ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 33, № 8, с. 618-630
УДК 521.13
ПОВЕРХНОСТИ ЗУНДМАНА И УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ХИЛЛУ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2007 г. Л. Г. Лукьянов*, Г. И. Ширмин
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва
Поступила в редакцию 21.02.2007 г.
Используя знаменитое неравенство Зундмана, для общей задачи трех тел впервые построены поверхности, которые мы предлагаем называть поверхностями Зундмана. Эти поверхности являются обобщением широко известных поверхностей Хилла в ограниченной круговой задаче трех тел. Построение поверхностей Зундмана проведено в прямоугольной системе, использующей в роли декартовых прямоугольных координат взаимные расстояния между телами. Определены особые точки семейства этих поверхностей. В пространстве взаимных расстояний построены области возможности движений тел и области недоступности. Показано существование движений, устойчивых по Хиллу, и установлены достаточные критерии устойчивости движений по Хиллу. Рассмотрены некоторые астрономические приложения.
Ключевые слова: небесная механика, задача трех тел, неравенство Зундмана, поверхности Зундмана, поверхности нулевой кинетической энергии, устойчивость по Хиллу.
SUNDMAN SURFACES AND HILL STABILITY IN THE THREE-BODY PROBLEM, by L. G. Luk'yanov and G. I. Shirmin. Using the famous Sundman inequality, we have constructed for the first time the surfaces for the general three-body problem that we suggest calling Sundman surfaces. These surfaces are a generalization of the widely known Hill surfaces in the restricted circular three-body problem. The Sundman surfaces are constructed in a rectangular system using the mutual separations between the bodies as the Cartesian rectangular coordinates. The singular points of the family of these surfaces have been determined. The regions where the motions of bodies are possible and the regions of inaccessibility have been constructed in the space of mutual separations. We have shown the existence of Hill stable motions and established sufficient criteria for Hill stability of motions. Some of the astronomical applications are considered.
PACS numbers: 45.50.Pk; 95.10.Ce
Key words: three-body problem, Sundman inequality, Sundman surfaces, surfaces of zero kinetic energy, Hill stability.
ВВЕДЕНИЕ
В классической задаче N-тел интегрируемым является только случай двух тел. Уже задача трех тел не имеет практически пригодного общего решения, и всеобъемлющее представление о свойствах движения оказывается недостижимым. Знаменитые ряды Зундмана (1912), представляющие математически безупречное общее решение задачи трех тел, до сих пор не нашли никаких астрономических приложений из-за их чрезвычайно медленной сходимости. Это лучшее свидетельство гораздо большей сложности задачи трех тел по
Электронный адрес: luka@sai.msu.ru
сравнению с задачей двух тел. Общее решение дифференциальных уравнений движения задачи трех тел, существование которого гарантирует теорема Коши, по-видимому, не представимо в конечной форме. Теоремы несуществования Брунса, Пуанкаре (Дубошин, 1978) и обширные исследования тройных систем, выполненные методами численного интегрирования уравнений движения для различных комбинаций масс и начальных условий (Рой, 1981), подтверждают обоснованность пессимистических утверждений об аналитической интегрируемости задачи трех тел. Именно этим обстоятельством объясняется широкое применение методов качественной теории дифференциальных уравнений.Например,разработанная Себехе-
ем (1971) на основе уравнения Лагранжа—Якоби классификация динамического поведения тройных систем является примером эффективного применения качественных методов небесной механики, представляющим также несомненный интерес для космогонии кратных звезд. Хорошо известны еще со времен Пуанкаре (1971, 1972) и многочисленные исследования устойчивости орбит, в том числе и периодических, также относящиеся к качественной теории систем дифференциальных уравнений. В отличие от количественных методов (как аналитических, так и численных), качественные методы, вообще говоря, не требуют знания частного или общего решения дифференциальных уравнений движения. Более того, эти методы позволяют судить о свойствах динамической системы, опираясь на знание отдельных первых интегралов, инвариантных соотношений, некоторых вспомогательных функций, например, функций Ляпунова и пр. Примером, ставшим уже хрестоматийным, является понятие устойчивости в смысле Хилла (Дубо-шин, 1978), базирующееся на знаменитом интеграле Якоби в задаче Хилла — небесно-механической модели, лежащей в основании современной аналитической теории движения Луны. Аналогичным образом применяются интеграл Якоби в ограниченной круговой задаче трех тел (Дубошин, 1978) и инвариантное соотношение (квазиинтеграл Якоби) в эллиптической и гиперболической ограниченных задачах (Лукьянов, 2005).
