научная статья по теме ПОВЕДЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ПОТОКЕ ГАЗА Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ПОВЕДЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ПОТОКЕ ГАЗА»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 2, 2004

УДК 539.3:534.1

© 2004 г. Худояров Б.А.

ПОВЕДЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ПОТОКЕ ГАЗА

Исследуются задачи о флаттере вязкоупругих пологих оболочек, обтекаемых потоком газа. Основное направление работы состояло в учете вязкоупругих свойств материала при сверхзвуковых скоростях. Уравнения колебаний относительно прогибов описываются интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных. При помощи метода Бубнова-Галеркина задачи сведены к исследованию системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, решение которых находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. Определены критические скорости флаттера оболочек.

В последние годы большое внимание уделяется задачам устойчивости пластин и оболочек, обтекаемых с большими сверхзвуковыми скоростями. Эти задачи представляют интерес в связи с вибрацией обшивки современных летательных аппаратов. В работах [1-9] рассматривался флаттер оболочек в сверхзвуковом потоке газа. Для описания упругого поведения оболочек используются уравнения Кармана. В связи с широким внедрением композиционных материалов в авиационных конструкциях важное значение приобрело создание методов и методик расчета отдельных элементов конструкций, выполненных из этих материалов [10-15].

В настоящей статье определяются критические скорости флаттера для вязко-упругой пологой оболочки, обтекаемой вдоль образующих сверхзвуковым потоком газа с учетом геометрической и аэродинамической нелинейности. Показано, что учет вязкого сопротивления приводит к снижению критической скорости флаттера.

Рассмотрим вязкоупругую пологую прямоугольную в плане оболочку, обтекаемую с внешней стороны сверхзвуковым потоком газа со скоростью V, срединная поверхность которой является эллиптическим параболоидом. Уравнение этой поверхности записывается следующим образом [16]: г = /а[(/1//)[2(х/а) - 1] + (/2#)[2(у/й) — 1] - 1}, где/=/ + /2 - стрела подъема оболочки. Очевидно, что кх « 8(/1/а ), ку « 8(/2/Г), кху = 0.

Уравнение вязкоупругой пологой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком, имеет вид

Б 4 /1Э2Ф д2 Ф д2Ш а

Б (1 - я*)у4 ш =ь (ш Ф) + / дУ- + /2 - р~д7 + ь'

Л а У Х .2„л' (1)

1У4Ф = -(1 - Я*)

1 Ь (V ш) + 8 /2 ^ +8 Ц ^

2 а ду Ь дх

где У2Ш = (д2Ш/дхл) + (д2Ш/ду2) - оператор Лапласа;

г (ш Ф) = д!шд!ф д2\уд2Ф 2дV д2Ф

дх2 ду2 ду2 дх2 дхдудхду

- дифференциальный оператор; Я* - интегральный оператор; R*W = |Я (г - т)W(т)dт;

о

Я(г - т) - ядро релаксации; -q = B(дW/дг) + BV(дW/дx) + БУШ/дх)2 -аэродинамиче-

2

ское давление, определяемое по теории [17]; Б = к(рм/^); Б1 = к(к + 1)(рм/4V«,); р -плотность материала оболочки; к - толщина оболочки; к - показатель политропы газа; и - соответственно давление и скорость звука в невозмущенном потоке;

3 2

Э = Ек /12(1 - ц ) - цилиндрическая жесткость; ц - коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга; W(x, у, г) - прогиб оболочки; Ф(х, у, г) - функция напряжений, действующих в срединной поверхности оболочки.

По краям оболочки обеспечиваются следующие граничные условия: при х = 0,

х = а, W = 0, д2Шх2 = 0, д2Ф/ду2 = 0, и = 0; при у = 0, у = Ь, W = 0, д^/ду2 = 0, д2Ф/дх2 = 0, и = 0.

Будем искать решение системы уравнений (1) в виде

N Ь

W (х, у, г) = ЕЕ Wnm( г) sinnПлsinmp-; Ф( х, у, г) =

п = 1 т =1 (2)

N Ь (2)

V V ^ • nnx . mny = ¿¿Ф»т(t) Sin-—Sin--^.

nm

n=1m=1

Подставим соотношения (2) в систему уравнений (1) и, применяя метод Бубнова-Галеркина, получим систему интегро-дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Wnm, Фпт. Введя в эту систему безразмерные величины x/a, y/b, -Ja, f2/b, W/h и сохраняя прежние обозначения, сводим ее к уравнению относительно амплитуды прогиба Wnm

Wkl + j j4 Q2[ (j)2 + l2]2 + 8 j2 П2 Mf E'ki + ff (l2 E"kl + + k2Е'ы) + -2g)2k2Eh] j( 1 - R*) Wkl - ' 2 j П - ^}О2 x

N L

X E I ak In mirjsWnm( 1- R * ) WirWJS - f 1 X

n, i, j = 1 m, r, s = 1 NL

X E E Fk In mirWnm( 1- R* ) W „ - -2 (¿^"M X

n, i = 1 m, r =1

N L N

X E E GkinmirWnm( 1- R*) Wir + MM^kl -2MM* E Y nkWnl +

n, i = 1 m, r =1 n = 1

NL

+ M1M *2 E E Гш mirW nm W ir +8-2^) mE X

n, i = 1 m, r =1

N L 2 X E E Kk in mirWnm( 1- R * ) W^-8-1 n^ME^) X

(3)

