ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1599-1610
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
ОБ ЭЛАСТИЧНОСТИ СОСУДОВ В ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ
ГЕМОДИНАМИКИ^
© 2015 г. Ю. В. Василевский*, **, В. Ю. Саламатова*, **, С. С. Симаков*, **, ***
(* 141707Долгопрудный, М.о., Институтский пер., 9, МФТИ;
** 119333 Москва, ул. Губкина, 8, ИВМРАН;
*** 123056Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18, Ин-т автоматизации проектирования РАН) e-mail: yuri.vassilevski@gmail.com; simakovss@ya.ru; salamatova@gmail.com Поступила в редакцию 26.02.2015 г.
Одномерные модели гемодинамики хорошо зарекомендовали себя при изучении глобального кровотока в организме человека в норме и при патологии. Одним из ключевых вопросов успешного моделирования с помощью одномерных моделей является учет упругих свойств стенок кровеносных сосудов. Данная работа посвящена сравнительному анализу различных математических описаний упругих свойств стенок сосудов в современных моделях одномерной гемодинамики. Библ. 47. Фиг. 10. Табл. 2.
Ключевые слова: математическое моделирование, гемодинамика, кровеносный сосуд, определяющие соотношения.
DOI: 10.7868/S004446691509015X
1. ВВЕДЕНИЕ
Подходы к моделированию кровотока с использованием одномерных сетевых моделей успешно развиваются в течение последних десятилетий. Данный класс моделей хорошо зарекомендовал себя при изучении глобального кровотока в организме человека, решении задач о транспорте веществ кровью, особенностей гемодинамики при патологических изменениях в организме. Одна из первых современных сетевых динамических моделей была разработана научной группой под руководством А.П. Фаворского [1]—[5] и др. Был решен ряд математических задач, связанных с постановкой и решением краевой задачи на графе сосудов. Рассмотрены физиологические аспекты, связанные с нейрорегуляцией сосудистого тонуса. Построены модели транспорта веществ и кровотока при гравитационных перегрузках, исследовано несколько вариантов уравнений состояния, описывающих эластичность сосудистых стенок.
Моделирование эластичности стенок кровеносных сосудов является одним из ключевых вопросов успешного моделирования гемодинамики с помощью одномерных моделей. На сегодняшний день существует несколько математических формулировок. Несмотря на отличия, они успешно применяются не только для качественных, но и для количественных индивидуализированных гемодинамических расчетов.
Данная работа посвящена сравнительному анализу различных математических описаний упругих свойств стенок сосудов в современных одномерных моделях гемодинамики. В разд. 2 дается краткое описание анатомического строения сосудов различного типа. В разд. 3 рассматриваются различные феноменологические модели упругости стенок. В разд. 4 приводятся в обобщенном виде наиболее распространенные на сегодняшний день математические формулировки свойств упругости для крупных артерий и вен, используемые в одномерных моделях гемодинамики. На основе данных медицинских исследований упругих свойств общей сонной артерии человека, общей бедренной артерии человека и общей бедренной вены собаки проводится на-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ 14-31-00024. Численные эксперименты разд. 4. выполнены при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 14-01-00830,14-11-00877,14-01-00779).
1599
стройка каждой модели. Производится сравнение модельных вычислительных экспериментов, рассматривающих распространение уединенного импульса по одному сосуду, эластичные свойства которого описываются поочередно каждой из рассматриваемых моделей. Анализируются основные отличия, состоящие в разнице систолического давления, скорости распространения пульсовой волны и образовании ударных волн.
2. АНАТОМИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ СТЕНОК СОСУДОВ
Кровеносные сосуды представляют собой упругие трубчатые образования, по которым перемещается кровь по организму. В зависимости от направления течения крови относительно сердца сосуды кровеносной системы делят на вены и артерии. Размеры сосудов и их морфологический состав зависят от локализации в сосудистой сети, возраста, системных заболеваний и др.
Стенку кровеносного сосуда (за исключением капилляров) условно можно разделить на три слоя: tunica intima (интима) — внутренний слой, tunica media (медиа) — средний слой, tunica ad-ventitia (адвентиция) — внешний слой (см. фиг. 1).
Среди основных структурных элементов кровеносных сосудов выделяют: эндотелиальные клетки, коллагеновые волокна, эластиновые волокна, гладкомышечные клетки и основное вещество, связывающее все элементы. В зависимости от морфологического состава сосудистой стенки, артерии условно делят на эластичный или мышечный типы (см. [7]). Артерии эластичного типа — сосуды относительно большого диаметра, расположенные ближе к сердцу (например, аорта, сонная артерия), медиа которых содержит большое количество упругих мембран. Число упругих мембран убывает при уменьшении размера сосуда (т.е. при движении к периферии). Они практически отсутствуют в артериях мышечного типа. Артерии мышечного типа находятся на периферии (например, бедренная артерия, брюшнополостная, церебральные). В среднем слое артерий мышечного типа доминируют гладкомышечные клетки. Существуют артерии, внутренняя структура стенки которых является комбинированной (эласто-мышечные сосуды).
