ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ПОВЕДЕНИЕ ГЛЮОННОГО КОНДЕНСАТА ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ
СФЕРЫ ФЕРМИ
© 2008 г. А. Е. Дорохов1), Г. М. Зиновьев2), С. В. Молодцов1)-3)*
Поступила в редакцию 18.04.2007 г.; после доработки 24.08.2007 г.
Исследуется влияние заполнения сферы Ферми кварками с динамически генерируемой массой на инстантонную жидкость в нагретой и плотной сильновзаимодействующей среде. В частности, показано, что граница фазового перехода восстановления киральной инвариантности сдвигается в сторону большего химического потенциала кварков примерно на 100 МэВ по сравнению со значением, характерным для модели Намбу—Иона-Лазинио.
PACS:11.15.Kc, 12.38.-t, 12.38.-Aw
ВВЕДЕНИЕ
Впечатляющий прогресс, достигнутый в изучении столкновений ультрарелятивистских ионов на RHIC (Брукхейвен), и планируемые уже в самые ближайшие годы эксперименты на ALICE LHC (ЦЕРН) [1] требуют со все нарастающей остротой более точных и аккуратных теоретических предсказаний для возможных сигналов образования новых состояний сильновзаимодействующей материи. Однако успехи в теоретических исследованиях, особенно в последние годы, мало ощутимы. Так, например, предсказания различных моделей и подходов для поведения такой ключевой для теоретического анализа величины, как глюонный конденсат, при конечной температуре T и ненулевом химическом потенциале / по-прежнему остаются во многом не согласованными, а порой просто противоречивыми. Возможные изменения в глюон-ном секторе, возникающие при таких условиях и описываемые посредством варьирования констант мультикваркового взаимодействия, как функций T и /, в модели Намбу—Иона-Лазинио (NJL) [2], требуют для современного анализа почти с неизбежностью привлечения результатов решеточных расчетов для глюонного конденсата [3]. Это в не меньшей степени относится и к предсказаниям, основанным на киральной пертурбативной теории (CHPT) [4] и правилах сумм (SR) КХД [5], которые имеют достаточно ограниченную степень надежности вблизи критических параметров. В работе [6]
^Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.
2)Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины, Киев.
3)Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия.
E-mail: molodtsov@itep.ru
была дана оценка глюонного конденсата в условиях нагретой и плотной среды в рамках модели инстан-тонной жидкости (1Ь) [7—9]. При этом экранирующее воздействие на глюонный конденсат заполняющих сферу Ферми кварков4) рассматривалось при нулевой массе кварка.
В настоящей работе мы рассмотрим более реалистическую ситуацию, учитывая влияние, оказываемое на глюонный конденсат кварками с конечной массой. В модели 1Ь процедура нахождения динамической массы кварка в вакууме при нормальных условиях основана на использовании приближения нулевых мод [12]. Однако даже при нулевой температуре возникает серьезная техническая трудность (см. также [13]), связанная с вычислением (интерпретацией) петлевых кварковых диаграмм при химическом потенциале, превосходящем динамическую массу кварка, / > Ыд. Мы трактуем эту проблему на основе модели ШЬ и не будем интересоваться асимптотически большими значениями параметров / и Т (см., например, [14]). Не рассматриваются также вопросы, связанные с фазой цветной сверхпроводимости.
1. аппроксимация вакуумных
КОНФИГУРАЦИЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ Т И /
Оставив в стороне проблему стабилизации ин-стантонного ансамбля и исследование "точной" структуры вакуумных конфигураций, в настоящей работе мы преследуем цель получить оценку поведения глюонного конденсата, а для этого желательно иметь удобный и практичный инструмент.
4)Следуя [10], мы рассматриваем этот эффект в качестве доминирующего при достаточно высоких температурах, хотя существуют и другие интересные эффекты [11].
