Цена IS Переплет 1 р:
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2005г., том 17, номер 1, стр. 10-18
ПОСТРОЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОГО ГРАФА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ БИФУРКАЦИЙ
© Ю.В. Трощиев ' :
МГУ им. М.В. Ломоносова, ф-т ВМиК. E-mail: yuvt@cs.msu.su.
В работе сообщается алгоритм построения подграфа бифуркационного графа для систем уравнений с симметрией. Доказывается, что полученный подграф содержит по одному и только одному представителю из каждого класса эквивалентности полных бифуркационных маршрутов. Строится алгоритм, который более эффективно удаляет сопряженные структуры.
A REDUCED GRAPH ALGORITHM ТО INVESTIGATE BIFURCATIONS
Yu.V. Troshchiev
Lomonosov Moscow State University
An algorithm of construction of some subgraph of bifurcation graph for symmetrical systems of equations is reported in the paper. It is proved also that the subgraph contains one and only one representative from every equivalence class of complete bifurcation routes. One more algorithm is developed which is more effectively deletes conjugate structures.
Введение
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащую параметр:
dx/dt = ¥(x,a),
F: R" х R —> R", xeR", eeR.
(1)
Здесь R - множество действительных чисел, а Я", соответственно, - действительное и-мерное пространство. Одной из задач исследования таких систем является построение зависимости х(а), неявно задаваемой системой уравнений
Р(х>я)=0, (2)
т.е. построение зависимости стационарных решений системы (1) от параметра а. Устойчивость решений в данной работе не рассматривается. Зависимость х(а) может быть неоднозначной: одному значению параметра может соответствовать несколько решений. Характерным для таких систем уравнений является наличие точек бифуркации, в которых число решений может меняться. Будем считать, что при малых возмущениях отображения Р его бифуркационные свойства сохраняются [1,2]. Для математических моделей это практически всегда выполнено, вследствие устойчивости реальных объектов относительно малых возмущений.
Одним из инструментов для построения зависимости х(а) является продолжение по параметру. Этот метод позволяет перемещаться по кривой {(х,а): Р(х,а)=0}, определяемой уравнением (2) в (л+1)-мерном пространстве. Результатом работы метода является последовательность точек, описывающая искомую кривую с достаточной степенью подробности. Из-за необходимости проведения большого количества вычислений реализовывать метод продолжения по параметру практически всегда необходимо на ЭВМ (см., например, [3]).
Наличие симметрии в исходной системе вносит дополнительные трудности, связанные с появлением на искомой кривой нового вида точек бифуркации - точек разрушения симметрии
Постро
[1,2]. Е
общем
быть м
лезную
бражен
7]. Вер
F, опр(
рассма
[8], но
графа.
умены)
Свойс
относи
где 0(>
Если п подгру
Такие 1 иначе группа тор-гр;
номер 1, стр.10-18
Построение редуцированного графа для исследования бифуркаций
11
s.msu.su.
(фуркационного графа для систем уравнений содержит по одному и только одному пред-; бифуркационных маршрутов. Строится алые структуры.
ITE BIFURCATIONS
ion graph for symmetrical systems of equations contains one and only one representative from ie more algorithm is developed which is more
зльных уравнений, содержащую пара-
aeR.
(1)
етственно, - действительное «-мерное гем является построение зависимости
■• • (2) емы (1) от параметра а. Устойчивость ь х(а) может быть неоднозначной: од-ько решений. Характерным для таких з которых число решений может ме-)ажения F его бифуркационные свой-трактически всегда выполнено, вслед-IX возмущений.
ти \(а) является продолжение по па-{(х,а): F(x,a)=0}, определяемой урав-юты метода является последователь-S степенью подробности. Из-за необ-еализовывать метод продолжения по пример, [3]).
олнительные трудности, связанные с эдии - точек разрушения симметрии
[1,2]. В окрестности этих точек необходимо найти все ветви кривой. Решение такой задачи в общем случае затруднительно из-за того, что ядро линеаризованного оператора Рх(х,а) может быть многомерным. Однако в случае структурно устойчивых точек разрушения симметрии полезную конструктивную информацию дает предварительный групповой анализ симметрии отображения Р. Результатом такого анализа может, например, являться бифуркационный граф [4-7]. Вершинами бифуркационного графа являются подгруппы группы симметрии отображения Р, определяющие симметрию решений, а ребрами - структурно устойчивые ветвления. Ниже рассматривается вопрос построения редуцированного бифуркационного графа, упомянутый в [8], но оставшийся без достаточного внимания. В [9] приведен алгоритм построения такого графа. В данной работе этот алгоритм рассмотрен более подробно и улучшен с точки зрения уменьшения числа присутствующих в графе сопряженных вершин и ветвлений.
Свойства симметрии уравнений
Изложим необходимые сведения о симметричных отображениях. Пусть Г эквивариантно относительно группы
С = {веО(пхп):Ух,а ¥(вх,а) = в¥(х,а)}, (3)
где О(пхп) - группа ортогональных матриц. Группа симметрии решения х определяется как
G(x) = {GeG:Gx = x}.
