ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2007, том 33, № 12, с. 1073-1080
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ И ЗАРЯДОВЫЕ СЛОИ В ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2007 г. М. В. Кузелев*, Р. В. Романов**, А. А. Рухадзе***, Н. Г. Хунджуа*
*Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Россия **Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого, Россия *** Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, Россия Поступила в редакцию 05.03.2007 г. Окончательный вариант получен 25.04.2007 г.
Изложена теория поверхностных волн в слое пространственно неоднородной холодной электронной плазмы. Установлено четыре типа поверхностных волн. Определены комплексные спектры частот и обсуждены механизмы затухания волн, обусловленного неоднородностью. Выяснены условия существования поверхностных волн различного типа.
PACS: 52.35.-g, 52.40.Mj
1. Настоящая работа является продолжением и развитием наших исследований [1, 2] по теории поверхностных и объемных волн в волноводах с плавно неоднородным плазменным заполнением. Особое внимание уделяется построению аналитических решений, на основе которых выясняются условия существования плазменных волн разного типа и исследуются механизмы их бесстолкнови-тельного поглощения, обусловленного пространственной неоднородностью плазмы.
Рассмотрим плоский слой холодной электронной плазмы, неоднородный вдоль оси X и однородный в направлении 2. В рамках гидродинамической модели линейные электростатические возмущения такой плазмы описываются следующей системой уравнений [3]:
Э2ф + Э^р = _п д x2 dz2
Э2n д ( 2, чдф
^ = ЭХ Ь( x >Э±
Эх
2, чд2ф Юр (Х)
дz
(1)
dx[Ю2- Юр(x)]dp-^[Ю2- Юр(x)]ф = 0, (2) и выражение для П (ю, x)
n(ю, x) = -
1
d юр1 рр
ю2 - юр(x) dx dx
(3)
В дальнейшем рассматривается плазма со следующим линейно-постоянным профилем для квадрата ленгмюровской частоты:
22 ю р (x) = ю
р0
0, x < 0
x/L, 0 < x < L,
1, L < x
(4)
где Юр0 и L - постоянные. С учетом (4) уравнение (2) преобразуется к виду
Здесь ф(г, г, х) - функция, пропорциональная скалярному потенциалу электрического поля, п($, г, х) - возмущение плотности электронов
плазмы, юр (х) = 4пе2п0(х)/т - квадрат ленгмюровской частоты, а п0(х) - невозмущенная плотность электронов плазмы. При написании (1) мы ограничились рассмотрением возмущений, не зависящих от координаты У. Для решений вида ф(^, г, х) = ф (ю, х)ехр(-7'Ю + ¡к,?), п(г, г, х) = П (ю, х)ехр(-1Ш + ¡к?) из системы (1) получаем следующее уравнение для ф (ю, х) [4]:
d(Ю2-£)Ц-к(Ю2-^)Ф = 0, 0<^< 1,
кф = 0, 0, 1
d
(5)
Здесь к = кЬ - безразмерное продольное волновое число, ю = ю/юр0 - безразмерная комплексная частота, ^ = х/Ь. При выполнении неравенства |к| <§ 1, т.е. в длинноволновом пределе, первое уравнение в (5) после однократного интегрирования сводится к следующему:
dp = С1
Ж ю2-^
где С1 - произвольная постоянная.
(7)
0 <^< 1.
Здесь 5 = sign (Re (о), а C2 - постоянная. Деформируя контур C(^) в контур C как это изображено на рис. 1, легко убедиться, что формула (7) справедлива на всей комплексной плоскости (о. По аналогии с (7) запишем следующее общее решение первого уравнения (5) [4]:
ф(¿0, S) = Ci(К((Ъ2 - £)) + C21о(к(ю2 - £)), 0 <^< 1, K (к((2- £)) = (8)
= Г ^0(к((Ъ2- £)), Re w
[ К0(к(£, - (о2)) - isnI0 (к(£, - (о2)), > Re (О2
Здесь 10(х) - функция Инфельда, К0(х) - функция Макдональда. При к —» 0 решение (8) переходит в (7). Комплексная функция ф ((о, определяет продольную и поперечную компоненты напряженности электрического поля по формулам
Ez = -^ф, Ех = .