А а в ¡1 ¡2 а/к V кр

0 1089,4

0,001 1060

0,01 0,25 0,05 0,01 0,01 250 780

0,05 645

0,1 508

0,1 404

0,05 0,5 0,7 0,05 0,01 0,01 250 708 748

0,05 0,25 0,01 0,1 0,01 0,01 250 644 638

0,05 0,25 0,05 0 0 250 610

0 615

0,05 0,25 0,05 0,02 0,03 0,04 0,01 250 655 675 683

0 621

0,05 0,25 0,05 0,01 0,02 0,03 0,04 250 643 683 708

200 1245

0,05 0,25 0,05 0,01 0,01 225 275 875 475

11

Ек1п m,¡rWnm,( 1- «* ) V г = 0,

k\nmir, а\ктт1Г'> Kk\nmir,

где О2 = --—- И2! Ь)2; М = к И2( а); М1 = к(к + 1)М ; ^ = а/Ь; М* = V/Vм - число

12( 1- ц2) ^а1 р1ь) 1 4

МаХа; МЕ = д/гУрУ^ ; Мр = ; Ек/ , Ек/ , ^птг Сиптг Ук^ Г

РкЫтГ - безразмерные коэффициенты [14].

Интегрирование системы (3), полученное на основе многочленной аппроксимации прогиба с учетом различных факторов, выполнялось с помощью численного метода, предложенного в [18, 19]. Результаты вычислений представлены в таблице, где приводятся результаты расчетов для вязкоупругой пологой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа с постоянными параметрами к = 1,4, рм = 1,004 кг/см , К, = 3,4 ■ 104 см/с и Е = 2 ■ 106 кГ/см2.

В качестве критерия, определяющего критическую скорость Укр, принимаем условие, что при этих скоростях амплитуда колебаний изменяется по гармоническому закону. При выше сверхкритических скоростях происходит колебательное движение с интенсивно нарастающими амплитудами, которое может привести конструкцию к разрушению. В случае V < V амплитуда колебаний затухает.

Из таблицы следует, что величина Vкр уменьшается с ростом величины А. Для упругой (А = 0) оболочки ^р имеет значение 1089,5 м/с, в вязкоупругом случае (А = 0,1) V = 508 м/с; разница между ними составляет 53,4%.

Увеличение параметра а приводит к существенному изменению ^р. Исследования были проведены при а = 0,1, 0,5 и 0,7. Видно, что увеличение параметра а от 0,1 до 0,7 сопровождается увеличением критического числа Vкv флаттера от 404 до 748 м/с.

N

ь

X

Исследовали влияние параметра a/h на поведение оболочек. Увеличение параметра a/h от 200 до 275 приводит к уменьшению VKp на 62%. Приведено исследование влияния параметров f и f2. Расчеты показали, что на критическую скорость большее влияние оказывает параметр f2, чем fj. Увеличение значений f и f2 до 0,04 приводит к увеличению V^ соответственно, на 11,4 и 14%. Было изучено влияние параметра ß на критическую скорость флаттера.

Влияние параметра сингулярности а играет доминирующую роль не только на колебания вязкоупругих систем, но и на значения критической скорости флаттера, по сравнению с другими реологическими параметрами ядра наследственности. Этот факт в данной работе установлен впервые. Проведенные исследования динамического поведения оболочек дают возможность найти оптимальные варианты характеристики композиционных материалов, используемых в авиационных конструкциях, выяснить эффективность армирования элементов конструкции с целью снижения веса и улучшения эксплуатационных характеристик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Механика. 1963. Итоги науки. М.: Институт научной информации АН СССР, 1965. C. 34-80.

2. Григолюк Э.И., Михайлов А.П. Флаттер трехслойной круговой конической оболочки // ДАН СССР. 1965. T. 163. < 5. C. 1100-1103.

3. Григолюк Э.И., Михайлов А.П. Флаттер трехслойных цилиндрических оболочек // Инженерный журнал. 1965. T. V. Вып. 6. C. 1087-1091.

4. Болотин ВВ. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

5. Болотин В В. Нестационарный флаттер пластин и пологих оболочек в потоке газа // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. < 3. C. 106-113.

6. Скурлатов Э.Д. Поведение цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Расчеты на прочность. Вып. 15. М.: Машиностроение, 1971. C. 356-365.

7. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // МТТ. Итоги науки техн. Вып. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. C. 67-122.

8. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

9. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера пологой оболочки // Журнал прикладной механики и техн. физики. 1999. T. 40. < 6. C. 97-102.

10. Григолюк Э.И. Динамика упруговязких оболочек и пластин // ДАН СССР. 1961. T. 138. < 6. C. 1317-1320.

11. Богданович А.Е. Нелинейные параметрические колебания вязкоупругих ортотропных цилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1980. T. 16. < 4. C. 49-55.

12. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

13. Potapov B.D. Stability of Viscoelastic Plate in Supersonic Flow Under Random Loading // AIAA Journal. 1995. V. 33. < 4. P. 712-715.

14. Эшматов X., Худояров Б.А. Алгоритмизация нелинейных задач о флаттере вязкоупругих пластин и цилиндрических панелей // Узбекский журнал проблемы информатики и энергетики. 1999. < 1. C. 3-8.

15. Эшматов X., Файзибоев Э.Ф., Худояров Б.А. и др. Флаттер вязкоупругой цилиндрической оболочки // Сб. научн. тр. "ДТС-2001". VI Междунар. н.-т. конф. по динамике технол. систем. Ростов-на-Дону, 2001. C. 97-101.

16. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. 400 с.

17. Илъюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. T. XX. Вып. 6. C. 733-755.

18. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Мехнат, 1987. 271 с.

19. Бадалов Ф.Б., Эшматов X., Юсупов М. О некоторых методах решения систем интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости // ПММ. 1987. T. 51. < 5. C. 867-871.

Ташкент Поступила в редакцию 18.VI.2003

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»