ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 539.4:678.067:624.078.2
© 2013 г. Малахов А.В., Полилов А.Н.
ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ВОЛОКОН, ОГИБАЮЩИХ ОТВЕРСТИЕ, И ИХ СРАВНЕНИЕ СО СТРУКТУРОЙ ДРЕВЕСИНЫ В ЗОНЕ СУЧКА
Слабым местом композитных конструкций остаются узлы крепления в связи с традиционной технологией сверления отверстий под заклепки или болты. Альтернативный вариант подсказывает Природа, создающая соединения "ветка—ствол" без перерезания волокон. Предложено два метода численного построения рациональных траекторий волокон, "обтекающих" отверстие в композитной пластине. Методы реализуют условие отсутствия касательных напряжений вдоль этих траекторий, что практически эквивалентно условию равнонапряженности волокон. Построенные траектории сравнивали со структурой древесины в зоне сучка. Показано, что "обтекание" волокнами включений или геометрических неоднородностей (отверстия или выточки) приводит к снижению влияния концентрации напряжений по сравнению с обычной структурой армирования прямолинейными волокнами.
Традиционные методы расчета позволяют проектировать оптимальные композитные конструкции для однородного напряженного состояния, варьируя углами укладки волокон и числом монослоев [1—3]. Однако, если конструкция находится в неоднородном сложном напряженном состоянии, то рационально ее спроектировать, используя прямолинейную укладку волокон, не удается. Наиболее актуальна проблема выбора структуры армирования в местах крепления композитов [4—6], так как "металлические" варианты (сверление, резьбовые соединения, заклепки, сварка) для полимерных композитов явно неэффективны. Клеевые соединения кажутся удобными, но нагрузка при этом передается на поверхностный слой и далее, через слабую полимерную матрицу на волокна. Это сразу ограничивает несущую способность соединения прочностью полимерной смолы. Наиболее эффективным кажется использование закладных деталей, например, металлических, к которым потом можно было бы крепиться традиционными методами. Но и в этом случае остается открытым вопрос о влиянии концентрации напряжений около включений.
Интерес к использованию криволинейных траекторий укладки волокон заметен по ряду научных публикаций [7, 8] и в связи с общим возрастанием внимания к относительно новому направлению (биомеханика прочности), в рамках которого исследуются примеры "оптимального проектирования" Природой биологических конструкций, в частности, структуры древесины. В работе [7] рассмотрена укладка волокон в пластине вдоль линий тока идеальной жидкости, обтекающей отверстие. Такая структура армирования позволяет существенно снизить концентрацию напряжений. В работе [8] для пластины с отверстием с помощью метода конечных элементов (МКЭ) проведена оптимизация углов ориентации волокон в каждом конечном элементе по критерию минимизации отклонения напряжений от среднего значения. При этом удается снизить значение коэффициента концентрации напряжений в расчете на волокно с 7 до 1,5, но вопрос о возможности реализации такого решения в виде построения непрерывных траекторий волокон остается открытым. Аналитические решения задач
Рис. 1. Сравнение линий главных напряжений с траекториями волокон древесины в зоне сучка и система криволинейных координат для "мелкой" выточки
теории упругости для тел с криволинейной анизотропией пока не найдены (кроме модельных, осесимметричных, радиально-окружных схем армирования), хотя очевидно, что снижения концентрации напряжений в узлах крепления можно добиться именно с помощью специальной структуры укладки волокон, согласующейся с полем напряжений.
Решение задачи носит итерационный характер: вначале строится структура армирования, согласующаяся с полем напряжений в однородной пластине, а на следующем шаге итерации находится поле напряжений в неоднородной пластине, для него уточняется структура армирования.
Можно считать, что древесина — это один из лучших природных биокомпозитов и, вероятно, укладка волокон в ней оптимальна, в том числе и по прочности. Поэтому представляет интерес исследовать распределение волокон в зоне сучков, чтобы смоделировать рациональную укладку волокон в композитной детали около отверстия. Термин "рациональное проектирование" используется здесь как поиск решений, удовлетворяющих заранее выбранным условиям, (например, равнонапряженность волокон или отсутствие вдоль волокон касательных напряжений), в отличие от традиционного оптимального проектирования, основанного на поиске минимума некоторой функции цели при заданных ограничениях.
Для изучения структуры древесины в зоне сучка и ее сравнения с рациональными траекториями укладки волокон были изготовлены шлифы ствола сосны, один из которых показан на рис. 1. Зона сучка в первом приближении может рассматриваться как пластина с заполненным отверстием. Ее сравнение с модельной композитной пластиной носит лишь качественный характер и может быть использовано как наводящее соображение, подтверждающее справедливость гипотезы об отсутствии (о малости) касательных напряжений вдоль волокон.
