ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 2, с. 95-107
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПОСТРОЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПО ДАННЫМ ОБ ИНВЕСТИЦИЯХ*
© 2012 г. В.К. Горбунов, А.Г. Львов
(Ульяновск)
Предлагается метод построения "капитальных" производственных функций, один из факторов которых - стоимость используемых (эффективных) фондов, формируемая по информации об инвестициях в основные и/или оборотные фонды на промежутке наблюдения исследуемого объекта. При этом также оцениваются: эффективные фонды, режимы амортизации фондов и освоения инвестиций.
Ключевые слова: капитальные и инвестиционные производственные функции, эффективные фонды, амортизация, лаг инвестиций, оценка параметров, продолжение по параметру.
ВВЕДЕНИЕ
Производственные функции (ПФ) являются математическими моделями крупных производственных объектов - предприятий (фирм), отраслей, региональных и национальных экономик. Эти модели типа "черного ящика" представляют валовой выпуск производства как функцию объемов затрат наиболее существенных (для конкретного исследования) факторов. Метод производственных функций можно отнести к "высоким технологиям" количественного экономического анализа (Клейнер, 1986; Насктап, 2008). Он применялся в СССР в исследовательских работах и планировании на союзном, региональном и отраслевом уровнях (Терехов, 1974; Плакунов, Раяцкас, 1984; Клейнер, 1986). В последнее десятилетие появились работы, в которых метод ПФ применяется для анализа новой российской экономики, формирующейся на основе реставрации частной собственности и рыночных отношений (Бессонов, 2002; Воскобойников, 2004; Сюань, 2007). Однако здесь проявилась проблема информационного обеспечения построения ПФ, характерная для специфических российских условий.
Наиболее важным фактором, учитываемым в испытанных десятилетиями типах ПФ, является стоимость основных и оборотных фондов (рассматриваемых в совокупности или раздельно), которую обычно кратко называют "капиталом". В качестве второго фактора традиционно рассматривается труд. Также возможно привлечение других факторов (энергия, сырьевые ресурсы и т.д.). Соответственно эконометрическая задача построения ПФ, зависящей от количества используемого капитала и адекватной экономическому объекту, может решаться на основе известной динамики капитальных затрат (наряду с другими факторами и выпуском) в наблюдаемый период. Однако для российской экономики, с 1992 г. ставшей сырьевым придатком лидеров мирового рынка, характерна низкая загруженность основных фондов в большинстве несырьевых отраслей промышленности и сельского хозяйства1. Высокие темпы инфляции 1990-х годов ввиду несовершенства методов построения экономических индексов делают проблему сопоставления цен и количеств производства в тот период малосодержательной (Зоркальцев, 1996; Бессонов
* Исследование выполнено при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программой Минобразования РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.), проект 2.1.3/6763 "Развитие математических моделей и анализ рыночного спроса и производства".
1 Например, крупнейшее авиастроительное предприятие России "Авиастар-СП" (г. Ульяновск) имеет мощности для годового выпуска 50 самолетов Ан-124 ("Руслан") и Ту-204, но максимальный годовой выпуск за последние 18 лет составил всего шесть самолетов Ту-204. См. http://www.aviastar-sp.ru/aviastar_ru/index.htm.
1998; Айзенберг, Солонина, 2007). В этих условиях испытанные методы построения ПФ не могут обеспечить хорошую адекватность математического моделирования экономики.
Более доступной характеристикой, связанной с капиталом и определяющей его динамику, являются инвестиции в основной и/или оборотный капитал. Инвестиции представляют собой, как правило, реально используемую в производстве часть капитала, а их динамика соответствует рыночной конъюнктуре. Однако данных об инвестициях недостаточно для измерения эффективного, т.е. реально используемого в производстве, капитала, так как освоение некоторых инвестиций (закупка оборудования, новое строительство и т.п.) требует значительного времени, а сформированный в прошлом капитал подвержен износу. Инвестиции представляют собой величину типа "поток", а капитал - "запасы". При отсутствии инвестиций производство может некоторое время функционировать за счет накопленного капитала. Несмотря на эти очевидные различия, современные исследователи, использующие метод производственных функций, строят (Бессонов, 2002; Сюань, 2007) или используют в теоретических работах (Лукашин, Рахлина, 2004; Демченко, 2006) так называемые "инвестиционные" ПФ, отличающиеся от традиционных "капитальных" простой заменой фактора "капитал" на текущие инвестиции. От таких моделей производства трудно ожидать высокого качества.