Во всех сценариях, где свойства вакуума пытаются описать посредством среднего поля, прибегают к процедуре упрощенного описания системы. Например, наипростейшая аппроксимация достигается введением вакуумной корреляционной функции (Лц(х)Ли(у)). На этапе упрощенного описания нет никакой надобности стремиться сохранить все симметрии исходного лагранжиана. Например, реалистичный коррелятор с интегрируемой корреляционной функцией приводит в длинноволновом приближении к генерации массы глюонного поля, в нашем контексте — наличию экранирующего множителя. Инстантонный ансамбль со взаимодействием компонент, трактуемым таким образом, применяется в нашей работе.
Как известно, в модели 1Ь при нулевых химическом потенциале / и температуре Т в качестве фонового вакуумного поля, насыщающего производящий функционал КХД, рассматривается суперпозиция (анти)инстантонов, взятых в сингулярной калибровке:
2
аи(у) = ^г-1—оЩ, У = х-г, ц, V = 1,2,3,4, у2 + р2 у2
где р — размер псевдочастицы, ш — матрица ее цветовой ориентации и г — координата ее центра (для антиинстантона следует произвести замену символов 'т Хофта п ^ п). Сам производящий функционал КХД при этом оценивается как N „
Y = W\H I d7ido(Pi)e
-ßuint (y)
N!
N=1 i=1'
ж N
Е^П/^
N=1 ' i=1J
E(y) = ßUint(Y) - lnd°(pi)' Y = (z,p,w), здесь
1
db(p) = ^ßF'e-M
P5
— функция распределения по размеру для индивидуального инстантона (приближение инстантонно-го газа) [7], = й4ггйшгйрг — элемент интегрирования,
м = = -Мп(С^Лр)
— действие одного инстантона (Л = Л-д^ = = 0.92Лру) с константой CNc, зависящей от схемы перенормировки,
4.66ехр(—1.68^)
Cn,
С ' „ 2
TT2
(Nc - 1)!(NC - 2)!'
и с параметром
b =
11Nc - 2Nf
Вспомогательные коэффициенты в = —Ь 1п(Лр) и в в экспоненте (2) фиксируются на характерном масштабе р (среднем размере псевдочастиц). Предполагая топологическую нейтральность 1Ь, мы не вводим различные символы для инстантонов и антиинстантонов, и поэтому N обозначает полное число псевдочастиц, занимающих объем V.
Учет взаимодействия инстантонов с вакуумными флуктуациями эффективно сводится к возникновению экранирующего множителя в распределении (3):
d(p) = ß: P
'2NC e-ß(p)-Zp2
(4)
(1)
где значение коэффициента экранирования £ зависит от выбора суперпозиционного анзаца. Для псевдочастиц в сингулярной калибровке взаимодействие в парном приближении будет иметь вид [9]
/ йигй^йгг^2^(71,72) = V£2р2р2
с константой
^ = 37*
Nr
(2)
(3)
4 N22 — 1'
Конфигурации, рассматриваемые в методе долин [15], приводят к существенно меньшему значению (примерно на порядок) коэффициента £ [16]. Кроме того, фактор экранирования с успехом извлекается из решеточных данных, А^ ~ ~ 0.22 Фм [17], посредством процедуры охлаждения конфигураций, которые удовлетворительно фитируются инстантонным ансамблем [18]. Изучение оптимальных инстантонных конфигураций в приближении среднего поля заслуживает отдельного рассмотрения и будет проведено в отдельной работе (см. [19]).
Пользуясь свойством выпуклости экспоненты, парциальный вклад в производящий функционал (2) при каждом значении N можно оценить с помощью аппроксимирующего выражения
Y > Yappr = Yi exp(-(E - Ei)), для которого можно получить [9]
Yappr — e
-X
(5)
(6)
X = N + 1) [1п(п/Л4) - 1] -
N ln
где n = N/V, v = (b - 4)/2. Равновесные параметры IL определяются максимумом производящего
2
функционала по п с учетом связи среднего размера инстантона и плотности 1Ь:
V / р2 = (3^2пр2.