Вены, в отличие от артерий, делятся по размеру внутреннего диаметра. У вен толщина стенок и толщина среднего слоя намного меньше, чем у артерий. При этом у вен толще внешний слой (адвентиция). Крупные вены могут иметь клапаны для одностороннего пропускания тока крови.
Рассмотрим особенности строения каждого из трех слоев в зависимости от типа сосуда.
Интима — внутренний слой всех кровеносных сосудов, который состоит из 1) слоя эндотели-альных клеток, выстилающих стенку сосуда; 2) тонкой базальной мембраны и 3) субэндотели-ального слоя, состоящего из коллагеновых волокон, упругих фибрилл, гладкомышечных клеток и некоторого количества фибробласта. Субэндотелиальный слой представлен только в крупных
Фиг. 1. Типовое строение стенки кровеносного сосуда (см. [6]).
эластичных артериях человека. Во всех других кровеносных сосудах интима состоит из слоя эн-дотелиальных клеток и базальной мембраны.
Медиа — средний слой стенки кровеносного сосуда состоит из гладкомышечных клеток, различного числа упругих мембран, эластиновых и коллагеновых волокон. Гладкомышечные клетки могут отсутствовать в крупных венах, но в медии большинства сосудов они преобладают. Данный слой толще в артериях, чем в венах. В артериях эластичного типа фенестрированные упругие мембраны (порядка нескольких десятков) разделяют средний слой на несколько концентрических слоев. Эти слои представляют собой сложную трехмерную сеть из гладкомышечных клеток, эластина и коллагена. Количество упругих мембран уменьшается с уменьшением размера артерии. Упругие мембраны практически отсутствуют в мышечных артериях. В артериях мышечного типа можно четко определить внутреннюю упругую мембрану и внешнюю упругую мембрану. Для упругих артерий они неотличимы от внутренних упругих мембран. Средний слой вен, как правило, состоит из 2—3 слоев гладкомышечных клеток, пучков коллагеновых и эластиновых волокон.
Адвентиция — внешний слой стенки кровеносного сосуда. Состоит из фибробластов, фиброцитов и пучков коллагеновых волокон. У всех артерий и большинства вен (за исключением крупных) во внешнем слое отсутствуют гладкомышечные клетки. Практически для всех сосудов кол-лагеновые волокна являются преобладающим структурным компонентом в адвентиции. Толщина внешнего слоя зависит от типа и расположения сосуда. Например, у церебральных сосудов адвентиция отсутствует, у артерий мышечного типа внешний слой толще, чем у эластичных артерий. У вен большого и среднего размера он является самым толстым из всех.
Подробное описание строения кровеносных сосудов можно найти, например, в [7].
3. СОВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ УПРУГОСТИ СТЕНОК СОСУДОВ
Согласно приведенному выше описанию, стенки кровеносных сосудов являются сложным композитным материалом, который условно можно представить в виде изотропной матрицы, усиленной группами волокон с различной ориентацией. Материал сосудистой стенки является нелинейным, анизотропным и малосжимаемым (см. [8], [9]). При этом он работает в рамках конечных деформаций, что подразумевает геометрическую нелинейность задач моделирования деформирования стенок кровеносных сосудов. На фиг. 2 приведена типичная кривая деформирования стенки кровеносного сосуда.
Механические свойства кровеносных сосудов делят на пассивные (без учета сокращения гладкомышечных клеток) и пассивно-активные (с учетом сокращения). В большинстве экспериментальных работ исследуются пассивные механические свойства. В этом случае считается, что упругие свойства кровеносных сосудов связаны с пространственным расположением основных упругих волокон (эластина и коллагена) и их функциональными особенностями при деформировании сосуда. Волокна эластина достаточно мягкие (модуль Юнга порядка 105 Па), в отличие от коллагеновых волокон (модуль Юнга порядка 108 Па), которые играют ведущую роль в сохранении структурной целостности стенки кровеносного сосуда. В [10] был исследован вклад коллагена и эластина в итоговую жесткость подвздошной артерии. Было показано, что при небольших давлениях основную роль играют эластиновые волокна. При увеличении давления роль
Фиг. 2. Схематичная кривая деформирования стенки кровеносного сосуда. 10 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 55 № 9 2015
Коллаген
3/
/
/
-Эластин
Деформация
Фиг. 3. Схематичные кривые деформирования стенки артерии: 1 — при удалении эластина из стенки; 2 — при удалении коллагена из стенки; 3 — при наличии всех структурных компонентов.
20
а
С
м
иТ и н
(U
л
<ч
а д
о о
н н
о
15
10
тр 5
н В
Внутренний радиус
Фиг. 4. Схематичная кривая зависимости давления от внутреннего диаметра круглого цилиндра на основании результатов из [18].
2
коллагеновых волокон возрастает. Нагрузка распределяется между эластином и колла
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.