Используя интеграл энергии в общей задаче трех тел, Лукьянов, Ширмин (2001) определили области возможности движений в пространстве трех взаимных расстояний между компонентами тройной системы. Эти области, как оказалось, имеют вид простирающихся до бесконечности "треног", соприкасающихся с биссектрисами координатных плоскостей и ограниченных поверхностью нулевой кинетической энергии и тремя плоскостями, на которых сумма двух взаимных расстояний равна третьему. В работе Лукьянова, Шир-мина (2001) показано, что, в отличие от круговой ограниченной задачи трех тел, общая (или неограниченная) задача не допускает существования замкнутых областей возможности движений. Поэтому для общей задачи можно сделать вывод о невозможности доказательства устойчивости движений по Хиллу, опираясь только на интеграл энергии.
В ряде работ К. Маршала (см., например, Маршал, 1971, 2004) тоже исследованы области возможности движений в тройной системе. Но для этого используется не интеграл энергии, а известное неравенство Зундмана (Голубев, Гребени-ков, 1985), что в конечном счете означает учет некоторой комбинации интеграла энергии и интегралов кинетического момента тройной системы. В работах Маршала установлено существование
некоторых областей, внутри которых происходит движение пары тел, в то время как третье тело не только находится вне этой области, но и может удалиться от этой пары на бесконечно большое расстояние.
В настоящей работе мы еще раз обсуждаем наши результаты по построению поверхностей нулевой кинетической энергии, но представленные в другом, как нам кажется, более удобном виде. Затем с помощью неравенства Зундмана в пространстве взаимных расстояний между телами мы строим области возможности движений, исследуем устойчивость движений по Хиллу и даем сравнение с результатами Маршала. Поверхности, ограничивающие области возможности движений, мы предлагаем называть поверхностями Зундмана.
ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Все изучаемые поверхности в настоящей работе будем рассматривать в прямоугольной системе координат с абсциссой г12, ординатой г23 и аппликатой Г31, где г^ — расстояние между телами М, и М) (г = 1,2,3; j = 1,2,3; г = j). Физический смысл имеет та часть изображающего пространства г12г23г31, в которой взаимные расстояния удовлетворяют неравенствам треугольника
0 < Г12 < Г23 + Г31, (1)
0 < Г23 < Г31 + Г12, 0 < Г31 < Г12 + Г23 •
В пространстве взаимных расстояний эти неравенства определяют область, ограниченную правильной треугольной пирамидой Р с ребрами бесконечной длины, совпадающими с соответствующими биссектрисами координатных плоскостей.
Интеграл энергии в задаче трех тел запишем в виде
Т - и = к, (2)
где Т — кинетическая энергия, и — силовая функция, к — постоянная интеграла энергии.
Вместе с неравенствами (1) условие Т > 0 определяет область возможности движений для заданного уровня энергии дополнительным неравенством (имеющим нетривиальный смысл только при к < 0):
и > с, (3)
где С = -к. Эта область в пространстве взаимных расстояний представляет собой "треногу" — фигуру, обладающую головной частью, расположенной вблизи начала координат О, и исходящими из нее вдоль ребер пирамиды Р тремя "ногами" бесконечной длины.
A
D
где е1, е2 и £3 — величины одного порядка малости. В пределе, при удалении тела М3 на бесконечно большое расстояние, получим
Г12
fm1 m2 C '
Г23
TO, Г31 ^ TO. (6)
O
Рис. 1. Общий вид области возможности движений, ограниченной поверхностью нулевой кинетической энергии (поверхность заштрихована). Области находятся внутри пирамиды OADE между ее гранями и поверхностью нулевой кинетической энергии.
Границей этой области являются грани пирамиды Р и поверхность нулевой кинетической энергии, уравнение которой имеет вид
и — f [ш\т2 + т2тз + тзшЛ = ^ (4) \ Г12 Г23 Г31 ) '
где f — универсальная гравитационная постоянная, т1 ,т2 ,т3 — массы тел М1, М2, М3 соответственно. По одну сторону поверхности (4), внутри пирамиды Р, расположена область возможности движений (3), по другую — область недоступности, где и <С.
Каждая "нога" области возможности движений ограничена двумя соответствующими гранями пирамиды Р и поверхностью нулевой кинетической энергии. На больших удалениях от начала координат О "нога" становится тоньше и асимптотически приближается к некоторым фиксированным размерам. Если, например, тело М3 удалилось от тел М1 и М2 на значительное расстояние, такое что отношения г12/г23 и г12/г31 можно считать малыми величинами, то уравнение поверхности нулевой кинетической энергии можно представить в виде
Г12 = + е1, (5)
е1 = Ш (Ш2 е2 + Ш1 ез),
Г12 Г12
е2 = -, е3 — -,
Г23 Г31
Аналогичная картина имеет место при удалении из тройной системы тела M2 или M1.
Отсюда, в частности, следует, что при h < 0 невозможен полный распад (разлет) системы трех тел. Возможен только "уход в бесконечность" одного (любого) тела.
Все области возможности движений имеют одинаковый качественный вид, представленный в изо-метрии на рис. 1, где изображены пирамида P в виде усеченной пирамиды OADE и пересекающаяся с ней поверхность нулевой кинетической энергии — сетчатая поверхность. На рисунке видна головная часть "треноги", прилегающая к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.