Мы предлагаем развитие метода наименьших квадратов (МНК) для построения капитальных ПФ из некоторого параметрического класса по данным об инвестициях, затратах других учитываемых факторов и выпуске. Одновременно оценивается величина начального значения капитала, средний уровень амортизации и скорость освоения инвестиций в период наблюдения. Это достигается с помощью уравнений динамики производственных фондов с учетом их амортизации и лага (задержки освоения) инвестиций. При этом на периоде наблюдения реконструируется динамика не формально существующих (балансовых) фондов, а их эффективно используемой части. Оценка эффективных фондов представляет собой специальную проблему, изучаемую рядом авторов (Воскобойников, 2004; Бессонов, Воскобойников, 2006; Ханин, Фомин, 2007).
Добавление к оцениваемым параметрам ПФ начального капитала, коэффициента амортизации капитала и параметра лага, определяющего задержку освоения инвестиций, делает задачу оценивания существенно нелинейной и плохо обусловленной даже в простейшем классе функций Кобба-Дугласа. Алгоритмические осложнения определяются объективной сложностью рассматриваемой проблемы. Её решение требует совершенствования методов минимизации функции невязки регрессионных уравнений.
В разд. 1 статьи излагается стандартный параметрический метод построения ПФ и обсуждается проблема сравнения качества различных параметрических классов. В разд. 2 ставится задача построения капитальных ПФ по информации об инвестициях на периоде наблюдения исследуемого объекта. В разд. 3 для решения этой задачи разработан специальный вариант метода продолжения по параметру, известного для решения нелинейных уравнений (Ортега, Рейнболдт, 1975). В разд. 4 представлены результаты построения инвестиционной и капитальной ПФ по двум тестам и реальным статистическим данным российской экономики.
1. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
Ограничимся проблемой построения наиболее распространенных двухфакторных ПФ вида
Y = F(K, Ь), (1)
где Y - стоимость валового выпуска исследуемого производственного объекта, определяемая факторами: К - стоимость производственных фондов (капитал), Ь - затраты труда. Функция F в соответствии с экономическим смыслом должна быть положительной (при положительных аргументах), непрерывной, возрастающей и квазивогнутой (Клейнер, 1986). Возможны дополнительные условия вогнутости и положительной однородности.
Функция Г будет строиться в некотором параметрическом классе, поэтому список ее аргументов удобно расширить, включив вектор параметров м> = (^1, ..., wm):
У = Г(К, Ь; w). (2)
Записи (1) и (2) эквивалентны и выбираются в зависимости от контекста. На параметры накладываются условия, обеспечивающие требуемые аналитические свойства искомой функции. Эти условия определяют допустимое множество параметров V.
Стандартная задача построения ПФ (2) решается на основе наблюдения значений выпуска и производственных факторов
[УР К, ь- t = 1, ..., Т}. (3)
Требуется так подобрать класс функций и конкретные параметры w, чтобы значения (Уt, Kt, Ь) удовлетворяли равенствам (2) наилучшим образом относительно выбранного критерия качества. Вследствие идеализации моделирования и погрешностей измерений равенства (2) на данных (3) в совокупности, как правило, не могут быть удовлетворены. Наиболее распространенный способ "хорошего" удовлетворения этих равенств - метод наименьших квадратов (МНК), предложенный Гауссом и Лежандром для обработки астрономических измерений. Для рассматриваемой нелинейной в общем случае проблемы МНК заключается в нахождении параметров W из условия минимизации суммы квадратов невязок уравнений (2) на данных (3) на допустимом множестве V:
{(w) = /[у, - Г(К, Ь; w)]2 " тт. (4)
Вопрос качества решения задачи построения ПФ по статистическим данным ставится и решается в рамках регрессионного анализа (Айвазян и др., 1985; Бард, 1979; Демиденко, 1989; Мхитарян и др., 2006). При этом данные (3) принято связывать регрессионной системой уравнений
У = Г(К, Ь; w) + е„ t = 1, ..., Т, (5)
где et - случайные величины, представляющие погрешности измерений данных и ошибки моделирования. Задача определения параметров w из символических условий (5) называется задачей оценивания параметров w. Эта задача должна быть конструктивно доопределена. Метод (4) -основной способ такого доопределения.
Качество ПФ, построенной в данном классе (2), определяется остаткамирегрессии (5):
Т, = У\ - Г(К, Ь; W), t =1,..., Т, (6)
которые можно понимать как реализации случайных величин е, соответствующие полученной оценке параметров W. Набор остатков (6) является псевдослучайной последовательностью. Для этих остатков определены основные характеристики случайных величин: среднее, дисперсия, моменты высоких степеней, показатель автокорреляции остатков. Но теперь это не теоретические, а выборочные характеристики, вычисляемые по известным формулам без использования функций распределения случайных величин е. Качество оценивания параметров ПФ определяется степенью совпадения теоретических характеристик случайных величин е^. и соответствующих выборочных характеристик остатков т.
Достаточно полный статистический анализ точности полученного уравнения связи (5) возможен лишь в рамках схемы, постулирующей, что класс Г(К, Ь; w)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.