Почему разумно "учиться у Природы?" Структура растущей древесины чувствительна к возникающим напряжениям и подстраивается под них. Биологическая конструкция стремится при минимальных затратах материала обеспечить прочность при тех или иных внешних воздействиях. Структура и конструкция дерева формируется под действием весовых, ветровых или искусственно создаваемых нагрузок. Так, например, сосна, выросшая в лесу и не подвергающаяся значительным ветровым нагрузкам, имеет совершенно иное строение (ровный ствол до 6 метров), чем такая же сосна, но одиноко стоящая в поле или на опушке. Из-за несимметричности кроны, под действием ветра в стволе последней, возникают значительные изгибающие и, самое опасное, крутящие моменты, способные привести к расщеплению. Поэтому зона сучковатой, свилеватой древесины начинается у нее прямо от корня. Свилеватая структура сучка, по сравнению с прямослойной древесной, многократно увеличивает сопротивление расщеплению. Способность древесины подстраивать свою структуру под возникающие нагрузки и под необходимое изменение формы надо изучать и использовать при проектировании композитных конструкций. Это одна из интересных задач нового направления, которое можно назвать "биомеханика прочности". На примере созданного Природой узла крепления "ветка—ствол", никогда не ломающегося по месту соединения, можно изучать траектории древесных волокон, которые на-
ряду с другими биологическими задачами (движение соков и др.) должны обеспечивать прочность и, видимо, равнонагруженность волокон.
В настоящей статье проверялась гипотеза о том, что волокна в древесине располагаются вдоль направлений максимальных главных напряжений, т.е. что вдоль относительно прочных древесных волокон практически отсутствуют касательные напряжения. Если такие напряжения в стволе возникают, то структура древесины стремится искривиться, чтобы эти напряжения взяли на себя волокна (карельская береза, одиноко растущая на скалах, под ветром). На основе данной гипотезы были разработаны два метода построения непрерывных рациональных траекторий волокон, "обтекающих" отверстия. Построенные траектории сравнивали со структурой древесины в зоне сучка.
Оценка снижения концентрации напряжений. В качестве первого приближения рассмотрена изотропная пластина с отверстием. Траектории волокон древесины достаточно хорошо согласуются с координатными линиями и = и0 в системе криволинейных координат [9, с. 75] х = и + и/(и2 + и2), у = и — и/(и2 + и2).
Эти координатные линии соответствуют контуру "мелкой" выточки Нейбера [9, с. 77], глубина которой , = х(и = и0, и = 0) — х(и = и0, и = да) = 1/и0, а радиус кривизны у дна 2
1/Я0 = 2и0/( и0 — 1)2. Для выточки с таким контуром получено выражение для теоретического коэффициента концентрации напряжений [9, с. 78]
К, = сттах/р = 3 Т - 1 + 4/(2 + Т), где Т = (,/ (2 Я0 ))1/2 (1)
Радиус кривизны ближайшего к отверстию волокна в точке касания с отверстием (с сучком) оказывается больше, чем радиус отверстия Я. Приближенно можно принять Я0 = 2Я, , = Я (рис. 1). Зону, огибаемую крайним волокном (заштрихована на рис. 1), можно исключить из рассмотрения и считать, что она не принимает участия (в силу низкой жесткости матрицы по сравнению с волокном) в перераспределении напряжений. Тогда пластину с отверстием, огибаемых жесткими волокнами, можно заменить на пластину с "мелкой" выточкой Нейбера, контур которой совпадает с К, = 2,1, т.е. по сравнению с круговым отверстием в изотропной пластине (К, = 3) он снижается на 30%. Даже такая грубая модель приводит к обнадеживающим результатам: огибание волокнами отверстия, используемой Природой, значительно снижает концентрацию напряжений и упрочняет места соединения различных структур (например, "ветка— ствол").
Методы построения траекторий волокон. Для расчетного подтверждения гипотезы об отсутствии касательных напряжений вдоль волокон были разработаны два различных метода. Первый метод использует аналитическое решение задачи о пластине с отверстием, а второй основан на методе конечных элементов.
Аналитический метод. Схема первого метода представлена на рис. 2 и основана на использовании аналитического решения. Зная распределение напряжений в изотропной пластине с круговым отверстием [10, с. 107], можно найти угол нормали (в) [11, с. 79] к главным площадкам
— = р/2 •( 1 - ,) -р/2 •( 1 + 3,2 - 4,)00829, -0 = р/2 •( 1 + ,) + р/2 •( 1 + 3,2)со$>29,
(2)
^ = р/2 •( 1 - Н) 8Ш29, * (2 (в - 9)) = - = ( (+ - ^9 9 ,,
— - -0 (Н + 1)00829 -,
где , = Я2/г2; к = 3,2 — 2,; Я — радиус отверстия; р — приложенное на удалении растягивающее напряжение в направлении у (рис. 2); г, 9 — координаты полярной системы с началом в центре отверстия.
Рассмотрим построение одной из траекторий, обозначая (г, 9,), полярные координаты ,-й точки на этой траектории. В начальной точке траектории (г0, 90), находящей-
Рис. 3. Элемент модели и осредненные функции
ся на боковой границе области, задаем угол во, соответствующий направлению искомых линий. В данном случае, принимаем угол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.