(4)
Если подгруппа Сев может быть представлена в виде (4) для некоторого вектора х, то такая подгруппа называется допустимой. Допустимость зависит от действия группы в в И". Если х - решение, то, в силу (3), (7х - тоже решение для любой ОеС. Причем
G(Gx) = GG(x)G4.
(5)
Такие решения называются сопряженными. Если С(Сх)=С(х), то решения сильно сопряженные, иначе - слабо сопряженные. Группы в(х) и С(Сх) называются в этом случае сопряженными группами. Число сильно сопряженных решений равно числу классов смежности Д'С(х) в фактор-группе 1Ус(С(х))/С(х), где 1Чс(С(х)) - нормализатор группы С(х) в в:
Nc(G(x)) = {N eG : М^х)/*/"1 =G(x)}.
(6)
Общее число сопряженных решений есть произведение числа сильно сопряженных решений и числа классов смежности С1Чс(С(х)), Се С. Для построения всех сопряженных групп необходимо выбрать элементы Ср определяющие эти классы смежности, и применить к группе С(х) преобразование подобия.
Все решения, сопряженные с данным, могут быть построены последовательным умножением на (см. (6)) и С]\ Решения, соответствующие одному и тому же значению У, являются сильно сопряженными.
Конструктивное использование симметрии
Для структурно устойчивых С[->С2 бифуркаций разрушения симметрии сНп^кег^^п пЩС2))=1 (принцип минимального разрушения симметрии), где К(С2)={хеК": \/ОеС2 Ох=х} - инвариантное пространство относительно действия С2. Принцип минимального разрушения симметрии гарантирует, что после редукции задачи в структурно устойчивой точке С,->С2-ветвления на К(С2):
F(x) = 0, х е R(G2)
Цена 18 ^уб. Пв"0
возможна редукция Ляпунова-Шмидта к одномерной задаче.
Если СсТ(лхл), где Т(лхл) - группа матриц перестановок (т.е. матриц с одним и только одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце, причем этот элемент равен 1), весь необходимый групповой анализ может быть проведен на языке структур [7,8]. Структуры - это специальные целочисленные векторы, описывающие допустимые пространства отображения Р.
Структурой называется целочисленный вектор
8 = (51,...,5л),
обладающий свойствами
1 < 5, < 1, у = => 5. = у
для У/ = 1 ,п.
(8)
(9)
Равным компонентам структуры соответствуют равные компоненты вектора х. Структура в называется допустимой, если пространство векторов {х5}, имеющих структуру в, инвариантно относительно отображения Д). Между допустимыми подгруппами и допустимыми структурами может быть установлено взаимнооднозначное соответствие.
С помощью понятия модуля структуры
(10)
на множестве структур может быть введено упорядочивание, причем допустимые подпространства могут быть вложенными только в том случае, если определяющие их структуры находятся в соответствующем отношении порядка:
ЩС(х))сЩС(у))
I |<|
(И)
где в, и - структуры, соответствующие векторам х и у.
Таким образом, перебор и исследование допустимых подгрупп можно заменить перебором и исследованием допустимых структур.
Бифуркационный граф
Информацию о структурно устойчивых ветвлениях удобно представлять в виде графа. Пусть число допустимых подгрупп в группе симметрии в равно т.
Определение!. Бифуркационным графом будем называть совокупность трех множеств: (М,В,С), удовлетворяющую следующим свойствам. М - множество натуральных чисел от единицы до т (в, - соответствующие этим числам допустимые подгруппы, ¡' = 1 ,т\ нумерация может быть произвольной). В - множество всех упорядоченных пар из множества М (/,/), (или (¡¿)р) с символьными индексами, таких что С,—>С7 - структурно устойчивые ветвления (индекс I и р для транскритических ветвлений и квадратичных вилок соответственно). С - множество всех упорядоченных пар из множества М (¡,/)0 с индексами-элементами групп-пы, таких что в,, GJ - сопряженные подгруппы (индекс в удовлетворяет условию С,=СС, (71).
Определение2. Маршрутом в бифуркационном графе будем называть последовательность натуральных чисел (11,12,...,4), такую, что (1/,1,+])еВ для V/ = 1Д -1. Заметим, что символьные индексы в множестве В однозначно определяются парой чисел I и}, поэтому их можно не указывать.
ОпределениеЗ. Элементарным преобразованием маршрута (11,12,.. .,!*) назовем па-
Ю.В. Трощиев
Построение редуцированного графа для исследования бифуркаций
13
аче.
:тановок (т.е. матриц с одним и только >м столбце, причем этот элемент равен ¡еден на языке структур [7,8]. Структу-ающие допустимые пространства ото-
(8)
(9)
юмпоненты вектора х. Структура « на-1мек>щих структуру 8, инвариантно от-руппами и допустимыми структурами не.
дг (Ю)
ше, причем допустимые подпростран-пределяющие их структуры находятся
(П)
ах подгрупп можно заменить перебо-
; удобно представлять в виде графа, эавно т.
будем называть совокупность трех пвам. М - множество натуральных чам допустимые подгруппы, / = 1, т ; а упорядоченных пар из множества ->С - структурно устойчивые вет-дратичных вилок соответственно). ¡¿)а с индексами-элементами групп-довлетворяет условию Су=(7С, О"1), и графе будем называть поспедова-)еВ для V/ =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.