(9)
Рис. 1. Контур на комплексной плоскости £, = £,' + i£," используемый при интегрировании уравнения (6).
Функция ф ((о, есть образ Лапласа по времени t потенциала ф(^ г, х). Поэтому ф ((о, является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости (о. Для аналитического продолжения ф (ю, на всю комплексную плоскость (о действуем, как в теории затухания Ландау [5], а именно: интегрирование соотношения (6) производим по контуру С(^) комплексной плоскости начинающемуся в точке ^ = 0, заканчивающемуся на действительной оси, и обходящему особую точку ^ = (о2 снизу (рис. 1). Тогда, интегрирование соотношения (6) дает
ф(ев, x)S CJ(ю2- £) + C2,
>(~2 f ln (<а2- £), Re (о2
Дю - ^ =
L ln (£,-(о) + isn, Re(0
Из (7) и (8) следует, что при 1т ю < 0 в точке ^ =
= Яе(°2 компонента Ег имеет разрыв, а односторонние предельные значения Ех в этой точке совпадают. Вопрос о разрыве Е? еще будет обсужден в заключительной части работы.
2. Напомним кратко физическую природу поверхностных плазменных волн, обусловленных наличием у плазмы свободной границы. При Ь = 0 плазма имеет резкую границу х = 0, на которой локализована поверхностная волна с частотой
со = со
'p0<
/72
и следующими потенциалом и попе-
речным полем:
фо
Ex
f exp (kzx), x < 0 L exp (-kzx), x > 0'
f-exp(kzx), x < 0 L exp (-kzx), x > 0
(10)
Формулы (10) определяют потенциал и поле простого слоя: потенциал непрерывен, а поперечная к границе плазмы компонента напряженности электрического поля Ех имеет разрыв. Разрыв Ех обусловлен поверхностным зарядом, возникающим при смещении электронов плазмы относительно ионного фона на некоторую величину 5 = Re[50exp(-7 Ш + ¡к,?)] от границы х = 0. Толщина простого слоя |501 в линейной теории не определена, но предполагается, что |501 —- 0.
При Ь Ф 0, т.е. при плавной границе плазмы, наблюдается сходная картина: смещение электронов (всех) приводит к простому слою, но локализованному теперь в области размером Ь (а не 5). Возмущение плотности заряда в слое определяется величиной
en0 (x + 5) - en0( x) ~ e5
dn0 (x) dx
(11)
где и0(х) - невозмущенная плотность электронов, 5 - введенное выше смещение электронов относительно ионов, причем |501 < Ь. В силу последнего неравенства для профиля (4) и для других аналогичных профилей величина (11) симметрична относительно средней точки слоя х = Ь/2. Следовательно, при к2 —► 0 потенциал слоя и его образ
фо ( , х) также симметричны относительно точки
0
х = Ь/2, а Ех в этой точке обращается в ноль (рис. 2 - жирная линия).
С учетом сказанного легко определить собственную частоту поверхностной волны простого слоя. Действительно, пренебрежем пока возможным наличием у частоты ю мнимой части. Из выражения (3) следует, что ю ф юр(х) всюду, за исключением точки, в которой Ех = 0. Поскольку это есть точка х = Ь/2, то для профиля (4) находим
для частоты ю известную формулу ю = юр0/-У2. Тот же результат имеет место и для всех профилей п0(х) с симметричной относительно средней точки производной.