(7)
Найдем теперь максимум X по п. Для этого следует решить уравнение
- + 1) 1п(п/Л4) + (8)
+ п-^----п—— = 0.
в ап 2р ап
Из соотношения (7) имеем
10 1сЫ 4_о
в ар п ар р
с другой стороны, ав/ар = —ь/р, ав/ар = ав/ар. Записывая теперь производную в по плотности как
(1/3 (1/3 / йп йп йр / йр1
получим
0£ _ 1 Ь/З 0£_0£ 6п п 4в — Ь 6п 6п
1
А°(х, 7, Г) = --иаЬг1ь^д,ЫФ(х,Т),
а(р;/,Т) = (1{р)е-п2 т )р2,
г,2(р.,Т ) = 2п2
Т
2 N
N.
+ (л,Т)
/=1
Первое слагаемое экранирующего множителя описывает однопетлевой вклад глюонов в эффективное действие, а второй член обусловлен вкладом кварков, который в однопетлевом приближении вычисляется точно и не имеет опасных сингуляр-ностей [24]. "Временная" компонента тензора поляризации, генерируемая кварком определенного сорта, имеет вид
П{4(к4,ш) =
к2 [ арр2
П2Ш2
X п2
1 +
4е2р — к2 (к2 + 2рш)2 + 4е2р к|
8рк
1п
ер к4 рш
аг^
(к2 — 2рш)2 + 4е2 к2
8ршер к4
4е2 к2 — 4р2 ш2 + к4
здесь ш = |к|; к2 = ш2 + к4; ер = (М2 + р2)1/2, где Мч — масса кварка; пр = п- + п,
п2
п
+ _
ехр
ехр
£Р- р>
Т
£р + Р-Т
+
+ 1
+ 1
-1
-1
(9)
Решая систему трансцендентных уравнений, можно определить равновесные параметры 1Ь.
В случае конечных температур насыщающее производящий функционал поле заменяется суперпозицией (анти)калоронов [20, 21], являющихся периодическими по евклидовому "времени", с периодом Т-1, решениями уравнений Янга— Миллса [22]:
(10)
(пр , п+ — плотности антикварков и кварков соответственно). Понятно, что приведенное нами выражение потенциально содержит множество плазменных эффектов, но мы в этой работе оставим в качестве доминирующего вклада при малых ш и к4 только первое слагаемое в квадратных скобках (единицу) (подробно процедура предельного перехода в применении к инстантонным полям обсуждается, например, в работе [10], прямое вычисление поляризационного вклада от инстантонов также подтверждает малость обсуждаемых поправок, см. Карвальо [23]). Для вклада кварков в формуле (11)
имеем
г еЪ(2птТ) — сов(2птТ)'
Здесь г = |х — z| — расстояние в трехмерном пространстве до центра калорона z; т = х4 — г4 — расстояние по "времени". Можно убедиться, что при стремлении температуры к нулю решение переходит в (анти)инстантон в сингулярной калибровке. Кроме того, изменяется также и функция распределения по размерам калорона [10, 23]:
= П{4(0,0) = ^ /
Тогда при Т = 0 получим
п/(л, 0) =
арр2
-пр
(12)
(л2 — М2)1'2 л
п2
м2 Л + (У2-М2у/2 ---
п2
М
ч
(11)
Для нахождения равновесных параметров инстан-тонной жидкости, как функций л и Т, следует минимизировать аппроксимационный функционал (6), приняв во внимание замены формул (7) и (9) соответственно на
= V2 + /З^пр2 (13)
х
е
'Р
0
е
V
3
п йв в йп
1 и—п2 р2
(14)
В качестве характерной шкалы в модели 1Ь примем для определенности Л = 280 МэВ. Приводимые ниже
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.