где и, 8, q, X — четырехмерные векторы-столбцы с
компонентами и, , X, (/ = 0.3 ) соответственно
(так, и = (ыо, Ы1, Ы2, из)); гх = (0, хь Х2, Х3), \х = (0, х,
XX2, Хз ), Рх = (0, Р1, р2, Рз); и = (Ы0, -Ы1, -Ы2, -Ыз),
X = (Х0, —Хь —Х2, — Х3); Ди), ^(11) — кватернион-ные матрицы, сопоставляемые кватернионам и и \1, имеющие вид [11]:
К( и) =
и0 -и1 -и2 -и 3
и1 и0 -и3 и2
и2 и3 и0 -и 1
1 из -и2 и1 и0 У
г \
0 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 -1
V 0 0 1 0 V
К(11) =
Уравнения движения КА в переменных ы, (1.15) имеют первые интегралы:
||и2 - 212 = = сош1,
и = и ° и = ип + и + и + и,
К = 8 ° 8 = 5П + 5, + ^ +
8еа1(и ° 11 ° 8) = и150 - и^^^ + и332 - и^3 = = = еош!
(1.16)
(1.17)
Для отображения вектора скорости на базис X имеем: Ух = 2 г"1 и ° 11 ° 8. В векторно-матричной записи уравнения движения КА имеют вид:
й и/йт = 8, й8/йт = (к/2) и + (г/2) q, йИ/й т = 2 8^, й<;/йт = иги, q = — К( 11) К( и)(Рх + РоХ), Гх = К(и) К(11) и, Ух = 2г_1К( и )К( 11) 8,
Для того, чтобы интегралы (1.16) и (1.17) отвечали задаче о движении КА необходимо, чтобы постоянные и ¥2 имели строго определенные значения. В соответствии с выражением (1.7) для энергии движения постоянная = —М, а в соответствии с уравнением неголономной связи (1.2) постоянная = 0 (соотношение (1.17) при = 0 совпадает с билинейным соотношением, введенным в [12] при построении регулярных уравнений задачи двух тел; это билинейное соотношение эквивалентно [13, 6] условию (1.2)).
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Поставим следующую задачу: построить управления п и р с учетом ограничений
|П| = 1, Р < рп
(2.1)
переводящее КА, движение которого описывается уравнениями (1.10)—(1.13) или (1.15), (1.12):
йи/йт = 8, й8/й т = (к/2) и + (г/2) q, йк/й т = 28са1( 8 ° q);
(2.2)
и соотношениями (1.12), (1.13) из начального состояния
т = 0, и = и (0) = и0, 8 = 8 (0) = 80, к = к (0) = к0, удовлетво ряющего соотношениям и (0) ° 11 ° и( 0) = Гх (0), 21 и ( 0 )||-2 и ( 0) ° 11 ° 8 ( 0) = Ух( 0), в конечное состояние
т = т*, и = и (т*), 8 = 8 (т*), к = к (т*) = к *,
удовлетворяющее соотношениям
и(т*) ° 11 ° и(т*) = и*(т*) ° 11 ° и*(т*), и (т*) ° 11 ° 8(т*) = и* (т*) ° 11 ° 8 * (т*), т* = т * (т*),
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
и минимизирующее функционал качества
J = |(а! + а^2 (t)) dt =
(2.7)
= J| |u (x)|| 2(a: + ap (t)) dx,
0
al5 a2 - const > 0.
Конечные значения tk и xk переменных t и x заранее не заданы и подлежат нахождению. Переменные u*, s* удовлетворяют дифференциальным уравнениям
du*/dT* = s*, ds*/dx* = (h*/2)u*, h* = const;
dt/d t * = r* = ||u*
u* ° u *
(2.8)
(2.9)
21 u*(0)||-2u*(0) ° ij ° s*(0) = v*(0) = (dr*/dt)
t = 0 >
где г*(0), v*(0) — заданные начальные значения радиуса-вектора и вектора скорости неуправляемого КА или программного движения КА. В уравнениях (2.8) к* — известная постоянная кеплеров-ская энергия неуправляемого КА, определяемая соотношением
(2.12)
и описывают движение фазовой точки (и*, 8*), с которой д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.