Выражение (3) позволяет исследовать и более тонкую структуру поверхностной волны неоднородной плазмы. Действительно, когда затухание мало, основным фактором, определяющим структуру волны, является рассмотренный выше
простой слой. В точке х = х0, где ю2 = юр (х), производная d ф /dx и разность ю2 - юр (х) меняют знаки, т.е. возмущение плотности (3) знака не меняет. При учете затухания (т.е. при комплексной частоте ю) величины dф /dx и ю2 - юр (х) меняют знаки в несколько разных точках. При этом, как видно из выражения (3), возмущения плотности электронов слева и справа от точки х0 противоположны по знаку. Таким образом, простой слой поверхностной волны приводит к формированию в окрестности точки х = х0 двойного слоя возмущения плотности заряда электронов плазмы. Известно, что поперечная составляющая электрического поля Ех внутри двойного слоя велика и через ноль не проходит (рис. 2 - обычная линия). Внутри двойного слоя, благодаря наличию сильного поля Ех, происходит резонансное возбуждение объемной плазменной волны непрерывного спектра на частоте ю = юр(х0). Перекачка энергии в объемную плазменную волну приводит к бес-столкновительному затуханию поверхностной волны неоднородной плазмы. Структура зарядовых слоев в неоднородной плазме, аналогичных описанным выше, рассмотрена в [6].
3. Для получения дисперсионного уравнения, определяющего спектры частот волн в исследуемой плазме, выражения (7) и (8) следует дополнить решениями второго уравнения системы (5)
Ех
ф(¿ЬД) = А ехр№, 0, ф (ю Д) = В ехр (-к£), 1.
(12)
Подставляя (7), (12) или (8), (12) в условия непрерывности ф и dф /d% в точках ^ = 0, ^ = 1 и исключая постоянные А, В, С^ 2 находим искомое дисперсионное уравнение. В длинноволновом преде-
Рис. 2. Поперечная компонента Ех(£,) электрического поля поверхностной волны плазмы с линейным профилем плотности: Яе Ех - жирная линия; 1т Ех - обычная линия.
ле |к| <§ 1 дисперсионное уравнение имеет вид (для Яе ю > 0)
Л 1 - ю2, . ^ рю2 - 1 „
к| 1п-— + г п|--;—;- = 0. (13)
ю2 ^ ю2 (со2 — 1)
Точное же дисперсионное уравнение оказывается следующим [2]:
[10(кЮ2) + 11 (кю2)] X х{[К1 [к( 1- ю2)] - К0[к( 1- ю2)]] +
+ гп[ I, [к( 1- ю2)] +10 [к( 1- ю2)]]} = (14) = - [К0(кю2) - К1(коо2)]х х {10 [к( 1-Ю2 )] +11 [к( 1-О)2 )]}.
В длинноволновом пределе из уравнения (14) следует уравнение (13). Потенциал поверхностных волн в самом общем случае определяется формулами (8), (12), в которых
А = 1, С =
10(кю2 ) + I !(кю2 )
10 (кю2) К ^кЮ2 ) + К0 (кю)2) I ^кЮ2 )'
с2 = -
К0(кЮ2) - К1 (кЮ2)
10 (кЮ2) К! (кЮ2) + К0(кЮ2) 11(ксЬ2) (15) В = С1 {К1 [к( 1- Ю2)] + гп11 [к( 1- Ю2)]}х
х ехр (к) - С21г [к( 1 - Ю2)] ехр (к).
Уравнение длинноволнового приближения (13) решается элементарно (с точностью до квад-
со 1.4
1.2
1.0
0.8 0.6 0.4 0.2
0
\ Яею 2 Яею!
Яею!
- -1шю 2
Яею 2
-1шю 2
-1шю! --Г 1 1111 ____-1шш 1 III
-2 1 ю =2-г 8 к
со
с
.л,
= --р011- /■ ^ кЬ
72
(16)
Это - обычный спектр поверхностной волны полуограниченной плазмы, но с отличным от нуля декрементом затухания. Затухание, как уже говорилось выше, связано с резонансной раскачкой поверхностной волной локальных объемных волн непрерывного спектра (О = сор(х). Структура потенциала таких волн определяется выражением вида [2]
(р(со, х) ~ 5(х - х0)ехр [- /сор(х)^ + 1кг2],
где х0 - корень уравнения со = сор(х). Здесь могла бы быть уместной аналогия с затуханием Ландау (см. далее) и волнами Ван-Кампена [7, 8]. Напомним, что затухание Ландау
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.